(九)对数运算与对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修一同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第一月 (九)对数运算与对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (考试时间40分钟.满分100分) 一、选择题（本圈共6小题，每小5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 所是符合题日要求的) 1,函数y= 的定义城为 v1g(3-r) A位别 (任+) C.1,十o) n(侵·U(年，+∞】 2,下列函数中，随着：的增大，增长违度最快的是 A.y=20log.r B.y=20r C.y=0.4×2- D.y-100‘e 3.在同一坐标系中，函数f(x)=lOg工，g(行=4，k(x1=r的部分图象可能是 卡产长长 4若函数/(x)=3一一1(u>0,且u≠1)的图象相过定点P(mw),则函数g(x1= 1g.工一一)的单到递增间为 A.(-a,-2月 (】 C,3,+0) n[2+ 数学老舞大级》必修第一前第页共1置) 衡水金卷·先享题 5,2023年10月26日11时14分.諧载神将十七号钱人飞船的长征二号F据十七运载 火箭在锈泉卫星发射中心点火发射，成功人轨，这次任务是我国载人航天工程进人空 同站应用与发展阶段的第2次视人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任 务，也是长任系列运裁火情的第93次飞行，设火箭质量是薇体通量与燃料质量的 和，在不考想空气阻力的条件下，誉料质量不同的火帝的最大速度之差与火箭质量的 自然对数之禁成正化，已知某火箭的箭体质量为侧g,当燃料质量为mg时，该火蕾 的最大速度为3加2km/:当燃料质量为m(e一1)k知时，孩火前的最大速度为3km/s, 群当燃料质量为(e一1)k银时，火箭的最大速度为 A.10km/年 B.11 km/s C.12 km/s D.13 km/s 6.设c=0g3.b=l0gi,=0+.则 A.ab B.b C.cMa D.c< 二、选择题（本题共2小题，每小思号分，共2分。在每小避给出的选中，有多项符合 题目要求，全部选对的得后分，部分选对的得部分分，有远情的得0分) 7,已知函数ft)一4(#>0，且4≠1)的反函数为g).则 A.g《.r》-10g《a>0,且u≠1)且定义城是（心，十=） B.函数了z)与(z的图象关于直线y=r对称 C若f2=则受)=-是 D.(x1与{r的图象至少有一个公共点 8,授两数fr)- 若f(x)-f(》-f-fx1,且< lgr-1)|,x>1 ,期有十十+2的价可以是 A.4 B.5 c. D.8 班规 性名 分数 答案 高一同步周测性九 效学（北糖大版}仑修第一田第：页（共页） 三，填空题（本圈共2小思，每小题5分，共0分 13,(本小题满分0分) 9.十六，十七世纪之交，随着天文、航降，工程，贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了 对于函数f(x),若f工)一工，则称实数为两数Ir)的不动点.设函数f.z)- 当务之急，为了简化其中的计算面发明了对数，后来天才数学家微拉发现了对数与指数 g小-a·g+2g)=(侵 的关系.甲d=Nb-gN.现已知=®12，r=,期后+ (1)若4一1.求函数f)的不动点： 10,若丽数了(r)=lag(ar+时+1)的定义域为R,则实数a的取值范围是 (2)若函数(x)在区间[一1,11上#在两个不动点，求实数：的取值他圆 :若函数f()一o%:(u十4r十1)的值域为R,期实数u的取值范困是 (3)若对任意的1,1E[一1,0们，不等式一2运f士)一g红)2但成立，求实数： ·(本墨第-一空2分，第二空3分) 的取值意围 四，解答题（本题共3小题，共8分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步豫） 11,(本小圈满分13分) 计算， (1)w27-5"+lg2+1g5×1g2+g5: （2)3+lhd+lg500-g5 1og:言×lot8Xlog27 12.(本小圈黄分15分) 已知南数fx)-(2ogx一2ogr+号》 (1)当rE[门.18]时.