第3单元 函数三（3）-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第三单元　函数（三） 满分86分,限时60分钟 考点4 函数的图象　　考点5 函数零点与方程的解　　考点6 函数模型的应用 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025广东雷州龙门中学、客路中学一模)函数f(x)=lg(x+1)-的零点个数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 2.(2025湖南郴州一模)函数f(x)=的图象大致为(　　) 　　 　　 3.(2025广东江门调研)金针菇被采摘后会很快失去新鲜度,甚至腐烂,所以超市销售金针菇时需要用保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其被采摘后的时间t(天)满足的函数解析式为h=mln(t+a)(a>0),且采摘后1天,金针菇失去的新鲜度为40%;采摘后3天,金针菇失去的新鲜度为80%.若金针菇失去的新鲜度为60%,则采摘后的天数为(结果保留一位小数,≈1.41)(　　) A.1.5　　B.1.8　　C.2.0　　D.2.1 4.(新考法)(2025河北保定部分地区统考)设函数f(x)=x2-2x+a,g(x)=2x-2a,若当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则实数a的取值范围是　(　　) A.(-1,0)　　B.　　C.(1,2)　　D.(2,3) 5.(2025湖南岳阳平江颐华高级中学入学考试)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,3)　　B.[1,2)　　C.(0,2)　　D.(0,1) 6.(2025广东联考)当a≥e时,方程ex+x+ln x=ln a+在[1,+∞)上根的个数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 7.(2024山西名校联考)已知函数f(x)=则“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的(　　) A.充要条件　　B.必要不充分条件 C.充分不必要条件　　D.既不充分也不必要条件 8.(2025江苏百校联考)已知函数f(x)=若存在实数m,使得方程f(x)=m有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列错误的是(　　) A. f(x3x4)=0　　B.x1+x2<0　　 C.x2+f(x3)>1　　D.x3+f(x2)>1 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2024广东部分学校月考)已知a是函数f(x)=ex+2x-3的零点,则下列各数为正数的是(　　) A.ea-1　　B.a2-a　　 C.ln a　　D.a2-a3 10.(2025吉林东北师范大学附属中学二模)已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点,x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点,且|x1-x2|≤1,则实数a的值可能是(　　) A.-1　　B.-2　　C.2-2　　D.4-4 11.(2025湖南阶段检测联合考试)已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)=-ln x.若max{m,n}表示m,n中的最大者,设函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0),则下列结论正确的是(　　) A.若h(x)没有零点,则实数a的取值范围为(-∞,2) B.若h(x)只有1个零点,则实数a的取值集合为{2} C.若h(x)有2个零点,则实数a的取值范围为(2,+∞) D.∀a∈R,h(x)≥0 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2025北京师范大学第二附属中学统练)“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势可由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为　　　　小时.  13.(2025山东名校考试联盟检测)已知a>0且a≠1,函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-5f(x)+6=0恰有3个不相等的实数解,则实数a的取值范围是　　　　.  14.(2025重庆质量检测)若函数f(x)=|ex-a|-aln x有两个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  四、解答题(本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2024四川成都石室中学期中)某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料,该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位:克)的函数.研究过程中的部分数据如表所示: x 0 2 6 10 … y -4 8 8 … 已知当x≥7时,y=,其中m为常数;当0≤x<7时,y和x的关系为以下函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c;②y=k·ax(a>0且a≠1);③y=klogax(a>0且a≠1),其中k,a,b,c均为常数. (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式; (2)当该新材料的含量为多少克时,产品的性能指标值达到最大? 