第二章 有理数及其运算（复习讲义）数学鲁教版五四制2024六年级上册

第二章 有理数及其运算（复习讲义） 1．了解有理数的定义，掌握有理数的分类。 ①了解有理数的基本内容；②掌握有理数的两种分类方式：按定义分、按性质分。 2．能够掌握数轴、相反数、绝对值的概念及相关性质。 ①掌握数轴的定义并且能在数轴上表示有理数；②理解相反数的几何意义及代数意义；③掌握绝对值的定义；④能够利用数轴、绝对值比较有理数的大小。 3．理解有理数的运算法则及运算律，并能用有理数运算解决实际问题。 ①掌握有理数的运算法则；②熟练运用有理数的运算律进行计算；③能够用有理数运算解决简单的实际问题。 知识点01 正数和负数（具有相反意义的量) 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数。 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：任何有理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04：相反数 定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0. 性质： （1）任何一个数都有相反数，而且只有一个。 （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （3）0的相反数是0。 知识点05：绝对值 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 一个数的绝对值与这个数的关系： （1）正数的绝对值是它本身。 （2）负数的绝对值是它的相反数。 （3）0的绝对值是0。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴： （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 （2）正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 利用绝对值： （1）同为正数时，绝对值大的数大。 （2）两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点07：有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）。绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 知识点08：有理数加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点09：有理数减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点10：有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负数；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值积。 （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0。 知识点11：有理数乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点12： 倒数 （1）定义： 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点13：有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个非0的数都得0。 知识点14：有理数的乘方 定义：这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或a的n次方） 知识点15：科学计数法 科学记数法：一般的，一个大于10的数可以表示成aX10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 近似数的精确度： （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 知识点16：有理数的混合运算 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 有理数的分类 【例1】在中，负有理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】解：都是正有理数， 0是有理数，但既不是正数也不是负数， 都是负有理数，共有4个， 故选：C． 【变式1-1】在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】正数是大于0的数．在5.2、、0、10、中 5.2大于0，所以5.2是正数；小于0，是负数；0既不是正数也不是负数；10大于0，所以10是正数；小于0，是负数． 综上，正数有5.2和10，共2个， 故选：B． 【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 【答案】；； 【解析】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ； . 【变式1-3】把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 【答案】见详解 【解析】解：， 正有理数集合{．．．}； 负有理数集合{．．．}； 整数集合{．．．}； 正分数集合{．．．}． 题型二 用数轴上的点表示有理数 【例2】如图，数轴上点A表示的数是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：由数轴可知，数轴上点A表示的数是． 故选：D． 【变式2-1】下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【答案】 1.5 【解析】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 【变式2-2】小蚂蚁所在的A点用分数表示为 ，它从A 点向左爬 个 ，可以到达处． 【答案】 7 【解析】解：点所表示的数为， 它从点向左爬7个，就可以到达处， 故答案为：，7． 【变式2-3】观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 【答案】 5 【解析】解：观察如图，如果点D表示25，则点B表示5；如果点C表示，则点A表示． 故答案为：，． 题型三 相反数的应用 【例3】若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【解析】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 【变式3-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，那么下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由数轴可知，， ∴错误，故A不符合要求； 正确，故B符合要求； 错误，故C不符合要求； 错误，故D不符合要求； 故选：B． 【变式3-2】请写出一个其相反数是负数的数为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1，2，…… 故答案为：1（答案不唯一） 【变式3-3】已知，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 题型四 绝对值的非负性 【例4】当的值最小时， ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 【变式4-1】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 【变式4-2】若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 【变式4-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 题型五 有理数的加减运算 【例5】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【解析】解：； 因此，这天的日温差是6℃， 故选：B 【变式5-1】我们知道，一年有春、夏、秋、冬四季，按照中国传统二十四节气划分，立春（2月4日左右）到立夏前（5月5日左右）为春季，立夏到立秋前（8月7日左右）为夏季，立秋到立冬前（11月7日左右）为秋季，立冬到次年立春前为冬季．二十四节气日是气候变化的节点，每天的日出、日落时刻与它们有着密切的联系，每天的白昼时长等于日落时刻-日出时刻．下表是大连地区立春、立夏、立秋、立冬这四天的日出和日落的大致时刻． 日出时刻 日落时刻 立春 立夏 立秋 立冬 小明测得大连某天的白昼时长大约11小时，那么这天属于的季节是（   ） A．春季 B．冬季 C．春季或夏季 D．春季或秋季 【答案】D 【解析】解：计算各节气白昼时长： 立春：日落日出小时20分钟（620分钟）． 立夏：日落日出小时57分钟（837分钟）． 立秋：日落日出小时57分钟（837分钟）． 立冬：日落日出小时（600分钟）． 春季（立春至立夏前）：白昼时长从10小时20分钟逐渐增加到13小时57分钟． 秋季（立秋至立冬前）：白昼时长从13小时57分钟逐渐减少到10小时． 夏季（立夏至立秋前）和冬季（立冬至立春前）的白昼时长均不包含11小时． ∴白昼时长为11小时（660分钟）时，可能处于春季（时长递增阶段）或秋季（时长递减阶段）， 故选：D． 【变式5-2】计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【解析】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 【变式5-3】计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 题型六 有理数的乘方 【例6】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【解析】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【变式6-1】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【解析】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 【变式6-2】若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【解析】解：，，， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解： ， 故答案为：； （5）解： ， 故答案为：； （6）解： ， 故答案为：． 题型七 科学记数法 【例7】近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童降世》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱，这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升．2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵亿， 故选：C． 【变式7-1】一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【解析】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 【变式7-2】记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【解析】解：亿． 故答案为：． 【变式7-3】据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（   ） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 题型八 有理数的混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 【变式8-2】规定一种运算，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ， 故答案为：． 【变式8-3】计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4）原式 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】解： 最右边的数是． 故选：D． 2．下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 【答案】C 【解析】解：A. 0既不是正数也不是负数，正确； B. 当时，表示非零数的绝对值，必大于0，正确； C. 绝对值是它本身的数是非负数（包括0和正数），但选项仅提到“正数”，忽略了0，错误； D. 有理数包括整数和分数（含有限小数、无限循环小数），正确． 故选：C． 3．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B． 4．2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 5．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等， ∴点A和点C表示的数互为相反数， ∵数轴的单位长度为1， ∴的中点是数轴的原点， ∴数轴上的点A和点C表示的数分别为、2， ∴数轴上的点B表示的数是， 故选：D． 二、填空题 6．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 【解析】解：5的相反数是，的绝对值是 ，的倒数是， 故答案为：，，． 7．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．计算： ； 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 9．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】解：∵， ∴； 故答案为：． 10．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    【答案】 【解析】解：∵，且， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值，相反数的意义，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 三、解答题 11．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集：； 负数集：； 分数集：； 非负有理数集：． 【答案】10， ；，，； ，， ；，0，10，， 【解析】解：， 正整数集的是：； 负数集的是：； 分数集的是：； 非负有理数集的是：． 12．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【解析】，，，，， 在数轴上表示为： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) 【解析】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【解析】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 15．小明家买了一套新房子，要进行装修．户型图如下： (1)用边长8分米的正方形地砖铺客厅地面，如果每块砖售价120元，共需要多少钱？ (2)如果每米石膏条7元，给客厅和卧室的房顶四周装石膏条需要花多少钱？ (3)房屋高度是2.5米，卧室门窗总面积是10平方米，如果一桶5升的墙面漆大约可以刷60平方米，把卧室粉刷一新要多少桶才合适？单位：米 【答案】(1)4800元 (2)378元 (3)2桶 【解析】（1）  (平方米) ，    ， 块， 元 （2）元 （3） (平方米) 桶 能力提升进阶练 一、单选题 1．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【解析】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，且， 故选：B． 3．红领巾是少先队员的标志．它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的．福建省少工委设计一款红领巾包装袋（如图），每个袋子大约需要（    ）平方分米的包装纸． A．200 B．2 C．400 D．4 【答案】D 【解析】解：（平方厘米） （平方厘米） 400平方厘米平方分米 所以，每个袋子大约需要4平方分米． 故答案为：D． 4．若数在数轴上表示原点和原点左侧的点，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：数轴上原点表示0，原点左侧的点表示负数， 题目中数a表示原点和原点左侧的点，即a可以是0或负数， 因此a的取值范围是，选项C符合这一条件， 故选C 5．如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【答案】B 【解析】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 二、填空题 6．