第3章 §2 指数幂的运算性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§2　指数幂的运算性质 课程标准 素养解读 1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2．掌握实数指数幂的运算性质 1.通过实数指数幂的意义提升数学抽象素养 2．通过实数指数幂的运算性质提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数t的关系． [知识梳理] [知识点]　实数指数幂的运算性质(a＞0，b＞0，α，β∈R)．　 (1)aαaβ＝aα＋β. (2)(aα)β＝aαβ. (3)(ab)α＝aαbα. 1.同底指数幂相除aα÷aβ等于什么？ 提示：aα÷aβ＝aα－β. 2．同次的指数幂相除等于什么？ 提示：＝α. 3．指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ [预习自测] 1．下列各式运算错误的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 解析：C　[对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确．] 2．化简[]的结果为(　　) A．5　　　B.　　　C．－　　　D．－5 解析：B　[原式＝()＝(5)＝5＝.] 3．计算：2××＝　________　. 解析：2×× 答案：6 实数指数幂的运算 [例1] 计算下列各式： [思路点拨]　若a>0，b>0，r，s∈R，则ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr. [解]　(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝－1＋＋＝. 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． [变式训练] 1．化简求值： 有条件的求值问题 [例2] 已知＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2. [思路点拨]　从已知条件中解出a，然后再代入求值，这种方法不可取．应考虑从整体中寻求需求值的式子与已知条件的联系． [解]　(1)将＝两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)由a＋a－1＝3，两边平方， 得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7. (3)设y＝a2－a－2，两边平方， 得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， 所以y＝±3，即a2－a－2＝±3. 条件等式求值的原则和方法技巧 1．原则：①对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值． ②也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． 2．解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： [变式训练] 实际问题中的指数运算 [例3]　在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： α 5 6 7 8 … 14 15 … 27 28 29 2α 32 64 128 256 … 163 84 327 68 … 13421 7728 26843 5356 53687 0912 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6,256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384. 按照这样的方法计算16 384×32 768＝(　　) A．134 217 728　　　　　B．268 435 356 C．536 870 912 D．513 765 802 [思路点拨]　分析表中的规律是求解的关键． [解析]　由已知可知，要计算16 384×32 768，先查第一行的对应数字，16 384对应14,32 768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536 870 912. 所以有：16 384×32 768＝536 870 912. [答案]　C 指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． [变式训练] 3．毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.若新丸经过50天后，体积变为a，则一个新丸体积变为a需经过的时间为(　　) A．125天 B．100天 C．75天 D．50天 解析：C　[由题意知a＞0，当t＝50时，有a＝a·e－50k.即＝(e－k)50，得e－k＝.所以当V＝a时，有a＝a·e－kt.即＝(e－k)t＝，得3＝.所以t＝75.] 1.0－(1－0.5－2)÷的值为(　　) A．－　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[原式＝1－(1－22)÷2 ＝1－(－3)×＝.] 2．计算 得(　　) 解析：A　[原式＝＝－b2.] 3．若＋＝0，则(x2 025)y＝　________　. 解析：因为＋＝0， 所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， 所以x＝－1，y＝－3. 所以(x2 025)y＝[(－1)2 025]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 4．已知＋b＝1，则＝　________　. 解析：由＋b＝1，得＝32a×31－×3－ ＝32a＋1－－＝3. 答案：3 5．化简 (a>0，b>0)． 解：原式＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$