专题01 等式和不等式的性质（六大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01等式和不等式的性质（六大题型） 【题型01：用不等式表示不等关系】 【题型02：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【题型03：由不等式的性质比较数(式)大小】 【题型04：作差法比较代数式的大小】 【题型05：作商法比较代数式的大小】 【题型06：由不等式的性质证明不等式】 【题型01：用不等式表示不等关系】 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 3．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 4．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 5．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 6．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【题型02：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 4．设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型03：由不等式的性质比较数(式)大小】 2．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 3．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 4．多选题若，则（   ） A． B． C． D． 5．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则与的大小关系为 . 7．若，，则a、b的大小关系是 ． 8．若，，，则，的大小关系是 . 【题型04：作差法比较代数式的大小】 1．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 2．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 3．设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与. 4．（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 5．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 6．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 【题型05：作商法比较代数式的大小】 1．设，比较与的大小 2．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【题型06：由不等式的性质证明不等式】 1．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 3．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 4．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 5．已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 6．已知，且，求证： 7．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．多选题若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．多选题若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01等式和不等式的性质（六大题型） 【题型01：用不等式表示不等关系】 【题型02：由已知条件判断所给不等式是否正确】 【题型03：由不等式的性质比较数(式)大小】 【题型04：作差法比较代数式的大小】 【题型05：作商法比较代数式的大小】 【题型06：由不等式的性质证明不等式】 【题型01：用不等式表示不等关系】 1．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 3．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出符合题意的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 4．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 5．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 6．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 【题型02：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 2．已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 3．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 4．设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值可得充分性不成立，由不等式的性质可得必要性成立，即可求解. 【详解】令，，满足，但，； 当且时，能得到， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：. 5．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 6．使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的判定知，选项为条件，题干是结论. 【详解】对于A，取时，可知，但，故是的不充分条件，故A错误； 对于B，取，可知，但，故是的不充分条件，故B错误； 对于C，由，所以，反之不成立，故C正确； 对于D，当时，由，得，故是的不充分条件，故D错误. 故选：C. 【题型03：由不等式的性质比较数(式)大小】 2．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，不妨设满足条件，则，故A错误； 对于B，因为，，故，故B正确； 对于C，由条件可知：，，所以，故，故C正确 对于D，因为，，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 3．多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD，利用作差法可判断C，即可. 【详解】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 4．多选题若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，又，所以，B错误； 对于C，由，得，又，所以，C正确； 对于D，由，得，则， 则，D正确. 故选：ACD 5．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 6．已知，，，则与的大小关系为 . 【答案】（或） 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为：（或）. 7．若，，则a、b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】将，式子分子有理化，利用分式的性质比较分母即可得答案. 【详解】，， 因为，所以， . 故答案为：. 8．若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【详解】解法一：特殊值验证．解法二：直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小． 解法一：可令得 解法二：由，有，， 则，故， 故答案为：． 【题型04：作差法比较代数式的大小】 1．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 2．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 3．设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）用作差法比较大小． （2）用作差法比较大小． 【详解】（1），当且仅当时等号成立， 所以； （2）， 所以． 4．（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系. 【详解】（1）， 即； （2）， 令， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，. 5．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 6．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质直接证明即可； （2）利用作差法证明即可； （3）利用作差法证明即可； 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又，则. （2）证明：， 因为，所以，，，， 所以， 即. （3）证明：， 因为， 所以，，，， 所以， 即. 【题型05：作商法比较代数式的大小】 1．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 2．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 【题型06：由不等式的性质证明不等式】 1．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 2．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 3．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 4．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】答案见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 5．已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 所以. （2）由题意得， 则，， 得， 所以. 6．已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合综合法，即可得证. 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 7．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于B，由，，因此，B错误； 对于D，由，得，，D错误. 故选：C 2．多选题若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 3．多选题若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$