专题 3.2 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 3.2 平面直角坐标系 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 知识点（一）平面直角坐标系 2 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 2 知识点（二）象限 3 【题型2】判断点所在的象限 4 【题型3】已知点所在的象限求参数 4 知识点（三）点到坐标轴的距离 5 【题型4】点到坐标轴的距离 5 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 6 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 6 【题型6】任意两点的距离 6 【题型7】中点坐标公式 7 【题型9】平面直角坐标系与几何图形综合 8 二．同步练习 9 【基础巩固（20题）】 9 【能力提升（18题）】 13 【中考真题6题】 17 一.知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图是游乐园的一角． （1）如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示． （2）请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处． 由【例题1】可知：确定平面上一个点的位置可以用一对有序实数P（a,b）表示。 知识点（一）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为轴或横轴，铅直的数轴称为轴或纵轴，和统称坐标轴，它们的公共点称为平面直角坐标系的原点。 建立了平面直角坐标系（简称“建系”），平面内的点就可以用一组有序实数来表示了。如图1，过点作横轴的垂直交横轴于,过点作纵轴的垂直交纵轴于，有序实数对（,）叫做点的坐标，其中叫横坐标，叫纵坐标。 图1 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 【例题2】 （24-25七年级下·四川广元·期末）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗七星．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，使“摇光”的坐标为，“开阳”的坐标为，则“天权”（正好在网格点上）的坐标为 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，以点B所在的位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某旅游村把游客中心，稻田酒店，房车营地等3个地点分别用点A，B，C来表示，利用坐标确定了这3个地点的位置，并且设置了导航路线．请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得地点A，B的位置分别表示，并直接写出地点C的坐标． 小结：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。 知识点（二）象限 1.建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如图2． 图2 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：轴，轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。 这六个区域中，除了轴与轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 【题型2】判断点所在的象限 【例题3】 （2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点，若点在第一象限，则点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 小结：象限内的点和坐标轴上的点坐标符号特征： 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴 轴 原点 横坐标符号 + - - + 任意 0 0 纵坐标符号 + + - - 0 任意 0 点坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） （，0） （0，） （0，0） 【题型3】已知点所在的象限求参数 【例题4】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中： （1）若点在x轴上，求点P的坐标； （2）已知点在第四象限，求a的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如果点在第三象限，那么点在（     ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么 ． 知识点（三）点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 图3 【题型4】点到坐标轴的距离 【例题5】（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第四象限，且点到轴的距离是1，求点的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为：、，若线段最短，则a的值为 ． 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 （1）如图4横坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （2）如图5纵坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （3）如图6任意两点之间的距离： ； 图4 图5 图6 （4）中点坐标公式：如图6，线段中点坐标为（，）。 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 【例题6】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点的坐标为，且直线轴； （2）点到轴的距离与到轴的距离相等． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）若点平行轴，且，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【题型6】任意两点的距离 【例题7】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，， 求A，B两点间的距离； （2）已知点，，， 判断的形状． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7】中点坐标公式 【例题8】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为 ． 小结： （1）点、坐标分别为 ，则 （2）点、坐标分别为 ，线段AB中点C点坐标为 则有 【题型9】平面直角坐标系与几何图形综合 【例题10】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）的坐标为_________，的坐标为_________． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当平分时，求出的值．（提示：利用面积求解） 【深入探究】 （3）过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），画出图形，并求出的值． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点，，若轴，则当线段取得最小值时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点是y轴上一点．则a的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图是由4×7个边长为1个单位的小正方形组成的网格，点A，B都在格点上，若以点B为直角坐标系的原点，那么点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知点，点，若平行于轴，则点的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，则线段的长度为 ． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，若点在第二象限，则 0（填“”或“”）． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为 ． 13．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点，的坐标分别为，，则三角形的面积为 ． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是 ． 15．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，都是实数，设点，若满足，则称点为“友好点”．若点是“友好点”，则的坐标为 ． 16．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，其中，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 18．