2.3用公式法求解一元二次方程 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（   ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，， 2．若下列方程都存在实数根，则以为根的是（   ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．一元二次方程的两个实数根中较大的根是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 7．对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．一元二次方程根的判别式的值是 ． 9．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 10．已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 11．关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是 ． 12．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 13．定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是 ． 三、解答题 15．按要求解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 17．已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 18．已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)求取值范围内的最小整数时，方程的根． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 20．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的值； (2)当为何值时，是菱形？ 参考答案 1．解：， ， ， 故选：C 2．解：A．的根为，故符合题意； B．的根为，故不符合题意； C．的根为，故不符合题意； D．的根为，故不符合题意； 故选：A． 3．解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 5．解：，，， ∵， ∴， ∴，， ∴较大的根是， 故选：． 6．解：∵，即有两个相等实数根， ∴ 解得：， 故选：A． 7．解：①把代入，得：，正确； ②若， ， ∴方程为：， ∴，正确； ③把c代入，得：； 当时，不一定成立，错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴ ，正确； ∴正确的个数有3个， 故选：C． 8．解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 9．解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 10．解：当时，即， ∴， 解得，，不符合题意； 当时，即， ∴， ∴， 解得，，符合题意； 故答案为： ． 11．解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，且， 解得：； ∴的最小整数值为； 故答案为：． 12．解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 又∵， ∴， 综上：； 故答案为：. 13．解：根据运算法则，由得：， ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为： ． 14．解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 此方程的一个实数根为b， ， ， ， ， ，即 ， 故答案为： 15．（1）解： ， ∴， ∴； （2） ∴， ∴， ∴， ∴. 16．（1）解：将代入方程得， ， 解得：， 所以k的值为． （2）证明：因为 ， 又因为， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 17．（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 18．（1）解，由题意，可得，且， 解得且； （2）∵且 ∴取值范围内的最小整数时，可有， 当时，得， 解得． 19．（1）解： ， ， 无论k取何值，它总有实数根； （2）解：分两种情况讨论： ①当3是等腰三角形的底时， 则，即，解得：， 则方程为， 即， 解得：， ，2，3能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， 将代入， 得：，解得， 则方程为， 即， 解得，． 2、3、3能构成三角形， 则此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，或6；三角形的周长为7或8． 20．（1）解：当时， 将代入方程得： 解得：； （2）∵是菱形， ∴关于方程有两个相等的实数根， 解得：， 故当时，是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$