第2章一元二次方程 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 6．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 7．已知是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰的一边长为3，若恰好是另外两边长，则周长为 （   ） A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 8．某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率为多少？设二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 9．如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 11．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 13．已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 14．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 15．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 16．小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 17．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 18．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 三、解答题（满分66分） 19．用适当方法解方程： (1)； (2)． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 22．已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 23．若关于的一元二次方程有两个实数根为、，且满足，，那则称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是，则方程是“和谐方程”． (1)方程是“和谐方程”吗？判断并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“和谐方程”，求的值． 24．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 25．近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． (1)求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． (2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 参考答案 1．解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除； B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除； C．方程含有分式，不是整式方程，排除； D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 2．解：∵m是一元二次方程的一个根，将代入方程得： ， 移项可得： 因此，的值为2025， 故选：C 3．解：移项，得 配方：，即 故选：C． 4．解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 5．解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 6．解：A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 7．解：当3为腰长时：将代入方程，得：， 解得：或． 当时，方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 当时，方程为，解得：，． 三边为3，3，7，则，无法构成三角形； 当3为底边时：此时方程需有相等实根（两腰相等），即判别式： 则，解得：， 此时方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 综上，符合条件的周长为， 故选：A． 8．解：设每月增长率为，则二月份产值为万元，三月份产值为万元， 可得方程： 故选：B 9．解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 10．解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 11．解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 12．解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 13．解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 14．解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 15．解： ， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 16．解：设这个输入的数为x， 根据题意可得， 即， ， 解得：． 故答案为：2． 17．解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 18．解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 19．（1）解：∵ ∴ ∴或 解得， （2）解：∵， ∴， 则， 即， ∴或 解得，． 20．（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 21．（1）解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 22．（1）解：∵的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 当是以为斜边的直角三角形时，， ∴，解得：或（舍去）， 当时，是以为斜边的直角三角形； （2）∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得不存在； 当时，， ∴，, 解得或4， ∴或4， ∴的周长为或． 23．（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ∵， ∴方程不是“和谐方程”； （2）解：∵关于的一元二次方程是“和谐方程”， ∴，，， ∴， ∴， 解得：；经检验符合题意. 24．（1）解：根据题意，，， ∴， ∴； （2）解：由题意，，， ∴，， ， ， ∵ ∴， 整理，得， 解得，， ∵当点到达点时，点，同时停止运动， ∴， ∴， 答：当时，； （3）解：在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 25．（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为； （2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价元． 学科网（北京）股份有限公司 $$