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知： （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点，，那么，即两点间的距离． 例如：若点，，则． （1）若点，，则___________； （2）在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 20．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 （1）点A的坐标为______，点 B的坐标为______； （2）如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； （3）如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴右侧，平行于x轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 6．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知、、是平面直角坐标系中的点，直线交x轴于，则的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．无法确定 二、填空题 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为 ． 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 13．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 。 三、解答题 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． （1）若，求的值； （2）若，求点A的坐标． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点． （1）若，则P点在第 象限； （2）若点P在x轴上，求P点的坐标； （3）若点P到x轴的距离是2，求P点的坐标； （4）若轴，且，，求P点坐标． 17．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． （1）求点的坐标． （2）在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． （3）在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 18．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． （1）填空：_____，点的坐标为_____； （2）在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． （4）P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 二、填空题 4．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 5．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 三、解答题 6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.2 平面直角坐标系 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 知识点（一）平面直角坐标系 2 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 3 知识点（二）象限 5 【题型2】判断点所在的象限 5 【题型3】已知点所在的象限求参数 7 知识点（三）点到坐标轴的距离 9 【题型4】点到坐标轴的距离 9 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 10 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 11 【题型6】任意两点的距离 12 【题型7】中点坐标公式 14 【题型9】平面直角坐标系与几何图形综合 18 二．同步练习 23 【基础巩固（20题）】 23 【能力提升（18题）】 36 【中考真题6题】 51 一.知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图是游乐园的一角． （1）如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示． （2）请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了用有序实数对表示位置，数形结合是解题的关键． （1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行； （2）因每个格子表示米，所以秋千的位置是． 解：（1）如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对表示，碰碰车用数对表示，摩天轮用数对表示； 故答案为：； （2） 由【例题1】可知：确定平面上一个点的位置可以用一对有序实数P（a,b）表示。 知识点（一）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为轴或横轴，铅直的数轴称为轴或纵轴，和统称坐标轴，它们的公共点称为平面直角坐标系的原点。 建立了平面直角坐标系（简称“建系”），平面内的点就可以用一组有序实数来表示了。如图1，过点作横轴的垂直交横轴于,过点作纵轴的垂直交纵轴于，有序实数对（,）叫做点的坐标，其中叫横坐标，叫纵坐标。 图1 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 【例题2】 （24-25七年级下·四川广元·期末）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗七星．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，使“摇光”的坐标为，“开阳”的坐标为，则“天权”（正好在网格点上）的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，以点B所在的位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系；根据所建立的坐标系可直接得出答案． 解：如图，由平面直角坐标系可知，点C的坐标为 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某旅游村把游客中心，稻田酒店，房车营地等3个地点分别用点A，B，C来表示，利用坐标确定了这3个地点的位置，并且设置了导航路线．请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得地点A，B的位置分别表示，并直接写出地点C的坐标． 【答案】见分析； 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键．根据找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出点C的坐标即可求解． 解：平面直角坐标系，如图所示： 地点C的坐标为． 小结：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。 知识点（二）象限 1.建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如图2． 图2 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：轴，轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。 这六个区域中，除了轴与轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 【题型2】判断点所在的象限 【例题3】 （2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了无理数的估算，判断点的坐标所在象限，先估算出，从而得出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴，即， ∴，， ∴在平面直角坐标系中，点在第四象限， 故答案为：四． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点，若点在第一象限，则点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限点的坐标符号特征，第一象限的点横、纵坐标均为正数，由此确定、的符号，再代入点的坐标判断其所在象限． 解：已知点在第一象限，因此，． 因为点的坐标为，其中为负数（因），仍为正数． 因为第二象限的坐标符号特征为（负正）， 因此点在第二象限． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，点的坐标，先根据算术平方根的定义得到，进而判断点的横、纵坐标的取值范围解答即可． 