2.4用因式分解法求解一元二次方程 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的根是（   ） A．， B． C． D．， 2．若关于的一元二次方程的一个实数解为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（    ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 5．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 6．用因式分解法解方程时，可将该方程转化为两个一元一次方程，这两个方程是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．当 时，代数式与的值相等． 9．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 10．若，则的值为 ． 11．方程的根为 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 13．若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 14．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 三、解答题 15．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 16．选择合适的方法解下列方程： (1)． (2)． 17．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 18．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 19．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 20．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． (1)求证：方程是整根方程； (2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 参考答案 1．解：， ， ， ∴，； 故选A． 2．解：∵关于的一元二次方程的一个实数解为， ∴， 解得， ∴的值为， 故选：． 3．解：∵， ∴， ∴原方程化为：， 因式分解得：， 解得：， 故选：B． 4．解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故符合题意； C、由方程解得，故不符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选B． 5．解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 6．解：∵， ∴， ∴， ∴和， 故选：A． 7．解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 8．解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．解： 是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有一个根为， ， ， 分解因式得：， 或， 解得：或(舍去)， 故答案为： ． 10．解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 11．解：， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴当时， ， ∴无实数根， 当时， 解得：，， 故答案为：，． 12．解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 13．解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 14．解：， 整理得：， ， 解得：，， 当时，，不能构成三角形， 当时，三角形的周长为， 故答案为：． 15．（1）解：， 原方程可变形为：， 或． ，． （2）解： 原方程可变形为：， ． ． （3）解：， 原方程可变形为：， 或 ，． （4）解： 原方程可变形为：， ， 即． 或． ，． 16．（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： 则 ∴ ∴ ∴或 ∴，． 17．解：×；× 解： ，． 18．（1）解：， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 19．（1）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）已证：这个方程有两个不相等的实数根， ∵等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7， ∴是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 整理得：， 解得或， ①当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； ②当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； 综上，的值为5或7． 20．（1）证明：， ，， 是3的倍， 是整根方程； （2）解： ，， 总有实数根， ， 解得：， 正整数，使得关于的一元二次方程是整根方程， 时，的根为，，不是整根方程， 时，的根为，，是整根方程， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$