函数与导数（五）：已知函数单调性求参数讲义-2026届高三数学一轮复习

高三一轮复习——函数与导数（五）：含参函数的单调性 1、 知识点思维导图 2、 知识点分析 已知函数单调性求参数问题属于综合性问题，每种类型的处理方法不相同。 复合函数：利用同增异减转化为某函数单调性问题； 分段函数处理主要抓两个关键点：1.各段单调性相同；2.确定连接处的函数值大小关系. 超越函数一般转化为导数的恒成立问题，最后直接求最值或分离参数后求最值.与之相关的知识有： ； ； 3、 典例学习与过关 例1：（复合函数） 1．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的范围为 ． 方法总结：利用复合函数的性质判断出含参部分的函数的单调性，再利用基本初等函数的性质锁定参数范围，或者先求出函数的单调区间，利用集合间的关系确定参数的范围.易错点是忽略函数的定义域. 【过关训练】 1．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．函数在区间上是减函数，则实数的范围是 ． 3．函数在上单调递减，则的范围为 . 例2：（分段函数） （1）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． （3）已知函数单调递减，则实数的取值范围为 . 方法总结： 【过关训练】 1．已知函数是定义在上的函数，且，若在上单调递增，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若在上单调递增，则的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例3：（超越函数） （1）设，若的单调减区间为，则 ， . （2）若 在上单调递减，则实数的取值范围是 . （3）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （4）若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法总结： 【过关训练】 1．若函数的单调减区间是,则实数的值为 ． 2．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 3．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 4．若函数在区间内不单调，则k的取值范围是 ． 5．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 . 知识点过关测试 一、单选题 1．若的单调减区间是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数（    ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是 D．若的单调递减区间为，则. 8．若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 9．（多选）若函数在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 . 11．若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ． 12．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 参考答案: 例1：（1）B【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以，解得.故选：B. （2）【详解】令，则，， 因为在上是减函数，函数在上单调递增， 所以在上是减函数，因为函数对称轴为，开口向上， 所以，解得，的范围为，故答案为：. 【过关训练】 1．A【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A 2．【详解】对于开口向上，对称轴为，而在定义域内单调递增， 由在区间上是减函数，则，可得.故答案为： 3．【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减. 因为函数在上单调递减所以.故答案为：. 例2： （1）A【详解】根据题意得到，，解得，即.故选：A. （2）【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，则取值的范围为.故答案为：. （3）【详解】由题意得，解得.所以实数的取值范围是.故答案为： 【过关训练】 1．C【详解】函数是定义在上的函数，所以 解得： 所以a的范围是，故选：C 2．D【详解】在上单调递减，所以 ，解得 ，即， 所以则a的取值范围为，故选： . 3．D【详解】因为函数，，在上单调递增，所以为增函数，故，所以,又需满足，即，因为的根为， 由图象得的解为或.综上，的范围是或.故选：D 例3： （1）/ 【详解】由可得， 依题意，的解集为，即的解集为， 也即，有两根为，故得：解得.故答案为：；. （2） 【详解】∵，∴.∵ 在上单调递减，∴在上恒成立，∴，解得.故答案为：. （3）B【详解】，由题，，即在上恒成立，则.对于函数，其在上单调递减，在上单调递增.则。故选：B （4）D【详解】由，则．函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，即在区间上有解， 方法一：即在区间上有解，所以． 令，则， 令在上单调递增，所以，即，所以． 方法二：当时，在恒成立，不符合； 当时，开口向上，只需或，所以．故选：D 【过关训练】 1．【详解】 由题意得是方程 的根， ，解得：． 2．【详解】对于，则，因为在区间上单调递增， 所以在恒成立，显然，所以在恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去），所以实数的取值范围为.故答案为： 3．【详解】由可知，其定义域为，则， 易知当时，；当时，；即函数在单调递减，在上单调递增；若函数在区间上不单调，则需满足，解得； 所以实数的取值范围为.故答案为： 4．【详解】因为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合； 当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合； 当时，若，则，若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，综上可知：.故答案为：. 5．【详解】函数，求导得， 函数在上存在单调递减区间，得，即在有解， 当时，，，因此，所以实数a的取值范围为. 知识点过关测试答案： 1．A【详解】由题意，函数，可得，令，可得， 因为的单调减区间是，可得，解得．故选：A. 2．D【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，因为，，所以，即，故实数的取值范围为. 3．B【详解】由在区间上单调递减，可得在区间上单调递减，且抛物线的对称轴为直线，由解得，所以的最大值为4． 4．A【详解】因为在上单调递减，所以，解得，故选：A 5．C【详解】，令，因为函数在区间上不单调，所以在上有变号零点，即，解得，故选：C 6．A【详解】因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以.故选：A 7．AD【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数. 对于选项A：因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分离出参数，可得在上恒成立.又因为二次函数在上单调递增， 所以在上，所以，故选项A正确.对于选项B：因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，分离出参数，可得在上有解.又因为二次函数在上单调递增，所以在上，所以，故选项B错误. 对于选项C：当时，. 令，解得.因为在区间上不单调，所以导数在区间上有极值点， 则，解得：，故选项C错误.对于选项D：因为的单调递减区间为， 所以是的一个根，即，解得：，故选项D正确.故选：AD. 8．BC【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点，设，则，则在上单调递减，所以，即，解得，则的取值范围是.故选：BC. 9．AD【详解】易知的定义域为，．由得函数的单调递增区间为；由得函数的单调递减区间为．因为在区间上单调，所以或，解得或．结合选项可得A，D正确．故选：AD． 10．【详解】∵，∴.当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意；当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得.故答案为：. 11．【详解】因为，则，由题意可知，存在，使得，可得，因为函数在上为减函数，则，故，因此，实数的取值范围是. 12．【详解】，设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$