第十七讲线段的垂直平分线的性质 (2)（3个知识点6大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十七讲 线段的垂直平分线的性质（解析版） 知识点梳理 知识点1 线段垂直平分线的定义及性质 1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 要点诠释： 1.垂直平分线是线段的对称轴，可将线段分成左右对称的两部分。 三角形三边垂直平分线交于外心，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.证明题 ：常用于证明点与线段的位置关系（如证明某点在垂直平分线上）或线段相等（如通过构造垂直平分线）。 计算题 ：结合轴对称性质求解线段长度或角度问题。 知识点2 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 要点诠释： 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 知识点3 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 要点诠释： 半径控制 ：若半径小于或等于线段长度的一半，两弧将无法相交，导致作图失败。 直线性质 ：垂直平分线同时满足垂直（与线段成90度）和平分（将线段等分）两个条件。 . 典例精讲 题型1 利用线段垂直平分线性质计算线段长度 例1．现有一张矩形纸片ABCD，其中. ，点E 是 BC 的中点，将纸片沿着直线AE 折叠，点 B 落在四边形ABCD 内，记为点 F，则线段 FC 的长为　 　. 名师支招 1.构造全等三角形  通过垂直平分线构造全等三角形，利用对应边相等求解未知线段。 2.利用周长关系 在四边形或三角形中，通过垂直平分线分割线段，利用周长公式间接求解 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：连接BF交AE于点O，连接EF，由折法及点E是BC的中点可知EB=EF=EC， ∴∠EBF=∠EFB，∠ECF=∠EFC， ∵△BFC三内角之和为180°， ∴∠BFC=90°. ∵点F是点B关于直线AE的对称点， ∴AE垂直平分BF. 在Rt△ABE中，， 在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2-AO2=BE2-(AE-AO)2， ∴，BO=AB2-AO2=12 ∴ 在Rt△BFC中， 故答案为：. 【分析】连接BF交AE于点O，连接EF，由折法及点E是BC的中点可知EB=EF=EC，在根据三角形内角和定理可知∠BFC=90°，由于点F是点B关于直线AE的对称点，得出AE垂直平分BF，再根据勾股定理即可求解. 针对训练1 1．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　． 【答案】10 【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 【分析】连接，．即可得到，根据等积法求出，得到点C关于直线的对称点为点A，即可得到的长为的最小值解答即可． 2．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 　 　 ． 【答案】12． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵直线DE垂直平分BC， ∴， ∴△ABD的周长， 故答案为：12． 【分析】利用垂直平分线的性质可得，然后计算△ABD的周长即可． 3．如图，在中，边AC的垂直平分线交AC于点，交BC于点，若的周长为18，则BC的长为　 　. 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵的周长为18，． ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：12． 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．先根据的周长和即可求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，即可求出的长． 题型2 利用线段垂直平分线性质求角度 例2．如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交于点D和E． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 名师支招 辅助线添加 ：常通过连接顶点与垂直平分线交点构造等腰三角形或全等三角形。 定理转化 ：将文字定理转化为数字语言（如∠DAC=∠C），便于计算 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作图步骤作图即可. （2）根据三角形内角定理可得∠ABC=70°，再根据垂直平分线性质可得，由等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案. （1）如图，即为所求； （2）在中， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 针对训练2 1．如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，为上的中线， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，即， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的性质，可知，再根据，得到是直角三角形，进而可以得到结论； （2）由直角三角形的性质求出，进而得到，结合，再根据，得到垂直平分，即可得到答案． （1）证明：∵，为上的中线， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，即， ∴． 2．如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴的周长． （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴． ​​​​​​​ 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，然后求出周长即可； （2）利用等边对等角可得，，然后根据三角形的内角和定理解题． （1）∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴的周长． （2）由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在△ABC中，AB=BC， ∠B=52°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点 A和点 D为圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作直线 CE，交 AB于点 F，连结 CD，则/BCD 的度数为（　　） A．12 B．26° C．30° D．52° 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵ AB=BC， ∠B=52°， ∴∠A=（180°-52°）÷2=64°， ∵CA=CD， ∴∠CDA=∠A=64°， ∴∠BCD=∠CDA-∠B=64°-52°=12°， 故答案为：A. 【分析】由题意可知△BAC，△CAD均为等腰三角形，结合已知角度和外角性质计算即可. 题型3 作已知线段的垂直平分线 例3． 如图， 在 Rt 中， 。 （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 ，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E （不写作法，保留作图痕迹）； （2） 在（1）题图中， 连接 AD ， 若 平分 ， 且 ， 求 的长。 名师支招 作图过程中需保持圆规半径一致，确保弧线交点的准确性。 【答案】（1）解：如图所示：直线DE是AB的垂直平分线； （2）解 ：∵直线DE是AB的垂直平分线， ∴∠BED＝90°， ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴DC＝DE＝3， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝6， ∴BC＝DC＋BD＝9． 【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法及步骤作出图形即可； （2）先利用角平分线的性质可得DC＝DE＝3，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可. 针对训练3 1．两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示，点C即为所求． 【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】连接，作的中垂线和的角平分线，它们的交点，即为所求的点． 2．如图，已知线段， （1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． （2）如果，求等腰三角形的腰长． 【答案】（1）解：如图，三角形即为所求， （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴等腰三角形的腰长为. ​​​​​ 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法和步骤作出图形即可； （2）利用垂直平分线的性质可得，，再利用勾股定理求出AB的长即可. （1）解：如图，三角形即为所求， （2）∵垂直平分 ∴， ∵ ∴， 即等腰三角形的腰长为 3．如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的周长． 【答案】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】本题考查尺规作图作垂线，中垂线的性质. （1）根据尺规作垂线的方法：以线段的一个端点A为圆心，作一个半径超过线段长度一半的圆，以另一个端点B为圆心，作一个相同半径的圆，找出两个圆的交点，连接这两个交点，得到的直线就是线段AB的中垂线； （2）根据中垂线的性质可得：，据此可推出的周长为：，再代入数据进行计算可求出答案. （1）解：由题意，作图如下： （2）∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 题型4 线段垂直平分线判定及应用 例4．已知：如图，．求证：平分． 名师支招 适用于需要证明点与线段位置关系的场景。 【答案】解：∵，∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴平分． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定 【解析】【分析】得到，，然后根据垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据三线合一得到结论即可． 针对训练4 1．如图，在中，，，平分． （1）若，求的长； （2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 【答案】（1）解：由题意可得：∠CAB=60°，∠BAD=∠CAD=30°， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴AD=BD=6， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=6， ∴. （2）证明：∵，为的中点，∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分． 【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念 【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，斜边中线的性质． （1）根据角平分线的定义求得，进而得到，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）利用斜边中线的性质求得，推出是等边三角形，据此即可证明． （1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （2）证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分． 2．如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； （2）解：是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ． 【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定 【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，由等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案. （2）根据角平分线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案. （1）证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； （2）是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ． 3．如图，与相交于点，，，． 求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案. （1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型5 线段垂直平分线性质和判定的综合 例5．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别作，的平分线，交点为E； （3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是，的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2， （1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别在线段上截取； （3）连接；交点为E； （4）作直线．直线PE即为线段的垂直平分线． 任务： （1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是　 　； （2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由； （3）若，，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出的度数． 名师支招 注意事项 条件验证 ：判定时需同时满足“到两端点距离相等”和“在垂直平分线上”两个条件 实际应用 ：结合轴对称性质解决实际问题，如最短路径规划、几何图形对称性分析等。 【答案】（1）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 （2）解：直线是线段的垂直平分线，理由如下： 由作图可知：，， 又， ， ， 点在线段的垂直平分线上，， ， 即， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线 （3）解：的度数或 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：（3）当点，点分别在线段，上时， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ； 当点，点分别在线段，的延长线上时， 同理可证， ， ， ， ， ， ； ， 综上所述，的度数或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求解； （2）由“SAS”可证△APD≌△CPB，可得∠PAD=∠PBC，由等腰三角形的判定可证AE=BE，可得结论； （3）分两种情况讨论，当点C，点D分别在线段PA，PB上时，当C，D分别在PA，PB的延长线上时，分别求解即可． 针对训练5 1．综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 （1）【操作发现】对折（），使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1.小明根据以上操作发现：四边形满足，.查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.请写出图1中筝形的一条性质　 　. （2）【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点.求证： （3）【迁移应用】如图3，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 【答案】（1）筝形是轴对称图形，对称轴是直线 （2）解：证明：∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴. （3）解：解：∵，，， 当四边形为筝形时，由题意可分①如图， ∴四边形为筝形， ∴由筝形的性质可知：， ∴； ②如图， 根据题意可知：筝形是轴对称图形，即， ∴. 综上，的度数为或. 【知识点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定 【解析】【解答】(1)、解：答案不唯一，以下任意一条均可， ∵对折（），使点落在边上的点处，得到折痕， ∴“筝形”有以下性质： ①筝形是轴对称图形，对称轴是直线； ②筝形的两条对角线互相垂直； ③筝形的对角线平分一组对角； ④筝形的对角线是对角线的垂直平分线； 故答案为：筝形是轴对称图形，对称轴是直线. 【分析】（1）根据三角形纸片的折叠可直接写出性质. （2）根据轴对称图形的性质及线段垂直平分线的判定证明即可. （3）根据筝形是轴对称图形，由轴对称图形的性质求解即可. 2．综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1） 发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是 ▲ ，并说明理由． （2）类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵． ∴； （2）解：如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【知识点】全等三角形的实际应用；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）通过条件，得到∠EAF=∠BAC，继而证明，得到BC=EF，推出结论BC=ED+DF； （2）结合（1）中证明过程，涉及到两个等腰三角形，则率先要构造另一个等腰三角形，并且同时还有构造出2倍的BE的长，通过作图，得到等腰三角形AGE，参考（1）中证明方法，推出（SAS），DE=CG=GE+EC=CE+2BE。 3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等。 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线MN的任意一点。 求证：。 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明。 请写出完整的证明过程 （1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． （2）定理应用： 如图②，在中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图③，在中，，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若，，则DE的长为　 　． 【答案】（1）证明：∵，∴， 在和中，， ∴，∴； （2）证明：如图2，连接OA、OB、OC， ∵直线m是边BC的垂直平分线，∴， ∵直线n是边AC的垂直平分线，∴， ∴，∵，∴； （3）解： 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：（3）如图③中，连接BD，BE． ∵BA=BC，∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°， ∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E， ∴DA=DB，EB=EC， ∴∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°， ∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴AD=BD=DE=BE=EC， ∵AC=27， ∴DE=AC=9． 故答案为：9． 【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可解决问题． （2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可． （3）连接BD，BE，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，得出∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，则∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，即可证明△BDE是等边三角形即可，进而可得DE=AC=9． 题型6 线段垂直平分线性质与角平分线性质的综合 例6．综合与探究 （1）【基础巩固】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°．AD平分∠BAC，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接CE，试判断△ACE的形状，并说明理由． （2）【深入探究】如图1，在（1）的条件下，连接DE，试猜想DE和AB的位置关系，并证明你的结论． （3）【拓展提高】如图2，在（2）的条件下，N是BC上一点，连接AN，作∠ANG＝60°，交DE的延长线于点G，延长AD到点H，使得 DH＝DN，连接NH，试探究AH和DG之间的数量关系，并证明你的判断正确． 名师支招 证明线段相等  若点在垂直平分线上，可直接利用性质定理证明线段相等。 通过构造全等三角形（如SAS、SSS）间接证明。 证明点在垂直平分线或角平分线上  若点到线段两端距离相等，利用逆定理证明在垂直平分线上。 若点到角两边距离相等，利用逆定理证明在角平分线上。 计算角度与线段长度  结合垂直平分线对称性求角度（如等腰三角形底角）。 利用角平分线分线段比例定理（如角平分线定理）计算线段长度 【答案】（1）解：△ACE是等边三角形． 理由：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30° ∵EF垂直平分BC．∴ BE＝CE，∴∠ECB＝∠B＝30°， ∴∠ACE＝90°－30°＝60°，∴∠CAB＝∠ACE＝∠AEC＝60°， ∴△ACE是等边三角形． （2）解：DE⊥AB． 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30° ∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE． ∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠AED＝∠ACD． ∵∠ACD＝90° ∴∠AED＝90°即 DE⊥AB． （3）解：AH＝DG 证明：∵∠ADC＝90°－30°＝60°，∴∠HDN＝∠ADC＝60° ∵DH＝DN，∴△DHN为等边三角形， ∴∠H＝∠DNH＝60°，DN＝NH． ∵∠ANG＝60°，∴∠ANH＝∠AND＋∠DNH＝∠AND＋60°，∠GND＝∠ANG＋∠AND＝∠AND＋60°， ∴∠ANH＝∠GND． 在△ANH和△GND中， ∴△ANH≌△GND． ∴AH＝DG． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠B＝90°－60°＝30°，再根据垂直平分线的性质即可得到∠ECB＝∠B＝30°，进而根据等边三角形的判定即可求解； （2）先根据角平分线的性质得到∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，进而结合题意运用等边三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质即可得到∠AED＝∠ACD，从而即可求解； （3）先根据题意证明∠ANH＝∠GND，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ANH≌△GND即可得到AH＝DG。 针对训练6 1．如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）解： GAD= FAD， AGD= AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG= (AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）连接DB，根据角平分线的性质可得DF=DG，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，证明Rt△CDF≌Rt△BDG ，据此可得结论； （2）证明△ADG≌△ADF，得到AG=AF，结合BG=CF以及线段的和差关系可得AC-AB=AF+FC-AB=AF+BG-AG=AF+AG=2AG，据此计算. 2．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE=CE，又∵OE=OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC， ∴△DOC是等腰三角形， 又∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线； （2）解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°， ∴∠AOE=∠BOE=30°， ∵ED⊥OA，CD⊥OE， ∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF， ∴OE=4EF. 