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 1.C　由题意知解得x>-1且x≠0,所以 求函数f(x)的零点个数,即求函数y=lg(x+1)的图象和函数y=的图象在(-1,0)∪(0,+∞)上的交点个数(突破口). 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+1)和函数y=在(-1,0)∪(0,+∞)上的图象,如图所示. 由图可知,函数y=lg(x+1)的图象和函数y=的图象有2个交点,所以函数f(x)的零点个数为2. 解题技法　　判断函数f(x)零点个数的方法 (1)直接法:令f(x)=0,根据方程的解进行判断,此时要注意函数的定义域; (2)利用函数零点存在定理进行判断:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点. (3)数形结合法:①画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数;②转化成两个函数图象的交点个数问题. 2.C　由函数f(x)的解析式知ln(-x)≠0,即-x≠1,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 又f(-x)===-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,D. 当x>0时,ex+e-x>0,0<-x=<1, 所以ln(-x)<0,此时f(x)<0,故C中图象满足要求. 解题技法　　根据函数解析式识别图象的方法 (1)特殊点法:选取特殊点,分析是否与图象相符; (2)函数性质法:研究函数的奇偶性、单调性、图象的对称性等; (3)图象变换法:通过对已知函数的图象进行变换得到相应图象. 3.B　由题意得两式相除,得=2, 所以ln(3+a)=2ln(1+a),所以3+a=(1+a)2, 又a>0,所以a=1,所以h=mln(t+1). 设t天后金针菇失去的新鲜度为60%,则mln(t+1)=0.6, 又mln(1+1)=0.4,所以=, 所以2ln(t+1)=3ln 2,所以(t+1)2=23=8, 所以t=2-1≈2×1.41-1=1.82≈1.8. 4.B　解法一　易知函数f(x)在(-1,1)上单调递减,函数g(x)在(-1,1)上单调递增,所以需满足即解得-<a<1. 解法二　因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以方程x2-2x+a=2x-2a在x∈(-1,1)上有一个根,即3a=2x-(x2-2x)在x∈(-1,1)上有一个根(关键点). 易知函数y=2x在(-1,1)上单调递增,y=x2-2x在(-1,1)上单调递减, 所以, 所以y=2x-(x2-2x)∈, 所以a∈. 5.B　[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0⇒[f(x)-2][f(x)+m-2]=0,解得f(x)=2或f(x)=2-m. 作出函数f(x)=的图象,如图所示. 由图可知,直线y=2与函数f(x)的图象的交点个数为2. 因为[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根, 所以直线y=2-m与函数f(x)的图象的交点个数为3,所以0<2-m≤1,解得1≤m<2. 解题技法 解决“嵌套函数”的零点问题,通常先“解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,再借助函数的图象和性质求解. 6.B　ex+x+ln x=ln a+⇔ex+x=+ln . 构造函数F(x)=ex+x(关键点), 则F(x)=F. 易知F(x)在[1,+∞)上单调递增,所以问题可转化为求x+ln x=ln a在[1,+∞)上根的个数. 令h(x)=x+ln x(x≥1),易知h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)∈[1,+∞). 当a≥e时,ln a≥1,所以方程x+ln x=ln a在[1,+∞)上根的个数为1, 所以方程ex+x+ln x=ln a+在[1,+∞)上根的个数为1. 7.B　当x<0时,令2×3x-a-5=0,得a=2×3x-5,当x≥0时,令ln(x2-4x-a)=0,得a=x2-4x-1,令g(x)=所以函数f(x)有3个零点可转化为直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点. 作出函数y=g(x)的图象,如图所示. 由图可知,当-5<a<-3时,直线y=a与函数y=g(x)的图象有3个交点. 因为x2-4x-a>0对任意的x∈[0,+∞)恒成立(易错点), 所以x2-4x>a对任意的x∈[0,+∞)恒成立,又y=x2-4x=(x-2)2-4,当x=2时,ymin=-4,所以a<-4. 综上,当-5<a<-4时,函数f(x)有3个零点. 所以“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的必要不充分条件. 8.C　f(x)== 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,m∈(0,1),x1<0<x2<<x3<1<x4<2, 所以|-1|=|-1|且|log2x3|=|log2x4|,即+=2且log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,所以2=+>2=2且x3x4=1,所以x1+x2<0且f(x3x4)=f(1)=0,故A,B正确. 因为f(x2)=f(x3), 所以x2+f(x3)=x2+f(x2)=x2+-1,x3+f(x2)=x3+f(x3)=x3-log2x3. 设g(x)=x+4x-1,x∈,h(x)=x-log2x,x∈, 易知,所以g(0)<g(x)<g,即0<g(x)<,即0<x2+f(x3)<,故C错误. 