第二章 有理数及其运算（知识清单）数学鲁教版五四制2024六年级上册

第二章 有理数及其运算 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 4. 有理数及相关概念 正整数 、 零 、负整数 统称整数， 正分数 和 负分数 统称分数。 整数 和 分数 统称有理数. 注意：不是有理数 5. 有理数的分类方法 （1）按定义分 （2）按性质分 6. 规定了 原点 、 正方向 、 单位长度 的直线叫做数轴. 7. 任何有理数都可以用数轴上的点来表示。 8. 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 9.正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 10. 如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0. 11.在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值，记作 |a| . 12. 正数的绝对值是它 本身 ；负数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 ， 即：. 13. 正数 大于 0，负数 小于 0，正数 大于 负数. 14. 两个负数比较大小，绝对值大的 反而小 . 15.有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）。绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。 16.加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a 17.加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）。 17.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 18.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 19.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负数；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0。 20.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝b×a。 21.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 22. 乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 23. 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 24.除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 25.两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个非0的数都得0。0不能作除数。 26.这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或a的n次方） 27.一般的，一个大于10的数可以表示成aX10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 28.有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如有括号，先算括号里面的。 易错点1 忽略“0”的特殊性 错误：认为“0既不是正数也不是负数，所以不是有理数”． 注意：0是有理数，也是整数，但它既不是正数也不是负数． 例题1下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【解析】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 易错点2 忽略数本身的符号 错误：认为“-a”一定是负数． 注意：当a为正数时，“-a”为正数． 例题2有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】解：观察数轴可知，且， ∴． 故答案为：． 易错点3 违背运算顺序 错误：不在意运算顺序导致错误。 注意：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如有括号，先算括号里面的。 例题3 小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【解析】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律； 故答案为：一 （2）解: 1．下列关于0的说法中，正确的是（   ） A．0是最小的整数 B．0是最小的正数 C．0是最小的有理数 D．0是绝对值最小的有理数 【答案】D 【解析】解：没有最小的整数，故A选项错误，不符合题意； 1是最小的正数，故B选项错误，不符合题意； 没有最小的有理数，故C选项错误，不符合题意； 0是绝对值最小的有理数，故D选项正确，符合题意． 故选D． 2．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【解析】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 【答案】D 【解析】解：A、既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、是自然数，也是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； C、若仓库运进货物记作，那么运出货物记作，原说法正确，不符合题意； D、一个有理数不是正有理数，那它一定是负有理数数或者0，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 5．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由数轴可知，， 故选：C． 6．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【解析】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 7．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（ ） A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 【答案】B 【解析】解：正确算式：， 错误算式：， ∵， ∴， ∴错误算式的结果比正确算式的结果小， 故选：． 8．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【解析】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 9．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【解析】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 10．某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． (1)前后两部分存在的关系是______； (2)请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； (3)请求出原式的结果． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3) 【解析】（1）解：∵， ∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数． 故答案为：互为倒数； （2）解： ； 由题意得另一部分的结果． 故答案为：； （3）解：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算 1.大于0的数叫_______ ，在正数的前面加上负号“-”的数叫__________ ． 2.数0既不是________ ，又不是__________ ． 3.人们常用正负数来表示一对具有____________ 的量． 4. 有理数及相关概念 _________、_________ 、___________ 统称整数，_________ 和_______ 统称分数。_______ 和________ 统称有理数. 注意：不是有理数 5. 有理数的分类方法 （1）按定义分 （2）按性质分 6. 规定了_____________ 、___________ 、_____________ 的直线叫做数轴. 7. 任何有理数都可以用_______的点来表示。 8. 数轴上两个点表示的数，________的总比左边的大。 9.正数_____________，负数_____________，正数大于一切负数。 10. 如果两个数只有______________，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0. 11.在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值，记作_______________ . 12. 正数的绝对值是它 ___________ ；负数的绝对值是它的____________ ；0的绝对值是______ ， 即：. 13. 正数___ 0，负数___ 0，正数 大于 负数. 14. 两个负数比较大小，绝对值大的_____________ . 15.有理数加法法则：同号两数相加，_______________，______________；异号两数相加，绝对值相等时________________（互为相反数的两个数相加得0）。绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，_________________________________________。一个数同0相加，_____________________。 16.加法交换律：两数相加，_________________________，和不变。即a＋b=b＋a 17.加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即_____________________________________________________ 17.有理数减法法则：减去一个数，等于________________________。 18.有理数乘法法则：两数相乘，_________________，_____________________，________________________。任何数同0相乘，______________。 19.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为___________；当负因数的个数是偶数时，积的符号为__________。积的绝对值等于各个因数的__________________。几个数相乘，有一个因数为0时，_________________。 20.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即____________________________。 21.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝___________________。 22. 乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。 即a×﹙b＋c﹚＝_______________________。 23. 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的_________，也称这两个有理数_____________________。 24.除以一个（不等于0）的数，等于____________________________。 25.两个有理数相除，______________，_______________，并把绝对值相除。0除以任何一个非0的数都得0。_______不能作除数。 26.这种求n个相同因数a的积的运算叫作________。乘方的结果叫做幂，a叫做______，n叫做_______，an读作“_______________________”（或a的n次方） 27.一般的，一个大于10的数可以表示成__________________的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 28.有理数的混合运算法则：先算乘方，___________________，最后算加减；如有括号，___________________。 易错点1 忽略“0”的特殊性 错误：认为“0既不是正数也不是负数，所以不是有理数”． 注意：0是有理数，也是整数，但它既不是正数也不是负数． 例题1下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 易错点2 忽略数本身的符号 错误：认为“-a”一定是负数． 注意：当a为正数时，“-a”为正数． 例题2有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 易错点3 违背运算顺序 错误：不在意运算顺序导致错误。 注意：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如有括号，先算括号里面的。 例题3 小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 1．下列关于0的说法中，正确的是（   ） A．0是最小的整数 B．0是最小的正数 C．0是最小的有理数 D．0是绝对值最小的有理数 2．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 3．下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 4．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 7．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（ ） A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 8．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 9．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 10．某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． (1)前后两部分存在的关系是______； (2)请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； (3)请求出原式的结果． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$