求fAx)的值域： (2)求不等式/(z)>2的解集. 数学（北师大版}仑修第一历第3页〔共4页引 衡水全修”先享拉·离一号步调脚卷九 数学北南大懂1必修第一景第4页【共4页引高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（九） 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③① 档次 系数 1 选择题 5 函数的定义域 √ 易 0.80 选择题 S 函数增长速度的 易 0.72 比较 指数、对数、幂函数 3 选择题 5 L 巾 0.65 图象的识别 指数型函数图象过 4 选择题 5 定点，对数型复合函 中 0.55 数的单调性 5 对数函数的实际 选择题 中 应用 0.45 6 选择题 5 比较大小 中 0.30 互为反函数的两个 7 选择题 6 务 0.50 函数图象间的关系 利用对数函数图象 8 选择题 6 解决方程的实根 难 0.28 问题 与对数运算有关的 9 填空题 5 条件求值 易 0.71 由对数型复合函数 10 填空题 5 的定义域，值城为R 中 0.35 求参 1 对数运算，换底公式 解答题 13 中 0.60 的应用 对数函数与二次函 12 解答题 15 0.45 数的复合函数问题 解答题 对数函数与指数函 13 20 0.25 数的综合 ·33· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 5.C【解析】设当燃料质量为xkg时，火箭的最大速 log2a(3-4x)>0 度为ykm/s,则y一ye=k[ln(x十m)一ln(x。十m)], 1.A【解析】由题意可得 ,即0<3 13-4x>0 又当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为3ln2 一4红<1，解得号<x<子，所以函数的定文城为 km/s:当燃料质量为m(e一1)kg时，该火箭的最大 速度为3km/s,所以3-3ln2=k[1n(me-m十m) (侵，子)故选A 1n(m十m)],解得k=3,所以y-3n2=3[n(x十m) 2,D【解析】各类函数中，指数型函数增长速度最快， 一ln(2m)],令x=m(e'-1),则y-3ln2= 故只需考虑选项CD,C选项的指数型函数的底数是 3[ln(me-m+m)-ln(2m)],即y=3(4-n2)+ 2,D选项的指数型函数的底数是e,且e>2>0,所以 3ln2=12.故选C 随着x的增大，增长速度最快的是D.故选D, 6.D【解析】依题意a=log,3>log后=号b=log,5 3.C【解析】因为f(x)=logx,g(x)=a在同一坐 标系中，所以∫(x),g(x)的单调性一定相反，且 >12E=c=e=号- f(x),g(x)的图象均不过原点，故排除A,D:在B, 1og3log8< log3og8)=(号og:24)'<1.所 2 C选项中，过原点的图象为幂函数h(x)=x的图 以b>a>2 =c.故选D. 象，由图象可知0<a<1,所以f(x)=log-x单调递 二、选择题 减，g(r)=a单调递增，故排除B.故选C. 7.AB【解析】对于A,根据指数函数与对数函数为一 4.C【解析】对于函数f(x)=3a1-1(a>0且a≠ 对反函数，则g(x)=logx(a>0,且a≠1)，且g(r) 1),令x一1=0，解得x=1,y=2,可得它的图象恒过 的定义域是(0，十∞)，故A正确：对于B,根据反函数 定点(1,2)，所以m=1,n=2.对于函数g(x)= 的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对 log:(x2-x-6),令t=x2-x-6>0,解得x<-2 或x>3,故函数的定义域为{xx<一2或x>3}.函 称，故B正确：对于C,若f2)=,则。=十，解得 数g(x)=og:(x一x一6)的单调递增区间，即t=x a=(负含).则g)=log4,则k(停）=bg号 一x一6在定义域内的增区间，由二次函数的性质可 得，=x2一x一6>0在定义城内的增区间为 =之，故C错误：对于D,如图所示，当a>1时，存在 (3,十∞).故选C 函数y=a与y=logx的图象无公共点，故D错误. ·34· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 故选AB. 