1～2指数幂的拓展，分数指数幂与根式的互化（题型专练）高一数学北师大版必修第一册

学科网（北京）股份有限公司 1指数幂的拓展，2指数幂的运算性质 题型一：根式的化简 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B．1 C． D． 4．式子的值为（ ） A． B． C． D．1 5．下列式子中成立的是（ ） A． B． C． D． 题型二：分数指数幂与根式的互化 1．将写成根式，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（ ） A．－＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型三：简单指数幂的运算 1．设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设，下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）下列各式不正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四：根式指数幂的运算 1．代数式化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则化为（ ） A． B． C．m D．1 3．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型五：实数指数幂的运算（基础） 1．______________． 2．计算：____________________. 3．_______________________. 4．计算或化简： (1)； (2). 5．计算下列各式： (1)； (2)． 题型六：实数指数幂的运算（提升） 1．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 2．化简：_________________. 3．完成下列式子的化简： (1)； (2)． 4．计算下列各式： (1)； (2)． 5．化简： （1）； （2）． 题型一：配凑指数幂运算 1．已知，，则（ ） A． B． C．1 D． 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．若，，则下列式子值为的是（ ） A． B． C． D． 4．（1）若，求； （2）若，请用将表示出来． 题型二：根式的化简（拓展） 1．化简：____________________．（结果用根式表示） 2．已知，则_________________． 3．已知，则________________． 4．化简：； 5．化简：． 题型三：配凑指数平方差运算 1．化简：_________________． 2．若，，，则_____________． 3．计算与化简： (1)； (2)； (3)计算：； (4)化简． 4．计算：． 5．化简（其中）. 题型四：平方，立方的求值 1．（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则________________． 3．已知，求的值． 4．已知，且，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 1．满足，的有序实数组可以是（ ） A． B． C． D． 2．设都是正数，且，求证：． 3．已知，求证: 4．对于正整数和非零实数，若，，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1指数幂的拓展，2指数幂的运算性质 题型一：根式的化简 1．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断. 【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 3．已知，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4．式子的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【详解】 故选：A. 5．下列式子中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 题型二：分数指数幂与根式的互化 1．将写成根式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式指数幂与根式关系即可得结果. 【详解】. 故选：C 2．（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（ ） A．－＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】ACD 【分析】结合分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B正确； C中，（），故C错误； D中，，故D错误. 故选：ACD. 3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 4．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的运算法则，即可判断选项. 【详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确. 故选：D 题型三：简单指数幂的运算 1．设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数幂的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A. 2．设，下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 4．（多选）下列各式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则判断． 【详解】；； ，；， 故ABC均错，D正确， 故选：ABC． 题型四：根式指数幂的运算 1．代数式化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：A 2．已知，则化为（ ） A． B． C．m D．1 【答案】C 【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】，. 故选：C． 3．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则． 故选：B. 5．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】应用指数幂运算律计算求解； 【详解】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． 题型五：实数指数幂的运算（基础） 1．______________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2．计算：____________________. 【答案】 【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 3．_______________________. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 4．计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0；(2)-7 【分析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 5．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 题型六：实数指数幂的运算（提升） 1．化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质求结论即可. 【详解】原式． 故选：C. 2．化简：_________________. 【答案】 【分析】利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】；； 原式 故答案为： 3．完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式； （2）原式：． 4．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算性质即可求解； 【详解】（1）原式 ； （2）原式． . 5．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】利用指数运算的性质化简求值即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 题型一：配凑指数幂运算 1．已知，，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 3．若，，则下列式子值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 4．（1）若，求； （2）若，请用将表示出来． 【答案】（1）40；（2） 【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 又，则10，所以． （2）． 题型二：根式的化简（拓展） 1．化简：____________________．（结果用根式表示） 【答案】 【分析】直接由分数指数幂以及根式互相转换计算即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 2．已知，则_________________． 【答案】 【分析】根据指数幂运算法则化简原式，结合已知数据求值即可. 【详解】 ， 因为，所以原式 故答案为： 3．已知，则________________． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 4．化简：； 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； 【详解】原式. 5．化简：． 【答案】 【分析】将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】 ． 题型三：配凑指数平方差运算 1．化简：_________________． 【答案】 【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒ 【详解】原式 故答案为：﹒ 2．若，，，则_____________． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 3．计算与化简： (1)； (2)； (3)计算：； (4)化简． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果； （2）利用指数幂的运算性质化简可得出结果； （3）利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解； （4）利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式． （4）原式． 4．计算：． 【答案】 【分析】把分子和分母中的因式分别代入式子即可计算得出每个因式的数值，再进行约分即可得答案. 【详解】∵， 则 同理，， 以此类推得： 原式 ． 5．化简（其中）. 【答案】 【分析】分子分母同时乘以，利用平方差公式化简. 【详解】 由于，则， 故 题型四：平方，立方的求值 1．（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 2．若，则________________． 【答案】/ 【分析】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即， 两边平方得：，即， 而，所以， 则， 故答案为：. 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 4．已知，且，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由已知可得，再由平方差公式即可求解； （2）分子分母同时乘以，结合（1）以及完全平方式化简即可求解； （3）利用立方和公式展开，再化简即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以 所以. （2）. （3） . 1．满足，的有序实数组可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．设都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【详解】令，则，，． 很显然有，∴． 3．已知，求证: 【答案】证明见解析 【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【详解】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 4．对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【答案】，， 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】. 同理可得， 所以， 又， 所以， 又为正整数，且 均不为1， 又因为， 所以. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$