第二十五章 锐角的三角比（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．的值等于（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 8．计算： ． 9．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 11．在中，，如果，，那么 ． 12．如图，在中，，垂足分别为、，它的周长为，面积为，那么的正弦值为 ． 13．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 14．已知等边三角形的边长为4，点D、E分别是边上的点，将沿直线翻折，点A的对应点落在边上（不与C点重合），设，那么m的取值范围是 ． 15．如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为 ． 16．如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 17．如图，已知M为线段的中点，与交于点C，，交于点F，交于点G，连接，如果，那么的长为 ． 18．如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）先化简，再求值代数式的值，其中． 21．（本题10分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 22．（本题10分）如图，已知平行四边形，、分别是边、的点，且，，联结、． (1)如果，求证：； (2)写出（1）的逆命题，判断其真假，并证明你的结论． 23．（本题12分）一直角三角形的边长为．其中为斜边，我们把它叫作初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为与．现在，对于边长为的直角三角形反复进行上述的变换． (1)第二次变换后，能够获得个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角的正切值小于？ (2)第七次变换后，能够获得个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由． 24．（本题12分）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 25．（本题14分）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．的值等于（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 8．计算： ． 9．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 11．在中，，如果，，那么 ． 12．如图，在中，，垂足分别为、，它的周长为，面积为，那么的正弦值为 ． 13．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 14．已知等边三角形的边长为4，点D、E分别是边上的点，将沿直线翻折，点A的对应点落在边上（不与C点重合），设，那么m的取值范围是 ． 15．如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为 ． 16．如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 17．如图，已知M为线段的中点，与交于点C，，交于点F，交于点G，连接，如果，那么的长为 ． 18．如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）先化简，再求值代数式的值，其中． 21．（本题10分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 22．（本题10分）如图，已知平行四边形，、分别是边、的点，且，，联结、． (1)如果，求证：； (2)写出（1）的逆命题，判断其真假，并证明你的结论． 23．（本题12分）一直角三角形的边长为．其中为斜边，我们把它叫作初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为与．现在，对于边长为的直角三角形反复进行上述的变换． (1)第二次变换后，能够获得个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角的正切值小于？ (2)第七次变换后，能够获得个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由． 24．（本题12分）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 25．（本题14分）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．的值等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 故选：B． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过点作于，如图所示： ∵它是一个轴对称图形， ∴ ， ，即， 房顶A离地面的高度为， 故选B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 【答案】 【解析】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 8．计算： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 9．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【解析】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 10．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【解析】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 11．在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 12．如图，在中，，垂足分别为、，它的周长为，面积为，那么的正弦值为 ． 【答案】 【解析】解：∵在中，周长为，面积为 ∴ ∵ ∴ ∵面积为 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 14．已知等边三角形的边长为4，点D、E分别是边上的点，将沿直线翻折，点A的对应点落在边上（不与C点重合），设，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：设A的对应点为F，那么为的垂直平分线， ∵是等边三角形， ∴， ∵的长为m， ∴， ∴； 当的角度等于时，如图， 在中，， ∴， ∴， 当的角度大于时，过点D作边的垂线h， ∴， ∴， 当的角度小于时，过点D作边的垂线h， ∴， ∴， 又，且点A的对应点落在边上（不与B、C重合），则． 故答案为：． 15．如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为 ． 【答案】 【解析】解：正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 设， ，， ， ， 解得：，（舍去负值）， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 16．如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，已知M为线段的中点，与交于点C，，交于点F，交于点G，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，， ∴， 为的中点， ， ，是的外角， ， ， ， ，， ，， ．   故答案为：． 18．如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 【答案】 【解析】过点P作于点K， 由题意得， 设， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴， 设， ∵正方形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 由 得， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 20．（10分）先化简，再求值代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 ， ∵ ∴原式． 21．（10分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【解析】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 22．（10分）如图，已知平行四边形，、分别是边、的点，且，，联结、． (1)如果，求证：； (2)写出（1）的逆命题，判断其真假，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：逆命题：如果，则，真命题； 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵是对角线， ∴ ∴即 ∴到的距离相等，且位于的两侧， 又 ∴关于对称 连接，如图 ∵四边形是平行四边形，且，关于对称， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 23．（12分）一直角三角形的边长为．其中为斜边，我们把它叫作初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为与．现在，对于边长为的直角三角形反复进行上述的变换． (1)第二次变换后，能够获得个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角的正切值小于？ (2)第七次变换后，能够获得个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由． 【答案】(1)没有直角三角形最小角的正切值小于 (2)不存在直角三角形相似，理由见解析 【解析】（1）第一次：为，为 第二次：为，为 为，为 其正切值最小分别为： 所以没有直角三角形最小角的正切值小于 （2） 由上可知： 所以且为正整数，且互质； 若存在直角三角形相似； 为锐角 由题知： 不存在直角三角形相似； 24．（12分）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【解析】（1）解：①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 25．（14分）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 【答案】(1)椅面与地面之间的距离为 (2)不能，理由见解析 【解析】（1）解：与椅面的夹角为时，， ∴， ∵与地面保持平行， ∴， 如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离， 在中，， ∴， ∴椅面与地面之间的距离为； （2）解：不能，理由如下， 如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，假设此时能将椅背调节至最大角度到处，即， ∴，且， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴假设有误， ∴此时不能将椅背调节至最大角度到处． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 锐角的三角比·提升能力（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D C A B 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7． 8． 9．/ 10． 11．4 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（共9小题，共78分） 19（10分）．解： （4分） （6分） （8分） ．（10分） 20．（10分）解： （2分） ，（5分） ∵（8分） ∴原式．（10分） 21．（10分）解：（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，，（2分） ∴，，， ∴， ∴．（5分） （2）解：∵， ∴，（7分） ∴．（10分） 22．（10分）解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，，（12分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）解：逆命题：如果，则，真命题； 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，4分） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，（5分） 设，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴（4分） ∵是对角线， ∴ ∴即 ∴到的距离相等，且位于的两侧， 又 ∴关于对称（7分） 连接，如图 ∵四边形是平行四边形，且，关于对称， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴．（10分） 23．（12分）解：（1）第一次：为，为 第二次：为，为（4分） 为，为 其正切值最小分别为： 所以没有直角三角形最小角的正切值小于（6分） （2） （10分） 由上可知： 所以且为正整数，且互质； 若存在直角三角形相似； 为锐角 由题知： 不存在直角三角形相似；（12分） 24.（12分）解：（1）①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求．（6分） （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为．（12分） 25．（14分）解：（1）与椅面的夹角为时，， ∴， ∵与地面保持平行， ∴，（2分） 如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离，（3分） 在中，， ∴， ∴椅面与地面之间的距离为；（7分） （2）解：不能，理由如下， 如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点，（8分） ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，（10分） 在中，， ∴， ∴，（12分） ∵椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，假设此时能将椅背调节至最大角度到处，即， ∴，且， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴假设有误， ∴此时不能将椅背调节至最大角度到处．（14分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$