精品解析：陕西省西安市雁塔区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

陕西省西安市雁塔区2024-2025学年下学期八年级期末 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止信指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的（ ） A. 禁止驶入 B. 单行路 C. 室内停车场 D. 右侧变窄 2. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，函数与的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 10. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，分别取的中点D，E，测得，则的长为 _________m．     11. 如图，将线段先向下平移2个单位长度，再绕原点O逆时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ____________ ． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为__________． 13. 如图，在中，于点E，于点F．若，的周长为50，则的长为 _________ ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 分解因式：． 15. 解不等式：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 18. 如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 19. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 20. 如图，是等边三角形，点D在边上，将绕点C旋转得到，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．现将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到． （1）请画出平移后的． （2）在平移过程中，线段扫过的图形的面积为 ． 22. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线与，分别交于点E，D，连接． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 23. 如图，在四边形中，，且C为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若、、、求的长． 24. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 25. “文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 26. 【问题提出】 （1）如图1，在等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．，则 ． 【问题解决】 （2）如图2，某加工厂有一批平行四边形板材，其中分米，．现根据客户要求，需在平行四边形板材上开两道长度相同的凹槽，用于埋装线路，其中一个开槽点E距离点C为4分米．若要使这两道凹槽互相垂直（），则另一个开槽点F距离点D多少分米？（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市雁塔区2024-2025学年下学期八年级期末 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止信指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的（ ） A. 禁止驶入 B. 单行路 C. 室内停车场 D. 右侧变窄 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题关键，注意与轴对称图形的区别． 根据“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质为：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质来解答即可． 【详解】解：∵， ∴两边同时加上1得，则A选项正确，不符合题意， ∴两边同时乘以得，则B选项错误，符合题意， ∴两边同时减去3得，则C选项正确，不符合题意， ∴两边同时除以5得，则D选项正确，不符合题意， 故选：B． 3. 下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解∶A．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； B．，  两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，符合题意； C． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； D．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； 故选：B． 4. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 根据不等式表示方法可直接得出答案． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是． 故选：B． 5. 如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式. 【详解】∵四边形是一个长方形， ∴该长方形的面积=， ∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成， ∴该图形的面积=， ∴=， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键. 6. 如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图，函数与的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的下方，由此得到不等式的解集． 【详解】解：函数与的图象交于点， ∴当时， 则 即关于x的不等式的解集为 故选：B． 8. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，首先将分式方程转化为整式方程，求解得到关于的表达式，再根据解为正数及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解：原方程为． 方程化简为： ． ． 两边同乘得： ． ∵，即， ∴； ∵，即， ∴． 综上，的取值范围为且， 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为，可得，解出答案即可． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零． 10. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，分别取的中点D，E，测得，则的长为 _________m．     【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， 故答案为：30． 11. 如图，将线段先向下平移2个单位长度，再绕原点O逆时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中线段的平移和旋转，根据题意，先平移线段，再绕原点O旋转，得到线段，得到点的坐标． 【详解】解：如图所示， ∴的坐标为， 故答案为：． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3， ∴，， 即， 则原式， 故答案为：12． 13. 如图，在中，于点E，于点F．若，的周长为50，则的长为 _________ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为50， ∴，， ∴， 根据平行四边形的面积公式，得， ∴，， ∴， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， =， =． 【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：分解要彻底． 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】如图， 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点，结合题意可得，即点为所求． 【详解】解：作的平分线，交于点． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ，即 ∴点即为所求． 18. 如图，在和中，，，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【答案】 证明： 即 在和中 【解析】 【分析】根据 ，可得 ， 根据 证明 即可； 【详解】略 【点睛】本考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法 是解题的关键 19. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 20. 如图，是等边三角形，点D在边上，将绕点C旋转得到，求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点C旋转得到， ， ，， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，等边三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而证明是等边三角形，进而可得，即可证明，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．现将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到． （1）请画出平移后的． （2）在平移过程中，线段扫过的图形的面积为 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）12 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、平移的性质． （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为， 故答案为：12． 22. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线与，分别交于点E，D，连接． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数． 【小问1详解】 解：由作法得垂直平分， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在四边形中，，且C为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若、、、求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴、， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，即可； （2）利用等腰三角形三线合一的性质证明，再利用勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 24. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 25. “文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）17种 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．，则 ． 【问题解决】 （2）如图2，某加工厂有一批平行四边形板材，其中分米，．现根据客户要求，需在平行四边形板材上开两道长度相同的凹槽，用于埋装线路，其中一个开槽点E距离点C为4分米．若要使这两道凹槽互相垂直（），则另一个开槽点F距离点D多少分米？（结果保留根号） 【答案】（1）6（2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直全等模型，是解题的关键： （1）证明，可得，则； （2）作于点M，于点N，设分米，则分米，分米，易得，那么分米，分米，那么分米，根据分米列方程即可求得x的值，进而求得和的值，相减即为的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）作于点M，于点N，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设分米，则分米， ∵分米， ∴分米， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴分米，分米， ∴分米， ∵分米， ∴， 解得：， ∴分米，分米， ∴分米，分米， ∴分米， ∴（分米）． 答：另一个开槽点F距离点D为分米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $