精品解析：广东省汕头市潮阳区金培学校2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学科试卷

2024~2025学年度第一学期八年级第一次月考 数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 3. 用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ） A B. C. D. 4. 图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）． A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 5. 如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案(　　) A. B. C. D. 6. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 7. 任意一个六边形的对角线条数共有（ ）条 A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是的（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 三边的垂直平分线 9. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间线段最短 10. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个正多边形的内角和等于，则它是______边形． 12. 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 13. 某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是_________． 14. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 15. 如图，在中，，，，于点A，P，Q两点分别在线段和射线上运动，，则当________时，才能使和全等． 三、解答题（一）（本大题有3小题，每小题7分，共21分） 16. 如图，交于点O，，．求证：． 17. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 18. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求周长． （2）化简：． 四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 20. 数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． （1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； （2）如图②，三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； （3）如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 21. （1）如图①，点P是内角的平分线与的交点，求证：． （2）如图②，点P是内角的平分线与外角平分线的交点，请直接写出与的关系； （3）如图③，点P是的外角平分线与的交点，请直接写出与的关系． 五、解答题（三）（本大题有2小题，共27分） 22. 如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 23. 某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 （2）由（1）结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是中线，，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期八年级第一次月考 数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意； C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键． 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键． 3. 用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 4. 图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）． A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的分类即可判定． 【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角． 5. 如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状． 【详解】因为三角形具有稳定性，只有B构成了三角形的结构． 故选B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题． 6. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】A 【解析】 【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可． 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 7. 任意一个六边形的对角线条数共有（ ）条 A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了计算多边形的对角线条数，对于任意边形，其对角线条数公式为，由此公式计算即可得解，熟练掌握多边形的对角线条数公式是解此题的关键． 【详解】解：任意一个六边形的对角线条数共有（条）， 故选：B． 8. 如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是的（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 三边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】 根据S△OAD＝S△OBD，得到AD＝BD，同理得到答案． 【详解】由题意得， ， ∴CD是的中线， 同理，BF，AE也是的中线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 9. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：点O为、的中点， ，， 由对顶角相等得， 在和中， ， ， ， 即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度， 故选：B． 10. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个正多边形的内角和等于，则它是______边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式．根据多边形的内角和公式，可得方程，解方程，可得答案． 【详解】解：设多边形是边形，由内角和公式，得 ． 解得， 故答案为：十 12. 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】280° 【解析】 【分析】先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°， ∴∠5=80°． ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280° 故答案为280°． 13. 某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是_________． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题主要考查了内角与外角的度数问题．先求出的度数，可得该正多边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴该正多边形的一个外角的度数为， ∴这块正多边形纸板的边数是． 故答案为：6 14. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：，，， ∴≌（SAS）， 要使≌，添加一个条件是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，于点A，P，Q两点分别在线段和射线上运动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】6或3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，第一种情况是，第二种情况是，继而得到本题答案． 【详解】解：∵和全等，， ∴或， 当时， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， 故答案为：6或3． 三、解答题（一）（本大题有3小题，每小题7分，共21分） 16. 如图，交于点O，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 17. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】见详解 【解析】 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 18. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）的周长为11或13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【小问1详解】 解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，周长为． 综上所述，的周长为11或13． 【小问2详解】 解：的三边长为a，b，c， ， ． 四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 20. 数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． （1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； （2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； （3）如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明； （1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证； （3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图，过点A作， 则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， 【小问3详解】 证明：作的延长线，过点作射线 ． ＝，＝ ＋＋＝ ＋＋＝ 21. （1）如图①，点P是内角的平分线与的交点，求证：． （2）如图②，点P是内角的平分线与外角平分线的交点，请直接写出与的关系； （3）如图③，点P是的外角平分线与的交点，请直接写出与的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，根据角平分线的定义运算即可得出结论； （2）根据三角形的外角定理，得出，，再根据角平分线的定义运算即可得出结论； （3）根据平角的定义和三角形内角和定理推出，的和，再根据角平分线的定义运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵BP和CP分别平分∠ABC和∠ACB， ∴， ∵ ∴ ∴ （2），理由如下： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC外角角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ （3），理由如下： ∵BP和CP是△ABC外角角平分线， ∴， ∵ 又∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了双内角角平分线模型，内外角角平分线模型，双外角角平分线模型，主要运用了三角形内角定理，三角形外角定理和角平分线的定义，灵活运用定理并准确运算是本题的关键． 五、解答题（三）（本大题有2小题，共27分） 22. 如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即可得证； （3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2.5． 23. 某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）已作；对顶角相等；； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【小问1详解】 证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 【小问2详解】 由（1）得：，且，， ， 中，， ； 【小问3详解】 延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$