5.4 二元一次方程与一次函数 预习学案 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 4. 二元一次方程与一次函数 知识点预习 1. 二元一次方程与一次函数图象的关系 本质联系：一个二元一次方程的解集 → 对应一次函数​ 的图象（直线）。 几何意义：方程组的解 ↔ 两条直线的交点坐标。 2. 方程组解的情况与直线位置关系 解的情况 直线位置关系 示例 唯一解 两直线相交 与 无解 两直线平行 与  无穷多解 两直线重合 y=2x+3 与 4x−2y=−6 3. 待定系数法求一次函数表达式 适用场景：已知函数类型及两点坐标，求表达式。 4. 步骤：（1）设表达式：y=kx+b（k≠0）；（2）代入点坐标：建立关于 k , b 的方程组；（3）解方程组；（4）写表达式。 5. 总结 本节核心是建立 二元一次方程组 与 一次函数图象 的深刻联系： 数形结合——方程组的解是直线交点的坐标；解方程组即求交点。 待定系数法——通过两点坐标确定一次函数表达式（设→代→解→写）。 实际应用：将行程、费用问题转化为函数模型求解。 需掌握从代数（方程）和几何（图象）双视角分析问题，提升数形结合能力，为高中学习直线与方程组奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．已知直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．若直线y＝3x+a与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象相交于点（3，2），则方程组的解是（　　） A． B． C．任意数对 D．不能确定 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与y2＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y2随x的增大而减小 B．b＞3 C．方程组的解为 D．当0＜y1＜y2时，﹣1＜x＜2 7．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．如图，过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜0）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（　　） A． B．0 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与直线y＝﹣4x+7相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数y1＝x+5与函数y2＝0.5x+15的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．方程组的解是 B．函数y1＝x+5的图象与函数y2＝0.5x+15的图象交点坐标是（20，25） C．当x＞20时，y1＞y2 D．当x＜20时，y1＞y2 10．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题预习（24分） 11．已知一次函数y＝2x+1与y＝kx（k是常数k≠0）的图象的交点坐标是（1，3），则方程组的解是　 　 ． 12．已知直线x+2y＝5与直线x+y＝3的交点坐标是（1，2），则方程组的解是　 　 ． 13．下表分别是一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2图象上一部分点的坐标： x … ﹣1 0 1 2 … y＝k1x+b1 … ﹣1 1 3 5 … y＝k2x+b2 … 5 4 3 2 … 则二元一次方程组的解为 　 　 ． 14．在同一直角坐标系中，一次函数，y＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则方程组的解为 　 　 ． 15．如图，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，7），则方程组的解是 　 　 ． 16．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点A（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．如图，过点（0，﹣2）的直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x+1交于点P（2，m）． （1）求点P的坐标和直线l1的表达式； （2）根据图象直接写出方程组的解． 18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值． （2）结合图象直接写出关于x，y的方程组的解． 19．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）直接写出方程组的解； （2）求直线l1对应的表达式； （3）求△ABP的面积． 20．如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 21．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组的解是　 　 ； （2）a＝　 　 ； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 22．如图，直线l1的函数解析式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）． （1）求m的值和点D的坐标； （2）求直线l2的函数解析式； （3）求△ADC的面积； （4）利用函数图象直接写出关于x、y的二元一次方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 4. 二元一次方程与一次函数 知识点预习 1. 二元一次方程与一次函数图象的关系 本质联系：一个二元一次方程的解集 → 对应一次函数​ 的图象（直线）。 几何意义：方程组的解 ↔ 两条直线的交点坐标。 2. 方程组解的情况与直线位置关系 解的情况 直线位置关系 示例 唯一解 两直线相交 与 无解 两直线平行 与  无穷多解 两直线重合 y=2x+3 与 4x−2y=−6 3. 待定系数法求一次函数表达式 适用场景：已知函数类型及两点坐标，求表达式。 4. 步骤：（1）设表达式：y=kx+b（k≠0）；（2）代入点坐标：建立关于 k , b 的方程组；（3）解方程组；（4）写表达式。 5. 总结 本节核心是建立 二元一次方程组 与 一次函数图象 的深刻联系： 数形结合——方程组的解是直线交点的坐标；解方程组即求交点。 待定系数法——通过两点坐标确定一次函数表达式（设→代→解→写）。 实际应用：将行程、费用问题转化为函数模型求解。 需掌握从代数（方程）和几何（图象）双视角分析问题，提升数形结合能力，为高中学习直线与方程组奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．已知直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 2．若直线y＝3x+a与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当x＝2时， ， ∴交点为（2，﹣1）， ∴方程组的解为． 故选：D． 坐标是对应方程组的解．”是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+4过点A（﹣1，b） ∴b＝﹣1+4＝3， ∴A（﹣1，3）， ∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A， ∴关于x、y的方程组的解为：， 故选：C． 4．如图，直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2）， ∴直线y＝kx+b+1和直线y＝mx+n+1相交于点（3，﹣1）， ∴关于x、y的方程组的解为， 故选：A． 5．函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象相交于点（3，2），则方程组的解是（　　） A． B． C．任意数对 D．不能确定 【解答】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． ∵函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象相交于点（3，2）， ∴方程组的解是． 故选：B． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与y2＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y2随x的增大而减小 B．b＞3 C．方程组的解为 D．当0＜y1＜y2时，﹣1＜x＜2 【解答】解：A．由图可知，y2随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B．由图象可知，一次函数y2＝kx+b与y轴的交点在y＝3的上方，即b＞3，故选项B正确，不符合题意； C．把（m，3）代入，得，解得m＝2，当y＝0时，即，解得x＝﹣4， ∴直线与y2＝kx+b的交点坐标为 （2，3），故C正确，不符合题意； D．