5.3 二元一次方程组的应用 预习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 3. 二元一次方程组的应用 知识点预习 1. 应用问题的建模步骤 （1）审题分析：明确问题中的 已知量 和 未知量，挖掘 等量关系（一般包含 2 个独立条件）； （2）设未知数：用 x , y  表示两个未知量； （3）列方程组：根据等量关系列出 两个二元一次方程； （4）解方程组：选用 代入法 或 加减法 求解。 （5）检验与答：验证解是否符合实际意义（如长度为正数），并写出结论。 2. 典型应用题型及解析 传统算题类（鸡兔同笼、钱币问题） 核心方法：根据“数量总和”与“属性总和”列方程 经济决策类（利润、成本问题） 核心方法：利用 总收入－总支出 = 利润 及百分比变化列方程。 资源配比类（营养配餐、物品价值） 核心方法：根据 成分总量 列方程。 行程与工程类（相遇问题、火车隧道） 核心方法：利用 路程 = 速度 × 时间 及 位置关系 列方程。 几何图形类（拼图问题） 核心方法：根据 图形边长关系 列方程。 3. 总结 本节通过丰富的历史名题（《孙子算经》《九章算术》）和实际场景（经济决策、资源配比、行程问题），系统训练 二元一次方程组的建模能力。核心在于： 两步建模：从实际问题中提取两个独立等量关系 → 转化为方程组。 工具辅助：表格梳理多状态数据，图示化解动态过程。 文化价值：体会古算题中的数学智慧，增强应用意识。 需掌握分类解题方法，规范书写步骤，并注重解的实际意义检验，全面提升数学建模能力。 附：解题口诀 审题抓关键：未知已知要理清，两个条件不能少。 设元列方程：字母代替未知量，等量关系列成对。 解后需检验：回看题意是否符，实际问题要合理。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵团鱼和龟共有93只脚， ∴3x+4y＝93； ∵团鱼和龟共有102只眼睛， ∴2x+6y＝102． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 3．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选D． 4．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得： ． 故选：D． 5．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，求这个队胜的场数．若设胜x场，平y场，则可列的方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵共踢了14场，其中负5场， ∴x+y+5＝14； ∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分，共得19分． ∴3x+y＝19， 故列的方程组为， 故选：C． 6．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可列方程组为：． 故选：C． 7．如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：符合条件的二元一次方程组为． 故选：A． 8．某车间有66名工人，每人每天能生产8个甲种部件或6个乙种部件，1个甲种部件和2个乙种部件正好配成一套．为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种部件，有y名工人生产乙种部件．下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可列二元一次方程组为： ， 故选：C． 9．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路y米，依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路y米， 依题意可列方程组： ， 故选：C． 10．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目大意：“几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出11钱；若每人出6钱，则还少16钱．问合伙人数、鸡的价格分别是多少？则下列做法正确的是（　　） ①设合伙人有x人，依题意得：9x+11＝6x﹣16； ②设合伙人有x人，鸡的价格为y钱，依题意得； ③设鸡的价格为y钱，依题意得． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解答】解：①：设合伙人有x人，每人出9钱时多11钱，鸡价应为9x﹣11； 正确方程应为9x﹣11＝6x+16， 但选项①写为9x+11＝6x﹣16，符号错误，故①错误，不符合题意； 选项②：设人数为x，鸡价为y．根据题意： 每人出9钱时，总钱数多11钱，得9x﹣11＝y； 每人出6钱时，总钱数少16钱，得6x+16＝y；方程组正确，故②正确，符合题意； 选项③：设鸡价为y，根据人数相等： 每人出9钱时，人数为； 每人出6钱时，人数为； 由人数相等得，方程正确，故③正确，符合题意； 综上，②③正确， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 　　 ． 【解答】解：依题意得：图2所表示的方程组为， 解得：． 故答案为：． 12．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD的度数为x°，∠BCD的度数为y°，那么可列出关于x、y的方程组是　　 ． 【解答】解：设∠ACD的度数为x°，∠BCD的度数为y°， 依题意，得：． 故答案为：． 13．一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶　1875　 km． 【解答】解：设新轮胎安装在后轮行驶x km时更换到前轮，在前轮又行驶了y km报废， 根据题意得：， 解得：， ∴x+y＝937.5+937.5＝1875（km）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶1875km． 故答案为：1875． 14．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为 　60　 ． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意可得：， 解得：， ∴阴影部分的面积＝15×20﹣5×12×4＝60， 故答案为：60． 15． 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组 是 　　 ． 【解答】解：∵买了甜果和苦果共一千个， ∴x+y＝1000； ∵买甜果和苦果共花了999文钱， ∴xy＝999， ∴根据题意可列方程组：， 故答案为：． 16．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则xy的值为 　2　 ． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴xy＝2×1＝2， 故答案为：2． 三、解答题预习（46分） 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解． 【解答】解：由题意得：， 解得：． 18．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． （1）A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； （2）B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【解答】解：（1）设A球队胜了x场，则平了（12﹣x）场， 根据题意得：3x+（12﹣x）＝26， 解得：x＝7， ∴12﹣x＝12﹣7＝5（场）． 答：A球队胜了7场，平了5场； （2）设B球队胜了m场，平了n场，则负了（13﹣m﹣n）场， 根据题意得：3m+n＝32， ∴n＝32﹣3m， 又∵m，n，（13﹣m﹣n）均为非负整数， ∴， ∴13﹣m﹣n＝13﹣10﹣2＝1（场）． 答：B球队胜了10场，平了2场，负了1场． 19．2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震某公司在得知灾情发生后，紧急购买生活物资749箱，连夜运往灾区一线．现有A，B两种运输车辆可供租用，A型车可装28箱，每辆车运费为200元，B型车可装35箱，每辆车运费为350元，该公司租用了若干车辆，且每辆车正好装满，共花费6850元．两种车辆各租用了多少辆？ 【解答】解：设租用了x辆A型车，租用了y辆B型车，由题意得： ， 解得：， ∴租用了8辆A型车，租用了15辆B型车． 20．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了． ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　2或6　 元． 【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得： 30x+45（x+4）＝1755， 解得：x＝21， ∴毛笔的单价为：x+4＝25． 答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元． （2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得 21y+25（105﹣y）＝2447． 解之得：y＝44.5 （不符合题意）． ∴陈老师肯定搞错了． ②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得 21z+25（105﹣z）＝2447﹣a． ∴4z＝178+a， ∵a、z都是整数， ∴178+a应被4整除， ∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数， ∴a可能为2、4、6、8． 当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意； 当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意； 当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意； 当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意． 所以签字笔的单价可能2元或6元． 故答案为：2元或6元． 21．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12得（x，y为正整数）， ∴则有0＜x＜6又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，x为3的倍数，从而x＝3， ∴， ∴2x+3y＝12的正整数解为． 任务： （1）请你写出方程3x+y＝5的正整数解 　　 ； （2）若为自然数，则满足条件的整数x有 　4　 个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，要求两种奖品都必须买，问共有几种购买方案，分别是什么？（要求读懂上面阅读材料，运用提供的方法去解决） 【解答】解：（1）由3x+y＝5，得y＝5﹣3x（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当x＝1时，y＝2， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）若为自然数， 则有：0＜x﹣3≤8，即3＜x≤11． 当x＝4时，； 当x＝5时，； 当x＝7时，； 当x＝11时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了x本，单价为每支5元的钢笔买了y支， 根据题意得3x+5y＝35， 解得，（x，y为正整数）， ∴，解得0＜y＜7， 又∵35﹣5y是3的倍数， ∴y的取值为1或4． ∴3x+5y＝35的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 22．请根据下表所给的三个素材，完成要求的三个任务： 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材三 明德中学七八年级师生共485人前往曲阜尼山圣境游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 明德中学本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【解答】解：（任务一）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元， 根据题意得：， 解得：， 所以每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元， 答：每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； （任务二）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车， 根据题意得：25m+55n＝485， ∴， 又∵m，n均为非负整数， ∴， 或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车； 方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； （任务三）选择方案1所需总租金为600×15+1000×2＝11000（元）； 选择方案2所需总租金为600×4+1000×7＝9400（元）． ∵11000＞9400＞9000，9400﹣9000＝400（元）， ∴不存在租车费用不超过预算的租车方案，至少要追加400元的预算金额， 答：不存在租车费用不超过预算的租车方案，至少要追加400元的预算金额． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 3. 二元一次方程组的应用 知识点预习 1. 应用问题的建模步骤 （1）审题分析：明确问题中的 已知量 和 未知量，挖掘 等量关系（一般包含 2 个独立条件）； （2）设未知数：用 x , y  表示两个未知量； （3）列方程组：根据等量关系列出 两个二元一次方程； （4）解方程组：选用 代入法 或 加减法 求解。 （5）检验与答：验证解是否符合实际意义（如长度为正数），并写出结论。 2. 典型应用题型及解析 传统算题类（鸡兔同笼、钱币问题） 核心方法：根据“数量总和”与“属性总和”列方程 经济决策类（利润、成本问题） 核心方法：利用 总收入－总支出 = 利润 及百分比变化列方程。 资源配比类（营养配餐、物品价值） 核心方法：根据 成分总量 列方程。 行程与工程类（相遇问题、火车隧道） 核心方法：利用 路程 = 速度 × 时间 及 位置关系 列方程。 几何图形类（拼图问题） 核心方法：根据 图形边长关系 列方程。 3. 总结 本节通过丰富的历史名题（《孙子算经》《九章算术》）和实际场景（经济决策、资源配比、行程问题），系统训练 二元一次方程组的建模能力。核心在于： 两步建模：从实际问题中提取两个独立等量关系 → 转化为方程组。 工具辅助：表格梳理多状态数据，图示化解动态过程。 文化价值：体会古算题中的数学智慧，增强应用意识。 需掌握分类解题方法，规范书写步骤，并注重解的实际意义检验，全面提升数学建模能力。 附：解题口诀 审题抓关键：未知已知要理清，两个条件不能少。 设元列方程：字母代替未知量，等量关系列成对。 解后需检验：回看题意是否符，实际问题要合理。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（　　） A． B． C． D． 5．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，求这个队胜的场数．若设胜x场，平y场，则可列的方程组为（　　） A． B． C． D． 6．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 7．如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为1．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 8．某车间有66名工人，每人每天能生产8个甲种部件或6个乙种部件，1个甲种部件和2个乙种部件正好配成一套．为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种部件，有y名工人生产乙种部件．下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路x米，乙工程小组整修马路y米，依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 10．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目大意：“几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出11钱；若每人出6钱，则还少16钱．问合伙人数、鸡的价格分别是多少？则下列做法正确的是（　　） ①设合伙人有x人，依题意得：9x+11＝6x﹣16； ②设合伙人有x人，鸡的价格为y钱，依题意得； ③设鸡的价格为y钱，依题意得． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，总分24.0分） 11．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 　 　 ． 12．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD的度数为x°，∠BCD的度数为y°，那么可列出关于x、y的方程组是　 　 ． 13．一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶　 　 km． 14．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 15．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是 　 　 ． 16．传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一图案．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则xy的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分48.0分） 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解． 18．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． （1）A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； （2）B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 19．2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震某公司在得知灾情发生后，紧急购买生活物资749箱，连夜运往灾区一线．现有A，B两种运输车辆可供租用，A型车可装28箱，每辆车运费为200元，B型车可装35箱，每辆车运费为350元，该公司租用了若干车辆，且每辆车正好装满，共花费6850元．两种车辆各租用了多少辆？ 20．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了． ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　 　 元． 21．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12得（x，y为正整数）， ∴则有0＜x＜6又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，x为3的倍数，从而x＝3， ∴， ∴2x+3y＝12的正整数解为． 任务： （1）请你写出方程3x+y＝5的正整数解 　 　 ； （2）若为自然数，则满足条件的整数x有 　 　 个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，要求两种奖品都必须买，问共有几种购买方案，分别是什么？（要求读懂上面阅读材料，运用提供的方法去解决） 22．请根据下表所给的三个素材，完成要求的三个任务： 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材三 明德中学七八年级师生共485人前往曲阜尼山圣境游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 明德中学本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 学科网（北京）股份有限公司 $$