解：∵有意义， ∴， ∴，， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 小结：象限内的点和坐标轴上的点坐标符号特征： 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴 轴 原点 横坐标符号 + - - + 任意 0 0 纵坐标符号 + + - - 0 任意 0 点坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） （，0） （0，） （0，0） 【题型3】已知点所在的象限求参数 【例题4】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中： （1）若点在x轴上，求点P的坐标； （2）已知点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求解即可； （2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可． 解：（1）点在x轴上， ， 解得， 点P的坐标为； （2）点在第四象限， ， 解得 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如果点在第三象限，那么点在（     ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握点在直角坐标系中的特征是解题的关键，根据第三象限点的坐标特征确定的符号，进而计算的符号，判断点的位置． 解：点在第三象限， ∴， ∴， ∴点在轴的负半轴上； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中轴上的点横坐标为成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中，轴上的点横坐标为得到的等式求解即可． 解：由题意得，解得． 故答案为：． 知识点（三）点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 图3 【题型4】点到坐标轴的距离 【例题5】（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第四象限，且点到轴的距离是1，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握点在坐标轴上，点在象限中，点到坐标轴距离的计算是关键． （1）根据点在轴上，得到横坐标为，由此列式求解即可； （2）根据点在第四象限，且点到轴的距离是1，得到，由此即可求解． 解：（1）解：点在轴上， ， 得， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：点在第四象限，且点到轴的距离是1， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求点的坐标，根据描述，得到点P在第二象限，根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 解：∵点P在x轴上方，y轴左侧， ∴点P在第二象限， ∵点P到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度， ∴， ∴； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为：、，若线段最短，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中根据点的坐标确定点的位置和垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题关键．点B是一个定点，表示直线上的任意一点，根据垂线段最短确定与直线垂直，然后即可确定a的值． 解：∵点是一个定点，表示直线上的任意一点，且线段最短， ∴与直线垂直． ∴点A的横坐标与点B的横坐标相等． ∴． 故答案为：． 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 （1）如图4横坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （2）如图5纵坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （3）如图6任意两点之间的距离： ； 图4 图5 图6 （4）中点坐标公式：如图6，线段中点坐标为（，）。 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 【例题6】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点的坐标为，且直线轴； （2）点到轴的距离与到轴的距离相等． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点． （1）平行于x轴的直线，纵坐标都相等，由此即可求解； （2）点到x轴的距离是，点到y轴的距离是，则有，根据绝对值的性质即可求解． 解：（1）解：点，点Q的坐标为，且直线轴， ∴， 解得，， ∴； （2）解：点，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，． 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）若点平行轴，且，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 解：∵点平行轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 【题型6】任意两点的距离 【例题7】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，第一象限内的点的坐标特点，坐标系中点和点的距离为，据此可得，解方程即可得到答案． 解：∵点到原点的距离为5， ∴， 解得， ∵点在第一象限， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，， 求A，B两点间的距离； （2）已知点，，， 判断的形状． 【答案】（1）；（2）直角三角形 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，，，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可． 解：①当时： 的长度为． 设，则的长度为． 由，解得或． 当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效． ②： 的长度为，由，解得或． 对应的点和均不共线，有效． ③： 由，平方后解得． 点与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个：、、、． 故选D． 【题型7】中点坐标公式 【例题8】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式，根据中点坐标公式即可求解，掌握中点坐标公式是解题的关键． 解：∵，， ∴线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点关于点的对称点为，则点为点和点的中点，根据公式，可以求出点的坐标，依次类推求出点，点，点，点，点，总结规律，利用周期原理，求出点的坐标． 解：设， 点关于的对称点为，，，， ， ， ， 同理可得，，，，， 每6个点坐标循环一次， ， 点的坐标是， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，中点坐标，两点间的距离公式，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，，又、分别是、的中点，故有，，然后用两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 小结：（1）点、坐标分别为 ，则 （2）点、坐标分别为 ，线段AB中点C点坐标为 则有 【题型9】平面直角坐标系与几何图形综合 【例题10】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、等腰三角形的定义、三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意，分和两种情况讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求解． 解：若， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 点C的坐标为； 若，如图， 点A的坐标为， ， ，， ， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）的坐标为_________，的坐标为_________． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当平分时，求出的值．（提示：利用面积求解） 【深入探究】 （3）过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），画出图形，并求出的值． 【答案】（1），；（2）；（3）1或7 【分析】（1）先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出的值，由此即可解答； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，表示出的长，根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 解：（1）∵， 且， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，． （2）过点作于点， 由（1）得，，，， 当点运动秒时，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． （3）①当点在线段上时，则， ∵， ∴，即， 解得； ②当点在的延长线上时，则， ∵， ∴，即， 解得； 综上所述，当时，t的值为1或7． 【点拨】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，全等三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，掌握分类讨论思想是解题关键． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标；根据x轴上点的纵坐标为0的特征，建立方程求解即可． 解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标． 解此方程得：， 此时，点A的坐标为，符合x轴上点的定义． 故的值为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第二象限点的坐标特征及点到坐标轴的距离规律求解． 解：∵点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2， ∴点P的横坐标是，纵坐标是，即 故选：A． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点的坐标为，则坐标原点与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，原点到点的距离可通过勾股定理计算． 解：∵点P的横坐标为5，纵坐标为12，原点O的坐标为， ∴横坐标差为，纵坐标差为． ∵两点间距离为直角三角形的斜边长度， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂直于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键． 根据两点的横坐标相等，纵坐标不等，即可得出过两点的直线垂直于轴． 解：， 轴， 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点，，若轴，则当线段取得最小值时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点间距离公式．根据轴，可得点C的坐标为．利用两点间距离公式表示的长度，可得当最小时，最小，此时最小，即可求解． 解：∵轴，， ∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，即， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∴当最小时，最小，此时最小， 当时，最小， 此时点C坐标为． 故选：D． 6．（24-25七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点是y轴上一点．则a的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点在坐标轴上的特征，熟练掌握点在坐标轴上的特征是解题的关键． 根据点在坐标轴上的特征得到，即可得到答案． 解：∵点A的坐标为，且点A在y轴上， ∴根据y轴上点的横坐标为0，得：， 解得：， 故选：A 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图是由4×7个边长为1个单位的小正方形组成的网格，点A，B都在格点上，若以点B为直角坐标系的原点，那么点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握建立平面直角坐标系． 以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，然后观察点A的位置，求出点A的坐标即可． 解：如图所示：    ∵点B是坐标原点， ∴点B坐标为， ∴点A的坐标为， 故选：A． 8．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 解：由图可得， 点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， …， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知点，点，若平行于轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形性质，直接利用平行于轴的性质得出、点纵坐标相等，进而得出答案． 解：∵点，点，平行于轴， ∴ 解得： ∴ ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，勾股定理，根据点的特点得到，由勾股定理即可求解． 解：点， ∴，且， ∴， 故答案为：5 ． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，若点在第二象限，则 0（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号特点． 根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征进行判断． 解：在平面直角坐标系中，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 已知点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 所以． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．先利用勾股定理求出，再求出即可得到答案． 解：∵，， ∴，， ， 由作图方法可知， ∴， 点的横坐标为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点，的坐标分别为，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，根据点的坐标求出三角形的面积是解题的关键．根据点、的坐标可判断轴，然后根据这两个点的坐标即可求出的面积． 解：点，的坐标分别为，， 轴， 三角形的面积为， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在直角坐标系中摆成如图所示的图案，5个大小形状完全相同的长方形纸片，已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中的几何图形问题，特别是如何利用给定的点坐标来推导图形的尺寸以及未知点的坐标．解题的关键在于运用方程的思想，通过建立并求解二元一次方程组来确定长方形的长和宽．设长方形纸片的长为x，宽为y，利用点B的坐标所反映的水平与垂直方向的长度关系，建立二元一次方程组，求解出长和宽后，再根据点A的位置确定其横、纵坐标． 解：如图，设未知数 设长方形纸片的长为x，宽为y， ， , 解得，， ，， 点在第二象限， 点A的坐标为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，都是实数，设点，若满足，则称点为“友好点”．若点是“友好点”，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“友好点”的定义是解题关键．根据新定义得出，解方程求得，进而求得的坐标． 解：∵点是“友好点”， ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，其中，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律，根据材料提示，找出规律是关键，根据题意，横坐标的变化规律是（的整数），纵坐标的变化规律是每4个一组循环，由此即可求解． 解：在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，， ∴横坐标的变化规律是（的整数），纵坐标的变化规律是每4个一组循环， ∴的横坐标为， ∵， ∴纵坐标为， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为． 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答． 解：（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点坐标为，且轴， ， 解得， 则， 点的坐标为． 18．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知： （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）4；（3）或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中三角形的画法、面积计算以及点的坐标求解，解题的关键是熟练运用坐标与图形的性质，通过分割或利用底高关系计算三角形面积． （1）关键步骤是根据各点的坐标在坐标系中准确找到对应位置，再依次连接各点形成三角形．​ （2）解题思路是通过过点C向坐标轴作垂线，将三角形的面积转化为规则四边形与几个小三角形面积的差进行计算．​ （3）主要关键步骤是利用三角形面积公式，结合点P在x轴上的特点，先根据面积相等求出的长度，再结合点B的坐标求出点P的坐标． 解：（1）如图所示： （2）过点向、轴作垂线，垂足分别为、． ∵ ． ． （3）当点在轴上时，， 即：，解得：， ，设点P的坐标为， ∴，则或， ∴点的坐标为或． 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点，，那么，即两点间的距离． 例如：若点，，则． （1）若点，，则___________； （2）在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理即可求解． 解：（1）解：根据题意可得：， 故答案为：； （2）解：是直角三角形，理由如下： ，， ∴， ∴是直角三角形． 20．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 （1）点A的坐标为______，点 B的坐标为______； （2）如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； （3）如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】本题考查三角形的面积、绝对值和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性质、三角形面积计算公式、中点坐标公式是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性质计算即可求得点A和点B的坐标； （2）根据三角形面积公式求出，再分别计算当点C在点B的左边、右边时对应的坐标即可； （3）根据三角形面积公式求出三角形的面积为24，三角形的面积正好是三角形的面积的一半，从而证明点D是的中点，再由中点坐标公式求出点D的坐标即可． 解：（1）解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， 则，， 点C的坐标为或 （3）解：，， ， ， ， 点D是的中点， ，， 点D的坐标为 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 解：∵， ∴， ∵ ∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数． ∴点在第四象限， 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴右侧，平行于x轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中点的坐标特征求解即可． 解：∵平行于x轴，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标与点A相同，即， ∵， ∴ ，解得或， ∵点B在y轴右侧， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形． 对点A和点B的位置进行分类讨论，再结合得出关于m的方程，据此进行计算即可． 解：由题意可知， 当，即时，点A在点B的左侧， 则． 又因为轴，且，， 所以， 解得或3． 当时，点C与点A重合，故舍去； 当，即时，点A在点B的右侧， 此时点C不在线段上， 故此情况不存在， 综上所述，m的值为3． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征及代数式求值，记住坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 根据轴上点的横坐标为0求出，轴上点的纵坐标为0求出再求出的值即可解答． 解：点在轴上， ， ， 点在轴上， ， ， ， 故答案为：C． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知、、是平面直角坐标系中的点，直线交x轴于，则的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形，分点和点在的同侧和异侧两种情况结合三角形面积公式求解即可． 解：①若点和点在的同侧时，如图， ∵、， ∴， 又、， ∴； ②若点和点在的异侧时，如图， ∴， 综上，的面积为20， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是 ． 【答案】或3 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此可得，分情况讨论即可． 解：点到两条坐标轴的距离相等， ， 或 解得或， 故答案为：或3． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答即可． 解：在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查垂线段最短，点到坐标轴的距离，根据垂线段最短，得到当轴时，的长度最短，即为点纵坐标的绝对值，即可得出结果． 解：由题意，得：当轴时，的长度最短， ∵点A坐标为， ∴轴时，的长度最短，为4； 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 解：解∶∵，，为的中点， ∴，即， ∵是轴正半轴上一个动点， ∴设， 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得或 ∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或， 故答案为∶ 或或． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 。 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解． 解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ∵， ∴点在x轴的正半轴上， 则， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． （1）若，求的值； （2）若，求点A的坐标． 【答案】（1）30；（2） 【分析】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 解：（1）解：当时，，， 点的坐标为， ∵点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， ∴， 点的坐标为． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点． （1）若，则P点在第 象限； （2）若点P在x轴上，求P点的坐标； （3）若点P到x轴的距离是2，求P点的坐标； （4）若轴，且，，求P点坐标． 【答案】（1）一；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． （1）根据，求出，，即可得出答案； （2）根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值，即可得出答案； （3）点P到x轴的距离是2，得出，求出a的值，即可得出答案； （4）根据得出，求出a的值，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴P点在第一象限； （2）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：∵点P到x轴的距离是2， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （4）解：∵轴，且， ∴， 解得：， ∴， ∴P点坐标为． 17．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． （1）求点的坐标． （2）在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． （3）在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由非负数的性质求出，，则可得出答案； （2）由三角形面积可得出答案； （3）过点作于点．证出．同理，，得出．则可得出结论． 解：（1）解：，满足， ，， 解得，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 又轴，轴， 点的坐标为； （2）解：三角形的面积是12， ， 即， 解得， ； （3）， 理由：如图，过点作于点． 轴，， ， ． 同理，， ． ， 【点拨】． 18．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． （1）填空：_____，点的坐标为_____； （2）在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． （4）P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】（1），；（2）存在，或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 解：（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可. 解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 二、填空题 4．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 5．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 三、解答题 6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【答案】点在第一象限或点在第二象限 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$