由图象得：与x轴的交点坐标为（﹣4，0），当0＜y1＜y2时，﹣4＜x＜2，故D是符合题意； 故选：D． 7．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．如图，过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜0）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（　　） A． B．0 C． D． 【解答】解：由题意，∵点A在第一象限， ∴x＞0， 又∵， ∴②﹣①得，（a﹣1）x＝﹣（b﹣1）， ∴， ∵b＜9， ∴b﹣1＜﹣1， ∴﹣（b﹣1）＞1， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与直线y＝﹣4x+7相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解为：． 故选：B． 9．在同一平面直角坐标系中，函数y1＝x+5与函数y2＝0.5x+15的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．方程组的解是 B．函数y1＝x+5的图象与函数y2＝0.5x+15的图象交点坐标是（20，25） C．当x＞20时，y1＞y2 D．当x＜20时，y1＞y2 【解答】解：图象交点坐标是（20，25），故B说法正确，不符合题意； ∴方程组的解是，故A结论正确，不符合题意； 当x＞20时，y1＞y2，当x＜20时，y1＜y2，故C结论正确，不符合题意，D结论错误，符合题意； 故选：D． 10．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：∵点C的横坐标为2， ∴当x＝2时，yx， ∴C（2，）， 把C（2，）代入y＝kx+2得，k， ∴yx+2， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3， ∴B（0，2），A（3，0）， ∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确； ②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2，故③错误； ④∵C（2，）， ∴方程组的解为，正确； 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．已知一次函数y＝2x+1与y＝kx（k是常数k≠0）的图象的交点坐标是（1，3），则方程组的解是　　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1与y＝kx（k是常数k≠0）的图象的交点坐标是（1，3）， ∴方程组的解是． 故答案为：． 12． 已知直线x+2y＝5与直线x+y＝3的交点坐标是（1，2），则方程组的解 是　　 ． 【解答】解：∵直线x+2y＝5与直线x+y＝3的交点坐标是（1，2）， ∴方程组的解为． 故答案为． 13．下表分别是一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2图象上一部分点的坐标： x … ﹣1 0 1 2 … y＝k1x+b1 … ﹣1 1 3 5 … y＝k2x+b2 … 5 4 3 2 … 则二元一次方程组的解为 　　 ． 【解答】解：y＝k1x+b1变形为k1x﹣y+b1＝0，y＝k2x+b2变形为k2x﹣y+b2＝0， 由题表可知，当x＝1时两个函数的值均为3， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 14．在同一直角坐标系中，一次函数，y＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则方程组的解为 　　 ． 【解答】解：∵当y＝3时，x+2＝3， 解得x＝2， ∴一次函数的图象与y＝kx+b（k＜0）的图象的交点坐标为（2，3）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．如图，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，7），则方程组的解是 　　 ． 【解答】解：由题意可得：把P（a，7）代入y＝x+4得：7＝a+4， 解得：a＝3， ∴直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（3，7）， ∴方程组的解是， 故答案为：． 16．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点A（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【解答】解：由条件可知关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题预习（46分） 17．如图，过点（0，﹣2）的直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x+1交于点P（2，m）． （1）求点P的坐标和直线l1的表达式； （2）根据图象直接写出方程组的解． 【解答】解：（1）把P（2，m）代入y＝x+1得m＝3， 则P点坐标为（2，3）； 把（0，﹣2），P（2，3）代入y＝kx+b得，解得， 所以直线l1的表达式为yx﹣2； （2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x+1交于点P（2，3）， 所以方程组的解为． 18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值． （2）结合图象直接写出关于x，y的方程组的解． 【解答】解：（1）对于直线y＝2x+1，当x＝1时，y＝3， ∴P（1，3），b＝3， 把P（1，3）代入y＝mx+4中，得到3＝m+4， 解得m＝﹣1． （2）观察图象可知：关于x，y的方程组的解是． 19．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）直接写出方程组的解； （2）求直线l1对应的表达式； （3）求△ABP的面积． 【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2， ∴P（﹣1，2）， ∴方程组的解为； （2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，， 解得， ∴直线l1对应的表达式为y＝2x+4； （3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1， ∴B（1，0）， ∴△ABP的面积3×2＝3． 20．如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴，解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， 所以点B的坐标为（1，6）， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点， 把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中， 解得a＝10． 21．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组的解是　　 ； （2）a＝　﹣1　 ； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是． 故答案为； （2）把P（1，2）代入y＝ax+3， 得2＝a+3，解得a＝﹣1． 故答案为﹣1； （3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0）， y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0）， ∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵P（1，2）， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：4×2＝4． 22. 如图，直线l1的函数解析式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）． （1）求m的值和点D的坐标； （2）求直线l2的函数解析式； （3）求△ADC的面积； （4）利用函数图象直接写出关于x、y的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）∵点D是直线l1：y＝2x﹣2与x轴的交点， ∴y＝0，0＝2x﹣2，x＝1， ∴D（1，0）， ∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上， ∴2＝2m﹣2， ∴m＝2； （2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4； （3）∵点A是直线l2与x轴的交点， ∴y＝0， 即0＝﹣x+4， 解得x＝4， 即点A（4，0）， ∴AD＝4﹣1＝3， ∴S△ADC3×2＝3； （4）由图可知关于x、y的二元一次方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $$