精品解析：广西南宁市银海三雅学校2024—2025学年上学期八年级12月数学月考试题　

南宁市银海三雅学校2024-2025学年度秋季学期八年级 12月综合测评数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1、本测试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2、答题前、请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 根据分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A.是整式，故不符合题意； B. 是分式，故符合题意； C. 是整式，故不符合题意； D.1是整式，故不符合题意； 故选：B． 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 4. 下列调查活动中适合使用全面调查的是（ ） A. “奔跑吧，少年”节目的收视率 B. 2024年海南省植树节中栽植树苗的成活率 C. 某种品牌节能灯的使用寿命 D. “神舟十九号”载人飞船的零件合格率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查和抽样调查，范围广，具有破坏性的易采用抽样调查，范围窄，具有特殊意义的采用全面调查，进行判断即可． 【详解】解：A、适合采用抽样调查，不符合题意； B、适合采用抽样调查，不符合题意； C、适合采用抽样调查，不符合题意； D、适合采用全面调查，符合题意； 故选D． 5. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 4，4，10 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故不能构成三角形； 故选：B． 6. 如图，在中，，D为中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵，D为中点， ∴， 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8. 如图，是的中线，是的中线．若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 根据是的中线．，可得的面积，再根据是的中线，即可求解． 【详解】解：∵是的中线．， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D ． 9. 若分式中的的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的 【答案】C 【解析】 【分析】把x、y的值都变为原来的3倍后代入求解即可 【详解】解：∵分式中的、的值都变为原来的倍 ∴ ∴此分式的值是原来的． 故应选C 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是把x、y的值都变为原来的3倍后代入． 10. 已知代数式是完全平方式，则m的值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解： ∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 11. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整体代入求值思想，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先把已知条件变形为，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 12. 如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交于点，则，，，所以是等边三角形，则，求得，而，所以，可证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点，则， 是边长为的等边三角形， ，，，， 是等边三角形， 又点是边的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的长为， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 14. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 15. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴对称的点的坐标变换规律是解答的关键． 根据点关于x轴对称的点的坐标为进行解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点B的坐标是． 故答案为：． 16. 不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知如图，计算图中阴影部分的面积，最简结果为______ 【答案】 【解析】 【分析】用大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：图中大长方形的面积为： 中间空白部分长方形的面积为：， 阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，根据图形看出阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，是解题的关键． 18. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．按照解分式方程的步骤解方程即可，注意验根． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得： 化简得：， 解得：； 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解本题的关键． 21. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 【答案】（1）500，32， （2） 补全图形如下： （3）22800 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，样本估计总体． （1）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用组人数除以样本容量即可得出m，用乘以组人数所占比例即可得到A组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是， ∴组的占比为：，即， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：500，32，； 【小问2详解】 解：组人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有22800名． 22. 如图所示，已知中，其中，， （1）画出与关于轴对称的图形，其中的坐标为_____； （2）求的面积； （3）若以线段为边作等腰三角形，使得点在轴上，则这样的点有_____个． 【答案】（1） 如图，即为所求；其中的坐标为 ； （2）5 （3）4 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，等腰三角形的性质，割补法求三角形的面积； （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到各点的坐标，描点，连线，画出即可； （2）根据割补法求解即可； （3）分别以为圆心，线段长为半径作圆，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：由题意，，，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积 ； 【小问3详解】 解：如图，点有4个． ; 故答案为：4． 23. 如图，一栋四层楼房与另一栋三层楼房（每层楼的高度都是米，且楼房均垂直于地面）之间相距28米，小明从点沿走向点，一定时间后，他到达点，此时他测得和的夹角为，且． （1）求证：． （2）请你帮小明求出楼房的高度． 【答案】（1） 证明：和的夹角为， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）楼房高16米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，结合米，得出，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 米， ， 解得：， 米； 答：楼房高16米． 24. 四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织8名老师和392名学生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有、两种型号的客车可以租用，已知1辆型车可以载乘客55人，1辆型车可以载乘客40人．其中租用3辆型车和2辆型车需要1800元，租用4辆型车和1辆型车需要1900元，根据相关要求每辆客车上至少需要一名老师． （1）求租用一辆型车和一辆型车的费用分别是多少？ （2）在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过3150元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】（1）租用一辆型车的费用是400元，一辆型车的费用是300元 （2）学校共有2种租车方案，最少租车费用是3000元 【解析】 【分析】（1）通过设未知数，根据已知的租车费用条件建立二元一次方程组来求解两种车型的租车费用； （2）先根据总人数和每车至少一名老师确定租车数量范围，再设未知数表示租车数量，依据载客量和租车费用限制建立不等式组，求出取值范围后确定正整数解，进而得到租车方案并计算最少费用． 本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关方程和不等式的建立与求解方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设租用一辆型车的费用是元，一辆型车的费用是元， 根据题意得：， 解得：． 答：租用一辆型车的费用是400元，一辆型车的费用是300元； 【小问2详解】 解：（辆）……15（人），（辆），共有8名老师，且要求每辆客车上至少需要一名老师， 需租用8辆客车． 设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7， 学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆型车，2辆型车，租车费用为（元）； 方案2：租用7辆型车，1辆型车，租车费用为（元）． ， 最少租车费用是3000元． 答：学校共有2种租车方案，最少租车费用是3000元 25. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：__________，方法2：__________． 从而可以确定式子之间的等量关系为__________． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： 已知，求的值． 如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2）①；②12 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）方法可采用两个正方形的面积和；方法可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）①设，，则，，再根据（1）中结论的变形可得，代入即可得解； ②设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得： 方法：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：①设，， 则有，， 由（1）得：， ， 即； ②设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 26. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市银海三雅学校2024-2025学年度秋季学期八年级 12月综合测评数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1、本测试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2、答题前、请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 1 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 4. 下列调查活动中适合使用全面调查的是（ ） A. “奔跑吧，少年”节目的收视率 B. 2024年海南省植树节中栽植树苗的成活率 C. 某种品牌节能灯的使用寿命 D. “神舟十九号”载人飞船的零件合格率 5. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 4，4，10 D. 1，1，2 6. 如图，在中，，D为中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，是的中线．若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 若分式中的的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的 10. 已知代数式是完全平方式，则m的值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 11. 已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 12. 如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 14. 分解因式：_____． 15. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是____________． 16. 不等式的解为______． 17. 已知如图，计算图中阴影部分的面积，最简结果为______ 18. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 22. 如图所示，已知中，其中，， （1）画出与关于轴对称的图形，其中的坐标为_____； （2）求的面积； （3）若以线段为边作等腰三角形，使得点在轴上，则这样的点有_____个． 23. 如图，一栋四层楼房与另一栋三层楼房（每层楼的高度都是米，且楼房均垂直于地面）之间相距28米，小明从点沿走向点，一定时间后，他到达点，此时他测得和的夹角为，且． （1）求证：． （2）请你帮小明求出楼房的高度． 24. 四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织8名老师和392名学生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有、两种型号的客车可以租用，已知1辆型车可以载乘客55人，1辆型车可以载乘客40人．其中租用3辆型车和2辆型车需要1800元，租用4辆型车和1辆型车需要1900元，根据相关要求每辆客车上至少需要一名老师． （1）求租用一辆型车和一辆型车的费用分别是多少？ （2）在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过3150元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ 25. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：__________，方法2：__________． 从而可以确定式子之间的等量关系为__________． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： 已知，求的值． 如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 26. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $