专题02 基本不等式的性质（七大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题02 基本不等式的性质（七大题型） 【题型01：基本不等式求和的最小值】 【题型02：基本不等式求积的最大值】 【题型03：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【题型04：条件等式求最值】 【题型05：基本不等式“1”的妙用求最值】 【题型06：基本不等式的恒成立问题】 【题型07：基本(均值)不等式的应用】 【题型01：基本不等式求和的最小值】 1．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 2．已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 3．的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 4．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 5．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 6．已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 7．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 【题型02：基本不等式求积的最大值】 1．已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 2．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 3．已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的配凑法求解即可. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 4．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 【题型03：二次与二次(或一次)的商式的最值】 1．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 2．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 3．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求出． 【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为． 故选：C． 5．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 【题型04：条件等式求最值】 1．已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 2．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 4．若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 【题型05：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“1”的代换及均值不等式计算可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D. 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 4．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据展开，利用基本不等式即可得到. 【详解】， 当时取等，所以的最小值为. 故选：C. 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 7．若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 8．已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立. 答案：C. 9．已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【题型06：基本不等式的恒成立问题】 1．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 2．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 3．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 4．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 5．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 7．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题型07：基本(均值)不等式的应用】 1．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解最值可得． 【详解】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C 2．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出行车的总费用为，其中，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结果. 【详解】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是. 故选：C. 3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 【答案】D 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：D 4．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【分析】先设鱼池的一边长为，则另一边唱为，则鱼池与路的占地面积，再根据均值不等式可得总面积最小值. 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 5．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1) (2)10万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 2．若，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先判断的正负，然后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为， 故选：A. 3．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 4．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 5．已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为． 故选：C. 6．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 7．已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】直接使用基本不等式即可. 【详解】由正数a，b，且，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式的性质（七大题型） 【题型01：基本不等式求和的最小值】 【题型02：基本不等式求积的最大值】 【题型03：二次与二次(或一次)的商式的最值】 【题型04：条件等式求最值】 【题型05：基本不等式“1”的妙用求最值】 【题型06：基本不等式的恒成立问题】 【题型07：基本(均值)不等式的应用】 【题型01：基本不等式求和的最小值】 1．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 3．的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 4．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 6．已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 7．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【题型02：基本不等式求积的最大值】 1．已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 2．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【题型03：二次与二次(或一次)的商式的最值】 1．设，则 （    ） A． B． C． D． 2．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 3．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【题型04：条件等式求最值】 1．已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 4．若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型05：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 8．已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 9．已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【题型06：基本不等式的恒成立问题】 1．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 3．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型07：基本(均值)不等式的应用】 1．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 2．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 4．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 5．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．2 3．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 4．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 5．已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 7．已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$