第二十五章 锐角的三角比（知识清单）数学沪教版五四制九年级上册

第二十五章 锐角的三角比 1.锐角的三角比及定义： ①定义：一个锐角的 统称为这个锐角的 . ②正切：把直角三角形中一个锐角的 叫这个锐角的正切.即 ； ③余切：把直角三角形中一个锐角的 叫这个锐角的余切. ； ④正弦：把直角三角形中一个锐角的 叫这个锐角的正弦.即 ； ⑤余弦：把直角三角形中一个锐角的 叫这个锐角的余弦.即 ； 【记忆技巧】 正（正对）弦（斜边）：对边比斜边； 余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边． 2.锐角的三角比性质： ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值 ，这个锐角的 ； ②若，则 ； ③. 3.特殊角的三角比： 【记忆技巧】 图形推导法 表格记忆法 2．表格记忆法 4.锐角与锐角的三角比： ①已知锐角，求 ； ②已知锐角的三角比，求 . 5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出 . 6. 直角三角形的边角关系：（中，） 7.解直角三角形的应用： ①水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. ②铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线. ③在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ，视线在水平线下方的角叫做 . ④如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做 ，记作，即. 坡度通常写成的形式，如1︰1.5． ⑤坡面与水平面的夹角叫做 ,记作. 坡度与坡角之间的关系: . 1. 混淆三角比的定义 易错：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）对应的边比关系。 注意：sin A = ∠A对边 /∠A 斜边；cos A =∠A 邻边 / ∠A斜边；tan A = ∠A对边 / ∠A邻边 2. 忽略锐角的范围 易错：误将钝角或直角代入锐角三角比公式。 注意：三角比的定义仅适用于锐角（0° < A < 90°）。若题目未明确说明角度范围，需先判断是否为锐角。 3. 特殊角的三角比值记错 易错：混淆30°、45°、60°的sin/cos/tan值。 注意： 特别记忆方法：画两个直角三角形（30°，60°，90°和45°，45°，90°），通过定义与边长比例推导。 4. 混淆三角比与角度变化关系 易错：认为角度增大时，sin、cos、tan一定单调变化。 注意： sin A：随角度增大而增大（0°→90°：0→1）。 cos A：随角度增大而减小（0°→90°：1→0）。 tan A：随角度增大而增大（0°→90°：0→+∞）。 5. 解直角三角形时漏解 易错：已知两边求角度时，未考虑多解可能性。 例如：已知sin A = 0.5，直接认为A=30°，但实际题目可能隐含锐角条件（若无限制，A还可能是150°等）。 注意：注意题目是否明确要求锐角解。 6. 计算中的符号错误 易错：在代数式中混淆三角比的符号。 例如：计算sin²A + cos²A时误写为sin A + cos A。 关键公式：sin²A + cos²A = 1；tan A = sin A / cos A. 7. 实际应用中的建模错误 易错：解应用题时，错误构造直角三角形或选错参考角。 示例：测量楼高时，误将仰角对应的邻边当作斜边。 注意：画图标注已知条件，明确所求角与边的关系。 8. 忽略单位的统一 易错：角度用度数，计算器误设为弧度模式，导致结果错误。 注意：计算前确认计算器的角度单位（DEG vs RAD）。 9.避免错误的建议 1. 画图辅助：遇到问题时先画直角三角形，标出已知边和角。 2. 多角度验证：用不同三角比公式交叉验证结果（如用勾股定理检查边长）。 3. 总结错题：整理典型错误，强化易混淆点的记忆。 通过理解定义、强化记忆特殊值，并注重实际应用中的细节，可以有效减少锐角三角比的错误率。 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 1．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 3．矩形的对角线交于点，已知，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 针对训练： 1．在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A．CosA= B．tanA= C．sinA= D．tanA= 2．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 3．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 题型二　求角的正弦值或求边长 1．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 针对训练： 1．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，， ． 3．在△ABC中，，求的长． 题型三　求角的余弦值或求边长 1．在△ABC中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 针对训练： 1．如图，在中，，分别为的高线和中线，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，是边上的高，，，，则线段长为 3．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    题型四　求角的正切值或求边长 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（   ）    A．2 B． C． D． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形为菱形，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 针对训练： 1．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．在中，，，，则的值是 ． 3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型五　特殊三角形的三角函数 1．的值是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 3．已知在中，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 针对训练 1．如图，矩形的对角线相交于点O，，则（　　） A．1:2 B． C．:2 D． 2．如图，在△ABC中，已知，，，则 ．    3．计算：． 题型六　特殊角三角函数值的混合运算 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．的值等于（    ） A．2 B． C． D． 3．的值等于（    ） A． B． C． D． 针对训练： 1．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： 题型七　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．在△ABC中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在△ABC中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．在△ABC中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 针对训练： 1．在△ABC中，都是锐角，，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 2．在△ABC中，、都是锐角，且，则△ABC的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 3．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D(-1，a）． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO的度数． 题型八　根据特殊角三角函数值求角的度数 1．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，若，则为（    ） A． B． C． D． 3．若为锐角，且，则等于（　　） A． B． C． D． 针对训练： 1．在△ABC中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，已知，是锐角，若，则的度数为 ． 3．求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 题型九　已知角度比较三角函数值的大小 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 针对训练： 1．若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 3．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 题型十　根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 针对训练 1．已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 题型十一　利用同角三角函数关系求值 1．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 针对训练： 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知是锐角，且，则 ． 3．(1)； (2)； (3)已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数； (4)已知的值是方程的一个根，求式子的值． 题型十二　三角函数的综合 1．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，的对边分别为，下列结论中，能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的面积等于（    ） A．12 B．30 C．37.5 D．24 针对训练： 1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．△ABC的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 3．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 题型十三　解直角三角形的相关计算 1．如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一副三角板拼成如图所示的图形．若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 针对训练： 1．如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 2．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    3．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 题型十四　仰俯角问题 1．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D．． 2．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 针对训练 1．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 3．2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，） 题型十五　方位角问题 1．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 2．在一次“新希望杯”数学夏令营活动中，某同学从营地点A出发，到与点A的距离为1000米的C地去，她先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地C，此时这名同学在营地点A的（　　） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 3．如图，一艘轮船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行到港，港在港北偏东方向上，那么两港间的距离为（    ） A． B． C． D． 针对训练： 1．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号 （   ）    A． B． C． D． 2．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽 ． 3．如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东． （参考数据：，，） (1)求的距离（结果精确到1米）； (2)兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由． 题型十六　坡度坡比问题 1．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 2．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 3．如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20   针对训练： 1．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 2．如图，小明在距离地面33米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 3．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 锐角的三角比 1.锐角的三角比及定义： ①定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. ②正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即； ③余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即； ④正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即； ⑤余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即； 【记忆技巧】 正（正对）弦（斜边）：对边比斜边； 余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边． 2.锐角的三角比性质： ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 3.特殊角的三角比： 1 1 【记忆技巧】 图形推导法 表格记忆法 2．表格记忆法 4.锐角与锐角的三角比： ①已知锐角，求三角比； ②已知锐角的三角比，求锐角. 5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程. 6. 直角三角形的边角关系：（中，） 7. 解直角三角形的应用： ①水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. ②铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线. ③在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. ④如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即. 坡度通常写成的形式，如1︰1.5． ⑤坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作. 坡度与坡角之间的关系: . 1. 混淆三角比的定义 易错：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）对应的边比关系。 注意：sin A = ∠A对边 /∠A 斜边；cos A =∠A 邻边 / ∠A斜边；tan A = ∠A对边 / ∠A邻边 2. 忽略锐角的范围 易错：误将钝角或直角代入锐角三角比公式。 注意：三角比的定义仅适用于锐角（0° < A < 90°）。若题目未明确说明角度范围，需先判断是否为锐角。 3. 特殊角的三角比值记错 易错：混淆30°、45°、60°的sin/cos/tan值。 注意： 1 1 特别记忆方法：画两个直角三角形（30°，60°，90°和45°，45°，90°），通过定义与边长比例推导。 4. 混淆三角比与角度变化关系 易错：认为角度增大时，sin、cos、tan一定单调变化。 注意： sin A：随角度增大而增大（0°→90°：0→1）。 cos A：随角度增大而减小（0°→90°：1→0）。 tan A：随角度增大而增大（0°→90°：0→+∞）。 5. 解直角三角形时漏解 易错：已知两边求角度时，未考虑多解可能性。 例如：已知sin A = 0.5，直接认为A=30°，但实际题目可能隐含锐角条件（若无限制，A还可能是150°等）。 注意：注意题目是否明确要求锐角解。 6. 计算中的符号错误 易错：在代数式中混淆三角比的符号。 例如：计算sin²A + cos²A时误写为sin A + cos A。 关键公式：sin²A + cos²A = 1；tan A = sin A / cos A. 7. 实际应用中的建模错误 易错：解应用题时，错误构造直角三角形或选错参考角。 示例：测量楼高时，误将仰角对应的邻边当作斜边。 注意：画图标注已知条件，明确所求角与边的关系。 8. 忽略单位的统一 易错：角度用度数，计算器误设为弧度模式，导致结果错误。 注意：计算前确认计算器的角度单位（DEG vs RAD）。 9.避免错误的建议 1. 画图辅助：遇到问题时先画直角三角形，标出已知边和角。 2. 多角度验证：用不同三角比公式交叉验证结果（如用勾股定理检查边长）。 3. 总结错题：整理典型错误，强化易混淆点的记忆。 通过理解定义、强化记忆特殊值，并注重实际应用中的细节，可以有效减少锐角三角比的错误率。 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 1．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 2．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【解析】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．矩形的对角线交于点，已知，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是对角线的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵， ∴； 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴， 故D错误，符合题意． 针对训练： 1．在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A．CosA= B．tanA= C．sinA= D．tanA= 【答案】B 【解析】解：依题意，，如图所示， ，故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误， 故选：B． 2．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ． 【答案】 c b a 【解析】（1）直角三角形的斜边为最长边c （2）∠B的对边是∠B正对的边b （3）∠B的邻边是a， （4）∠B的对边比斜边即等于b÷c= 故答案为①c②b③a④ 3．