【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定 【解析】【分析】（1）先证△ODE≌△OCE，得出△DOC是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一得出OE是CD的垂直平分线；（2）分别求出∠AOE=30°，∠EDF=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求解. 3．如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G． （1）求证： AB+AC=2AG． （2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F ∵AE平分∠BAC EG⊥AC于点G ∴EG=EF，∠EFB=∠EGC=90° 连接BE，EC ∵点D是BC的中点，DE⊥BC ∴BE=EC 在Rt△BFE与Rt△CGE中 ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL） ∴BF=GC ∵AB+AC=AB+AG+GC ∴AB+AC =AB+BF+AG =AF+AG 在Rt△AFE与Rt△AGE中 ∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL） ∴AF=AG ∴AB+AC=2AG （2）解：∵AG=5cm， AB+AC=2AG ∴AB+AC=10cm 又∵BC=8cm ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm． 【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】(1)连接BE、EC，只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG，再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长. 创新拓展能力提升 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. （1）求证：AD⊥BC. （2）若∠BAC=75°，求∠B的度数. 【答案】（1）证明：连接AE， ∵EF垂直平分AB， ∴AE=BE， ∵BE=AC， ∴AE=AC， ∵D是EC的中点， ∴AD⊥BC； （2）解：设∠B=x°， ∵AE=BE， ∴∠BAE=∠B=x°， ∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°， ∵AE=AC， ∴∠C=∠AEC=2x°， 在三角形ABC中，3x°+75°=180°， x°=35°， ∴∠B=35°. 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE=AE=AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC； （2）设∠B=x°，由（1）可知∠BAE=∠B=x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值. 2．在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． （1）如图1，当点D是的中点时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由． （3）若等边的边长为4，当时，求的长． 【答案】（1）解：∵D是等边三角形边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：全等，证明如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴ 又 ∵ ∴ 在和中， ， ∴； （3）解：由（2）知，且 ∴， ∴． 【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形-动点问题 【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质知识点； （1）利用等边三角形三线合一的性质得出，再通过垂直平分线的性质得到，进而通过根据三角形外角性质得出，再结合等腰三角形的判定得出结论； （2）已知△ABC 是等边三角形，再结合可得， 由于∠ACB = 60°，所以∠AFD =，又因为 AH = HE 且，所以，进而得到，由此可推出，；在 和 中，根据角边角（ASA）得出； （3）根据（2）的结论，DF = BD = a，且，所以 AE = AC + CE = 4 + a． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长． 【答案】（1）证明：连接DB、DC， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴DB=DC． ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90° 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE=CF （2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）． ∴AE=AF． ∵AC+CF=AF， ∴AE=AC+CF． ∵AE=AB﹣BE， ∴AC+CF=AB﹣BE， ∵AB=8，AC=6， ∴6+BE=8﹣BE， ∴BE=1， ∴AE=8﹣1=7． 即AE=7，BE=1． 【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出 DE=DF，由垂直平分线的性质可得DB=DC． 利用HL判断 Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论。（2）由HL判断Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，然后利用等量代换即可得出答案。 28．如图，四边形中，，，连接. （1）求证：； （2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F； （3）连接，若，求的度数. 【答案】（1）证明：∵， ∴. 在和中，， ∴. （2）解：如图1所示：直线即为所求. （3）解：如图2.连接， ∵垂直平分，， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴. 【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据AAS证明即可； （2）分别以点BD为圆心，以大于BD的长为半径在BD的两侧分别画弧，两弧交于一点，过两交点画直线即可； （3）连接，由线段垂直平分线的性质可得BE=ED，利用等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，继而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十七讲 线段的垂直平分线的性质 知识点梳理 知识点1 线段垂直平分线的定义及性质 1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 要点诠释： 1.垂直平分线是线段的对称轴，可将线段分成左右对称的两部分。 三角形三边垂直平分线交于外心，该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.证明题 ：常用于证明点与线段的位置关系（如证明某点在垂直平分线上）或线段相等（如通过构造垂直平分线）。 计算题 ：结合轴对称性质求解线段长度或角度问题。 知识点2 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 要点诠释： 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 知识点3 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 要点诠释： 半径控制 ：若半径小于或等于线段长度的一半，两弧将无法相交，导致作图失败。 直线性质 ：垂直平分线同时满足垂直（与线段成90度）和平分（将线段等分）两个条件。 . 典例精讲 题型1 利用线段垂直平分线性质计算线段长度 例1．现有一张矩形纸片ABCD，其中. ，点E 是 BC 的中点，将纸片沿着直线AE 折叠，点 B 落在四边形ABCD 内，记为点 F，则线段 FC 的长为　 　. 名师支招 1.构造全等三角形  通过垂直平分线构造全等三角形，利用对应边相等求解未知线段。 2.利用周长关系 在四边形或三角形中，通过垂直平分线分割线段，利用周长公式间接求解 针对训练1 1．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　． 2．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 　 　 ． 3．如图，在中，边AC的垂直平分线交AC于点，交BC于点，若的周长为18，则BC的长为　 　. 题型2 利用线段垂直平分线性质求角度 例2．如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交于点D和E． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求的度数． 名师支招 辅助线添加 ：常通过连接顶点与垂直平分线交点构造等腰三角形或全等三角形。 定理转化 ：将文字定理转化为数字语言（如∠DAC=∠C），便于计算 针对训练2 1．如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 2．如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 3．如图，在△ABC中，AB=BC， ∠B=52°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点 A和点 D为圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作直线 CE，交 AB于点 F，连结 CD，则/BCD 的度数为（　　） A．12 B．26° C．30° D．52° 题型3 作已知线段的垂直平分线 例3． 如图， 在 Rt 中， 。 （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 ，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E （不写作法，保留作图痕迹）； （2） 在（1）题图中， 连接 AD ， 若 平分 ， 且 ， 求 的长。 名师支招 作图过程中需保持圆规半径一致，确保弧线交点的准确性。 针对训练3 1．两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 2．如图，已知线段， （1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． （2）如果，求等腰三角形的腰长． 3．如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的周长． 题型4 线段垂直平分线判定及应用 例4．已知：如图，．求证：平分． 名师支招 适用于需要证明点与线段位置关系的场景。 针对训练4 1．如图，在中，，，平分． （1）若，求的长； （2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 2．如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 3．如图，与相交于点，，，． 求证： （1）； （2）垂直平分． 题型5 线段垂直平分线性质和判定的综合 例5．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别作，的平分线，交点为E； （3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是，的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2， （1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别在线段上截取； （3）连接；交点为E； （4）作直线．直线PE即为线段的垂直平分线． 任务： （1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是　 　； （2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由； （3）若，，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出的度数． 名师支招 注意事项 条件验证 ：判定时需同时满足“到两端点距离相等”和“在垂直平分线上”两个条件 实际应用 ：结合轴对称性质解决实际问题，如最短路径规划、几何图形对称性分析等。 针对训练5 1．综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 （1）【操作发现】对折（），使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1.小明根据以上操作发现：四边形满足，.查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.请写出图1中筝形的一条性质　 　. （2）【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点.求证： （3）【迁移应用】如图3，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 2．综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1） 发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是 ▲ ，并说明理由． （2）类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等。 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线MN的任意一点。 求证：。 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明。 请写出完整的证明过程 （1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． （2）定理应用： 如图②，在中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图③，在中，，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若，，则DE的长为　 　． 题型6 线段垂直平分线性质与角平分线性质的综合 例6．综合与探究 （1）【基础巩固】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°．AD平分∠BAC，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接CE，试判断△ACE的形状，并说明理由． （2）【深入探究】如图1，在（1）的条件下，连接DE，试猜想DE和AB的位置关系，并证明你的结论． （3）【拓展提高】如图2，在（2）的条件下，N是BC上一点，连接AN，作∠ANG＝60°，交DE的延长线于点G，延长AD到点H，使得 DH＝DN，连接NH，试探究AH和DG之间的数量关系，并证明你的判断正确． 名师支招 证明线段相等  若点在垂直平分线上，可直接利用性质定理证明线段相等。 通过构造全等三角形（如SAS、SSS）间接证明。 证明点在垂直平分线或角平分线上  若点到线段两端距离相等，利用逆定理证明在垂直平分线上。 若点到角两边距离相等，利用逆定理证明在角平分线上。 计算角度与线段长度  结合垂直平分线对称性求角度（如等腰三角形底角）。 利用角平分线分线段比例定理（如角平分线定理）计算线段长度 针对训练6 1．如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 2．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 3．如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G． （1）求证： AB+AC=2AG． （2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长． 创新拓展能力提升 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. （1）求证：AD⊥BC. （2）若∠BAC=75°，求∠B的度数. 2．在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． （1）如图1，当点D是的中点时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由． （3）若等边的边长为4，当时，求的长． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$