2.6应用一元二次方程 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《2.6应用一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 4．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 5．如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 6．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 8．某篮球队为培养学生团结友爱的良好品质，组织一次握手游戏，每两个人握一次手，共握手36次，则篮球队有 人． 9．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 10．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 11．如图，在中，， ， ，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 12．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则 ． 13．山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为 ． 14．如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为 时，点和点之间的距离是． 三、解答题 15．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 16．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 17．综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 18．如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 19．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 20．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元? (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润?若能，求出定价：若不能，请说明理由． 参考答案 1．解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．解：根据题意得：． 故选C． 3．解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 4．解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 5．解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得，，故选：B． 6．解：由题意得，，故选：B． 7．解：①当的长为时，， ∴改造后花圃的面积为， ∵原正方形花圃的面积为， ∴改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；故①正确； ②设的长为，则， ∵花圃面积为； ∴， 即， 解得，，（负值，不合题意）， ∴的长为， 即的长有一个值满足花圃面积为； 故②错误， 设的长为，则， ∴改造后花圃的面积为， 由原正方形花圃的面积为 ， 若，即， ∵， ∴方程无实数根， 即改造后花圃的面积不可以比原正方形花圃的面积增加． 故③错误，故选：B 8．解：设篮球队有x人，根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故篮球队有9人， 故答案为：9． 9．解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得， 故答案为：． 10．解：设商家每次打折，则 ， 解得：（舍去）， 故答案为： 11．解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 12．解：依题意得， 而， ， 解得：， 而不能为负， ． 故答案为：． 13．解：根据题意，得， 故答案为：． 14．解：设当时间为时，点和点之间的距离是， 如下图所示，过点作， 则，，， 在中， ， 解得：，， 当运动时间为或时，点和点之间的距离是． 故答案为：或． 15．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 16．（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 17．（1）解：设， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， ，， 和的长分别为和； （2）解：扩建后花园的面积不可以为， 理由：设，则， 若扩建后花园的面积为，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ，不符合要求， 扩建后花园的面积不可以为． 18．（1）解： ， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 19．解：（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 20．（1）解：设与的函数关系式为， 由图可知，函数图象经过点和， ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元， 根据题意得， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， 答：每双运动鞋的售价应该定为元； （3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下： 保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的， ， 解得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（符合题意）， ， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$