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定． 【解析】解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的； 在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的． 在中，．当确定时，它的正切值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的． 题型二　求角的正弦值或求边长 1．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 2．在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，，， ， ． 故选：A． 3．在△ABC中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解析】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 针对训练： 1．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，，，， 则， 故选：A． 2．在中，，，， ． 【答案】 【解析】解：如图， ∵，，， ∴， 故答案为：． 3．在△ABC中，，求的长． 【答案】12 【解析】解：∵， ∴， ∴． 题型三　求角的余弦值或求边长 1．在△ABC中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图， ∴， 故选：． 2．在△ABC中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 3．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵，， ， 故选B． 针对训练： 1．如图，在中，，分别为的高线和中线，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是△ABC的高线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【解析】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【解析】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 题型四　求角的正切值或求边长 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意得：，， ，， ，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形为菱形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，设、交于点． 四边形是菱形， ，． ． 故选：A． 3．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】解：在中，， ， D是的中点， ， 故选：B． 针对训练： 1．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 2．在中，，，，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：如图： ∵，，， ∴， 故． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． （2）解：， 在直角△BEC中，，， ，， 四边形是菱形， ，、互相平分， 在直角中，，， ， 点是的中点， ． 题型五　特殊三角形的三角函数 1．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 原式． 故选：C． 2．计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：． 故选：C． 3．已知在中，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 针对训练 1．如图，矩形的对角线相交于点O，，则（　　） A．1:2 B． C．:2 D． 【答案】B 【解析】解：四边形是矩形， ， ， ， △AOB是等边三角形， ， ， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，已知，，，则 ．    【答案】8 【解析】解：过点A作交与点D．    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 3．计算：． 【答案】 【解析】原式 ． 题型六　特殊角三角函数值的混合运算 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】解：， 故选：C． 2．的值等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C． 【解析】解： ， 故选：C． 3．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意， 故选：B． 针对训练： 1．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．计算： ． 【答案】0 【解析】解：原式 ， 故答案为：0． 3．计算： 【答案】6 【解析】解： 题型七　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．在△ABC中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴△ABC一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．在△ABC中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】解：， ，， 即，， ， 即△ABC为直角三角形， 故选：D． 3．在△ABC中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴△ABC是钝角三角形， 故选：C． 针对训练： 1．在△ABC中，都是锐角，，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【解析】解：∵在△ABC中，都是锐角，， ∴， ∴， ∴△ABC是锐角三角形， 故选：D． 2．在△ABC中，、都是锐角，且，则△ABC的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【解析】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在△ABC中，， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 3．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D(-1，a）． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO的度数． 【答案】（1）y＝－x＋2，y＝－；（2）30° 【解析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数． 试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（0，2），B（2，0）代入得：，解得：. ∴直线AB解析式为. 将D（-1，a）代入直线AB解析式得：，则D（-1，）. 将D坐标代入中，得：m=. ∴反比例解析式为. （2）联立两函数解析式得：，解得：或. ∴C坐标为（3，）. 过点C作CH⊥x轴于点H， 在Rt△OHC中，CH=，OH=3， ∴.∴∠COH=30°. 在Rt△AOB中，，∴∠ABO=60°. ∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°． 题型八　根据特殊角三角函数值求角的度数 1．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵已知α为锐角，， ∴， ∴． 故选：B． 2．在△ABC中，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，， ，， ，， ， 故选：A． 3．若为锐角，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 针对训练： 1．在△ABC中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在△ABC中，若， ，， ， 解得， ， 在△ABC中，由三角形内角和定理可得， 故选：C． 2．在△ABC中，已知，是锐角，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【解析】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 3．求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 锐角 （2）解： 题型九　已知角度比较三角函数值的大小 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 2．已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：由，得，故①正确； ∵，，∴，∴，故②错误； 当时，，故③错误； ，故④正确； 故选：B． 3．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 针对训练： 1．若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 2．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】解：，， 故答案为：． 3．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解析】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 题型十　根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 3．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 针对训练 1．已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解∶ ∵为锐角，且， 又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小， ∴， 故选∶C． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【解析】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 题型十一　利用同角三角函数关系求值 1．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】解：是锐角，， ． 故选：A． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 3．如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 针对训练： 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【解析】， ∴原式 故答案为：． 3．(1)； (2)； (3)已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数； (4)已知的值是方程的一个根，求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴的度数为； （4）解：∵， ， 解得， ∴， ∴， ∴式子的值为． 题型十二　三角函数的综合 1．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，是斜边边上的高，， ∴都是直角三角形． 在中， ∵， 故选项B不正确； 在中， ∵， 故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴， 故选项D正确． 故选：D． 2．在中，的对边分别为，下列结论中，能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，的对边分别为， 由锐角三角函数的定义可得，因此选项A符合题意； 由锐角三角函数的定义可得，因此选项B不符合题意； 由锐角三角函数的定义可知，，因此选项C不符合题意； 由于，因此选项D不符合题意； 故选：A． 3．在中，，，，则的面积等于（    ） A．12 B．30 C．37.5 D．24 【答案】D 【解析】解：过点作， ， ∵，， ∴，即：， ∵， ∴的面积为：， 故选：D． 针对训练： 1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．△ABC的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 【答案】D 【解析】解：由题意得： ∵ ∴ ∴△ABC的面积，故A正确； 当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：    由题意可知：点在线段上运动 ∴当时，有最小值 ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，为中点 ∴，故B正确； 作点关于的对称点，连接，如图所示：    ∵ 又 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故C正确； 由以上分析可知：, 若，如图所示：    则， ∴的面积 若，如图所示：    则 ∴的面积 故D错误； 故选：D 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 3．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 【答案】 【解析】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 题型十三　解直角三角形的相关计算 1．如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， ∴， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：依题意，过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故选：A． 3．如图，一副三角板拼成如图所示的图形．若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C 针对训练： 1．如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【解析】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形 平分 （2）过点作，垂足为 ，， 题型十四　仰俯角问题 1．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， ， ． 故选：A． 2．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，在中,， ， ， 故选: D. 3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 针对训练 1．数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 2．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【答案】 【解析】解：由题意，得：，，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 3．2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，） 【答案】 【解析】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴飞船从A点飞到B点的平均速度是． 题型十五　方位角问题 1．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【解析】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 2．在一次“新希望杯”数学夏令营活动中，某同学从营地点A出发，到与点A的距离为1000米的C地去，她先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地C，此时这名同学在营地点A的（　　） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【解析】解：如图所示： ， 米，米，即， ， ， 此时这名同学在营地点A的北偏东方向上， 故选：D． 3．如图，一艘轮船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行到港，港在港北偏东方向上，那么两港间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：作垂直于于点．根据题意可得 ，，    ， ∴ ， ， ， . 故选A． 针对训练： 1．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过点作于点，    由题意得，，，千米， 在中， ， 千米， 在中，， 解得， 千米． 故选：B． 2．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点C作于点D，则的长即为道路的宽.    由题意得.， ∵是的一个外角， ∴． ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴道路的宽约为米. 故答案为：； 3．如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东． （参考数据：，，） (1)求的距离（结果精确到1米）； (2)兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由． 【答案】(1)581米 (2)兴华先到达，理由见解析 【解析】（1）解：过C作于N， 由题意可得：，， 在中，， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴（米） 答：的距离略为581米； （2）过M作于H， 在中， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴兴华所用时间：（秒）， 旺旺所用时间：（秒） ∵． ∴兴华先到达． 题型十六　坡度坡比问题 1．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 米， 故选：A． 2．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 3．如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【解析】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：D．    针对训练： 1．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（    ） A． B． C．5m D． 【答案】B 【解析】解：∵坡面的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 2．如图，小明在距离地面33米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【答案】 【解析】解：由题意，得：，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 3．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析． 【解析】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$