(七)平面向量及其线性运算、平面向量基本定理及向量的坐标表示、平面向量线性运算的应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修二同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必悠第二月 (七)平面向量及其线性运算、 平面向量基本定理及向量的坐标表示、平面向量线性运算的应用 (考试时间40分钟，菁分100分) 一，选择题（本题共8小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 填是符合题目要求的) I.MA-(BA-CM)+BC- A.2MC B2CB C.2BC D.0 2,已知向量a-(1,2),b-(-2,t),且ab,期a十b- A.② B.5 C.To D.5 3.我国东汉末数学素赵美在（周牌算经中科用一用“蓝图“给出了匀般定理的证明，后 人称其为赵舆弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形，如附所茶.在”赵爽弦图中，若C=a=b,形=3E下，A正=m十地，则 “y 人器 若 c n器 4.如图为某种礼物降落伞的示意阅，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的 垂线的夹角均为0，已知礼物的质量为mkg,每根绳子的拉力大小相同，划降落伞在 ?这下落的过程中每根绳子拉力的大小为（重力加速度g) A 器 C. D.Bug 0N8 数拿人数B质】必修第二耕第1或【共4页1 衡本金卷·先享邀 5.已知平行图边形的三个顶点的坐标分别为(2.2).（一2.4）.(0，D,则另一个顶点的坐 标不可能是 A.(-4,21 .(0,6) C.(4,-2) D.(0,-6) 6,如图，A,日.C三点在半径为1的圆0上运动，且C」C.M是用0外一点，(h 2,划1M瓜+M+之M心的最大值是 A.5 3.8 C,10 D.12 二，选择题（本题我2小题，每小题5分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题日要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题中排溪的有 A,a一b的充要条件是{a一|b且a∥b B.若a∥b(b40),则存在实数入，使得a=h C.若a∥b,b∥e,期a∥c D|la-b≤a-b6+b1 8,数学家欢拉在175年发表的《三角形的几句学)一书中提出定理：三角形的外心，重 心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此 直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理。设点)，G,H分划是 △ABC的外心，重心，垂心，且M为BC的中点，则 A.0i=i+i+0花 B.SG=SsI=S5mu C.AH-30M D.A+AC=40M+2HM 班狱 名 分数 题号 答累 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分》 ,设b是两个不其线的向量，且AB=2a十体.心=a+b.C币=a-2点，若A,B.D三 点共线，则实数P 高一同步周测修七 数举（人数目版）必修第二研第？页{共4贞] 1O,设P为△ABC内的点·且AP=三AB+AC,则△ABP的面积与△ABC的面积之 13.(本小题斜分20分) 比为 在△ABC中，C-a,C店-，若D是AB的中点(i-A则C方-a+b若 四，解答票（本遥共3小题，共8分。解答应写出必愿的文字说明，正明过程或前算步果） D是AB的一个三等分点闪心=丽，则C可=号+号：若D是AB的一个四等 11.(本小题满分13分) 如图，O是正六边形ADEF的中心，且OA=a,O店=b.=C,在以A,B.C,D. 分点A-到则Ci-三a+b E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，同： (1)如图1，若A币一AB,用a,b表C币，你能得出什么结论？并加以证明： (1)与a相等的向量行哪些？ (2)b的相反向量有厚些？ (2)如图2，若C-2M丽.CN-N,AM与BN交于点O,过0点的直线1与CA, (3)与c的模相等的向量有螺线： CB分别交干点P,Q. ①利用(1)的站论，用a,b表示： ②设C平=xi.百=yC(x202o),求x十y的最小值. 12.(本小圈满分15分》 在平面直角坐标系中，A3,0),C(1,4),B,1,四边形ABCD是矩形且 |Ai≠|BC. (I)求点B,D的坐标： (2)若M与点A,B,C.D在同一平面直角量标系中，当点M到点A,B.C,D的臣离 的平方和最小时，求点M的坐标. 数学（人数目极）必修第二粉第3页共4宽) 衡水金善？先享抛·离一黄步周测粒七 数学（人数B版》必修第二甜第4页《共4览）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ②③④ 档次 系数 1 选择题 向量的加减法运算 易 0.80 向量平行的坐标表 选择题 易 0.75 示，求向量的模长 利用平面向量基本 3 选择题 中 0.60 定理求参 向量在物理中的 4 选择题 5 中 0.55 应用 5 选择题 利用向量解决平面 中 0.45 几何问题 6 选择题 5 求向量模长的最值 中 0.35 平面向量的相关 1 选择题 6 易 0.75 概念 向量线性运算的综 8 选择题 6 中 0.30 合应用（文化题） 9 填空题 5 由三点共线求参 易 0.71 利用向量求面积 10 填空题 5 中 0.30 之比 11 解答题 13 确定儿种特殊向量 中 0.60 利用向量求点的坐 12 解答题 15 标，解决平面几何中 中 0.45 的最值问题 平面向量基本定理 13 解答题 20 0.28 的综合应用 ·57· ·数学（人教B版）必修第二册· 参考答案及解析 者管案及解析 一、选择题 1.D【解析】由题意可得MA-(BA-C成)+BC Mi+C+AB+BC=Ci+AC=0.故选D. 2.B【解析】因为a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b.所 以1×1=2×（一2），解得1=一4，故b=(一2，一4)， 6.C【解析】连接AB,OC,如下图所示： a+b=(-1,-2),|a+b|=/(-1)+(-2)F √5，故选B. 3,D【解析】依题意，A龙=B酝-B=三B球-BA= 0 子（心+）-B耐=是成-号花-i,于是 因为AC⊥BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB 正-具成-耐=是。-6所以正-是。o, 的中点，所以Mi+Mi=2Mò.所以Mi+Mi+ 即=一所以一器 放选D, 2MC1=|2Mi+2(Mò+OC)1=4Mò+2O心≤ 4Mò1+2OC1=4×2+2×1=10,当且仅当M,0. 4.C【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子 C共线且M心，O心同向时，等号成立，因此 拉力的大小为1F|,则8|F|cos0=mg,故|F1= |M+Mi+2M心的最大值为10.故选C. 8故选C 二、选择题 5.D【解析】记点(2,2)，（一2,4），(0.0)分别为A,B, 7.AC【解析】对于A,a=b的充要条件是a=b且 O,第4个顶点为C,当线段AB为平行四边形对角线 a,b方向相同，A错误：对于B,若a∥b(b≠0)，则存 时，BC=Oi=(2,2),则点C(0,6):当线段0B为平 在实数a,使得a=b,B正确：对于C,若a∥b,b∥c, 行四边形对角线时，O心=A苏=（一4,2），则点C(一4， 当b=0时，a,c不一定共线，C错误：对于D,根据向 2):当线段OA为平行四边形对角线时，O心=BA 量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知 (4,一2)，则点C(4,一2).故选D. ||a-|b||≤|a-b|≤|a+|b|,D正确.故 ·58· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 选AC, 点共线，所以存在实数A,使得AB=ABD,即 8.ABD【解桥】：O花=2Gi.∴0心=oi.:G为 2=2x ,所以入=1，p=-1. 重心∴Gi+G+G元=0.Oi-O元+Oi-OG+ 1 0元-0d=0,即0d=号oi+0i+0).…oi= 10.5 【解析】 含Oi+O成+0.0i=O+0i+0元，放A正 确：Sam=是XBCXh,Sar=号×BCXA,由于 G是重心，A,=合a,即Sam=号S。e,同理 如图，分别在线段AB,AC上取点D,E使得AB AD =S:,故B正确：Ai=AG+Gi=2GM+2OG 号A=专连接PD,PE,BE,则市= 2(O元+G)=2Oi.故C错误：Oi=3O心，M心 是花.A花-号A花由条件有A市-是A+号A心， -M0+G-M0+号oi-号M0+oi+}M0 故A下=AD+A正，所以四边形ADPE是平行四边 =号M0+}Mi,∴G丽=号oi+号Hi.∴A店+ 形，从面PE∥AD,即PE∥AB,故S△Mr=S△BE, AC=2Ai=6Gi=6(号OM+号HM)=40oM+ 则世-令=得=古所以△ABP的面积 S△xS△ 2HM,所以D正确.故选ABD. 与△ABC的面积的比值是方： 四、解答题 11.解：(1)由相等向量的定义知，与a相等的向量有 DO.EF.CB. (4分) (2)由相反向量的定义知，b的相反向量有O元，CD. 三、填空题 AF.BO. (8分) 9.-1【解析】因为Bi-BC+CD=2a-b.A,B,D三 (3)由向量模长的定义知，与c的模相等的向量有 ·59. ·数学（人教B版）必修第二册· 参考答案及解析 ci.O亦，Fi,Oi,d,oi.Dd,O.ò，oi,A, -(1-A)CA+CB. AB.Bi.A京，Fi,FE.E求，Ei,Di,DC,Ci.Ci. 因为Ci=a,C第=b. BC. (13分) 所以Ci=(1-a)a+边. (5分) 12.解：(1)依题意.Ai=(x-3.1D,C店=(x-1,-3), (2)①若ci=号Mi.C成=Ni, 由矩形ABCD,得AB.C方-(x-3)(x-1)-3=0, 则ci=i,c=2ci, 解得x=0或x=4, (3分) 当x=0时，A=CB1,不符合题意， 因为A,O,M三点共线， (4分) 而x=4时，A≠C, 设Aò=1A立. 因此x=4.B(4,1), (5分) 则Cò-(1-)C+tCM-(1-)+×号Ci 显然AD-BC-(-3,3),于是得D(0,3), =1-t0a+号b, (8分) 所以点B(4,1),点D(0,3. (7分) 因为BO、N三点共线， (2)设M(1,), 设BO-=:BN, 依题意，AM:+BM+C:+D成 则Cò=(1-)Ci+uC=(1-)C+r×2 =(1-3)2+x2+(1-4)2+(s-1)2+(1-1)2+(8 4)2++(s-3) -登a+1-b, (11分) =4t2+4s2-161-16s+52 因为a与b不共线， =4(1-2)2+4(s-2)2+20≥20，当且仅当t-2,￥= 1-= 2时取等号， 所以 ,解得 所以点M的坐标为(2,2)， (15分) 3=1-公 r= 13.解：(1)猜想：CD=(1-A)a+b, 所以d-号a+ (13分) 证明：因为AD=AB, ②因为Cp=xCA,C0-yCi(r>0,y>0), 所以C市=C+A方 所以a=C币，b=1c夜. V =Ci+AA成 -Ci+a(C成-Ci) ·60 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第二册· 因为P.0,Q三点共线，所以导十1， + x=2+2 5y 5 当且仅当 ,即 时，等号成立， 所以x+y=(+)(层+)-号+品十器 Sy =2+ (15分) 所以十y的最小值为3+2区 5 (20分) 因为>0>0，所以高>0，器>0， 5y 所以号++号+√层·3。 5 ·61·