三、填空题 9.2【解析】由题得4=(2)2=12，则2=12，b= 1og12所以2+4=2×1og:3+4X1og:2=1og:9 a b +log:16=1og:144=og1:122=2. 10.[0,4)[4,十∞)【解析】若「(x)的定义城为 R,当a=0时，f(x)=0符合题意；当a≠0时，欲使 8.AB【解析】函数(x)的图象如图所示，设f(x)= a>0 f(x)=f(x)=f(x,)=t,由图可知，当0<t≤1 ax2十dx十1>0在R上恒成立，则 时，直线y=t与函数f(x)的图象有四个交点，交点 △=a2-4a<0 的横坐标分别为x1,,x,x4,且x1<<x<x1, 解得0<a<4,综上，实数a的取值范围是[0,4)：若 当x>1时，令f(x)=|og-(x-1)|=1,解得x= f(x)的值域为R,当a=0时，f(x)=0,不符合题 意；当a≠0时，欲使axr十ax十1取遍所有正数，则 2或x=3.由图可知n十=0，号<<2,2< a>0 ,解得a≥4，综上，实数a的取值范 ≤3，由f(x)=f(x).可得五-1=与，则有 A=a2-4a≥0 五点十，所以为十（十+2n 围是[4.十∞). 四、解答题 +2有十名十2令= x+l 1.解：)原式=之 -4+lg2×(lg5+lg2)+lg5 十2(2<x≤3)，易知g(x)在(2,3]上为减函数. 2 7 5 =-+1=一2 (6分) 且g(2)=号g(3)=4,故4≤十 2+2lne+lg(500÷5) (++2)<号，且4e[4,9),5e[4,9) (2)原式=16g,5×1og13X1og2 2+2+1g102 (-210g25)×(310g2)X(-310g:3) A,B正确：又9e[4,9)6E[4,).C,D错误。 2+2+21g10 6 故选AB. 18×g×g2×g3-18=3 (13分) 1g2g3g5 12.解：(1)令1=logx,x∈[1,16]， y-fx) 则1∈[0,2]， 函数f(x)转化为y=(2-2)(+号)[0,2] x32 (2分) ·35· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 则二次函数y=(2:-2)(+)在[0，]上单调 可化为2如+1=2十品 (6分) 递减，在（子，2]上单调递增。 令t=2, 则当x∈[一1,1门时，t关于x单调递增，且t 所以当：=子时y取到最小值为一号， ∈[22] 当t=2时，y取到最大值为5， (6分) 故当x∈[1,16]时，f(x)的值城为 由题意，关于1的方程2a+1=1计号在[分，2]上有 两个不等实根. (8分) (8分) (2)由题得(21ogx-2)(1ogx+号)-2>0， 由于对勾函数h()=十兰在[是厄)上单调递 令t=logx: 减，在（√2,2]上单调递增， 则(21-2)(+2）-2>0， 且(E)=2E.A(号)=号b(2)=3<号 即2r-1-3>0, (10分) 解得>号或K-1, 所以22<2a十1≤3， (10分) 当>2时，即16g>号， 解得ae(E-之1] (12分) 解得x>8: (12分) 综上，实数a的取值范围为（厅-子1]： 当t<-1时，即logx<-1, (3)函数g(x)在[-1,0]上的最大值为g(x)m= 解得0<<， (14分) g(一1)=2，最小值为g(x)m=g(0)=1,(13分) 由题意，Vr∈[一1,0]，一2十g(x)≤f(x)≤2 不等式f()>2的解集为{：0<<十或> 十g(x)ma· 8 (15分) 即0≤f(x)≤3. (14分) 13.解：(1)当a=1时，方程f(x)=x可化为4-3× 上述不等式可化为2-是<2a<2+品 2+2=(2-1)(2-2)=0, 令t=2: 解得x=0或x=1, 则当x∈[-1,0]时[分1] 所以函数f(x)的不动点为0和1. (4分) (2)方程f(x)=x即log:(-a·2+1+2)=x, 由题意，V[合，1]，不等式-<2a<+相 ·36· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 成立。 所以-5≤2a≤2， 函数m(t)=t一 在[合，1门上单调递增，最大值 即-号<a<1, 为m(1)=-5, 综上，实数a的取值范围为[-号，1] (20分) 函数(0=1什在[宁，1]上单调递减，最小值为 n(1)=2. (18分) ·37·