易得h'(x)=1-,则h'(x)在上单调递增,所以h'(x)<h'(1)=1-=<0, 所以h(x)在上单调递减,所以h(x)>h(1)=1,即x3+f(x2)>1,故D正确. 9.AD　易知函数f(x)=ex+2x-3在R上单调递增. 因为f(0)=-2<0, f(1)=e-1>0,所以由函数零点存在定理知a∈(0,1), 所以ea-1>0,a2-a=a(a-1)<0,ln a<0,a2-a3=a2(1-a)>0. 10.AC　易得f'(x)=1-=,x>-2, 所以当-2<x<-1时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x>-1时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 又f(-1)=0,所以x1=-1. 因为|x1-x2|≤1,所以|-1-x2|≤1,所以-2≤x2≤0,即g(x)在[-2,0]上有零点. 对于方程x2-2ax+4a+4=0. (1)当Δ=4a2-4(4a+4)=0,即a=2±2时,g(x)的零点为a,显然a=2-2符合题意. (2)当Δ=4a2-4(4a+4)>0,即a<2-2或a>2+2时, 若g(x)在[-2,0]上只有一个零点,则g(-2)g(0)≤0,且g(-2)和g(0)不同时为0,此时a无解; 若g(x)在[-2,0]上有两个零点, 则 解得-1≤a<2-2. 综上,实数a的取值范围为[-1,2-2]. 结合选项,实数a的值可能为-1,2-2. 11.ABC　易知函数f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=,且f(x)的图象恒过定点(0,1). 当≤0,即a≤0时,如图①,此时h(x)没有零点. 　 当0<<1,即0<a<2时, f(x)>0恒成立,如图②,此时h(x)没有零点. 当=1,即a=2时, f(x)=x2-2x+1. 如图③,此时h(x)有1个零点. 　 当>1,即a>2时, f=1-<0, 如图④,此时h(x)有2个零点. 综上,当a<2时,h(x)没有零点;当a=2时,h(x)有1个零点;当a>2时,h(x)有2个零点. 12.7 解析　因为当AQI大于200时,空气重度污染,不宜开展户外活动,所以当AQI小于或等于200时,适宜开展户外活动(关键点). 当0≤t≤12时,令-10t+290≤200,得9≤t≤12;当12<t≤24时,令56-24≤200,得12<t≤16.所以该天适宜开展户外活动的时长至多为7小时. 13.(2,3] 解析　由[f(x)]2-5f(x)+6=0,得f(x)=2或f(x)=3. 当x≥1时, f(x)=2x,令f(x)=2,得x=1;令f(x)=3,得x=log23. 当x<1时, f(x)=ax,此时方程[f(x)]2-5f(x)+6=0只有1个实数解. 若0<a<1,则f(x)=ax在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)∈(a,+∞),此时f(x)=2和f(x)=3都有解,与题意不符; 若a>1,则f(x)=ax在(-∞,1)上单调递增,所以f(x)∈(0,a),要使[f(x)]2-5f(x)+6=0有3个不相等的实数解,则需2<a≤3. 综上,实数a的取值范围是(2,3]. 14.(e,+∞) 解析　当a=0时, f(x)=ex(x>0),无零点. 当a<0时, f(x)=|ex-a|-aln x=ex-a-aln x,易知其在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)至多有1个零点,与题意不符. 设g(x)=|ex-a|,h(x)=aln x. 当0<a≤e时,g(x)与h(x)的大致图象如图1所示. 由图1可知,当0<x<1时,g(x)≥0,h(x)<0,所以g(x)与h(x)的图象无交点. 当x≥1时, f(x)=ex-a-aln x,则f'(x)=ex-,易知f'(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥f'(1)=e-a≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=e-a≥0,所以f(x)至多有1个零点,与题意不符. 当a>e时,g(x)与h(x)的大致图象如图2所示,此时显然有两个交点,故f(x)有两个零点. 综上,实数a的取值范围为(e,+∞). 解题技法 已知函数零点的情况求参数的取值范围的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的关系式,通过关系式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法:先对解析式变形,然后在平面直角坐标系中画出函数的图象,通过数形结合求解. 15.解析　(1)由题表可知,当x=0时,y=-4. 若选②y=k·ax(a>0且a≠1),则k=-4,此时y=-4ax,不满足x=2时,y=8.(2分) 若选③y=klogax(a>0且a≠1),则x=0时无意义.(4分) 综上,选①y=ax2+bx+c来描述x,y之间的关系.(5分) 结合题表中数据,得 解得 所以当0≤x<7时,y=-x2+8x-4.(7分) (2)由(1)知,当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以当x=4时,ymax=12.(9分) 将x=10,y=代入y=中,得=,即3-2=3m-10,即-2=m-10,解得m=8,所以当x≥7时,y=,易知其在[7,+∞)上单调递减,所以当x=7时,ymax==3.(12分) 所以当该新材料的含量为4克时,产品的性能指标值达到最大.(13分)解题技法　选择恰当的函数模型解决问题的步骤 (1)根据给定的各组数据分析变量之间的变化规律及趋势,确定函数模型应该具有的性质; (2)逐一分析给出的各个函数模型,找出具有相应性质的函数模型,必要时用给出的数据进行验证; (3)利用选择的函数模型解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$