的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 2 4 5 3 【解析】解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3． 故答案为：3，2；，4；5，3． 7．计算的结果为 ． 【答案】 【解析】解： ， ∴的结果为。 故答案为：。 8．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【解析】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 9．a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【解析】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 10．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 12．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【解析】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 13．如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【解析】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：，数轴表示如下： （3）解：根据题意，得． 14．2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【解析】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 15．阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【解析】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算（复习讲义） 1．了解有理数的定义，掌握有理数的分类。 ①了解有理数的基本内容；②掌握有理数的两种分类方式：按定义分、按性质分。 2．能够掌握数轴、相反数、绝对值的概念及相关性质。 ①掌握数轴的定义并且能在数轴上表示有理数；②理解相反数的几何意义及代数意义；③掌握绝对值的定义；④能够利用数轴、绝对值比较有理数的大小。 3．理解有理数的运算法则及运算律，并能用有理数运算解决实际问题。 ①掌握有理数的运算法则；②熟练运用有理数的运算律进行计算；③能够用有理数运算解决简单的实际问题。 知识点01 正数和负数（具有相反意义的量) 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数。 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：任何有理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04：相反数 定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0. 性质： （1）任何一个数都有相反数，而且只有一个。 （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （3）0的相反数是0。 知识点05：绝对值 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 一个数的绝对值与这个数的关系： （1）正数的绝对值是它本身。 （2）负数的绝对值是它的相反数。 （3）0的绝对值是0。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴： （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 （2）正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 利用绝对值： （1）同为正数时，绝对值大的数大。 （2）两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点07：有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）。绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 知识点08：有理数加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点09：有理数减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点10：有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负数；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值积。 （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0。 知识点11：有理数乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点12： 倒数 （1）定义： 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点13：有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个非0的数都得0。 知识点14：有理数的乘方 定义：这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或a的n次方） 知识点15：科学计数法 科学记数法：一般的，一个大于10的数可以表示成aX10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 近似数的精确度： （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 知识点16：有理数的混合运算 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 有理数的分类 【例1】在中，负有理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 【变式1-3】把下列各数填在相应的括号内： ． 正有理数集合{              ．．．}； 负有理数集合{             ．．．}； 整数集合{                ．．．}； 正分数集合{               ．．．}． 题型二 用数轴上的点表示有理数 【例2】如图，数轴上点A表示的数是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【变式2-2】小蚂蚁所在的A点用分数表示为 ，它从A 点向左爬 个 ，可以到达处． 【变式2-3】观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 题型三 相反数的应用 【例3】若a与互为相反数，则a 的值 ． 【变式3-1】已知a、b在数轴上的位置如图所示，那么下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】请写出一个其相反数是负数的数为 ． 【变式3-3】已知，则的值是 ． 题型四 绝对值的非负性 【例4】当的值最小时， ． 【变式4-1】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】若与互为相反数，则的值为 ． 题型五 有理数的加减运算 【例5】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【变式5-1】我们知道，一年有春、夏、秋、冬四季，按照中国传统二十四节气划分，立春（2月4日左右）到立夏前（5月5日左右）为春季，立夏到立秋前（8月7日左右）为夏季，立秋到立冬前（11月7日左右）为秋季，立冬到次年立春前为冬季．二十四节气日是气候变化的节点，每天的日出、日落时刻与它们有着密切的联系，每天的白昼时长等于日落时刻-日出时刻．下表是大连地区立春、立夏、立秋、立冬这四天的日出和日落的大致时刻． 日出时刻 日落时刻 立春 立夏 立秋 立冬 小明测得大连某天的白昼时长大约11小时，那么这天属于的季节是（   ） A．春季 B．冬季 C．春季或夏季 D．春季或秋季 【变式5-2】计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【变式5-3】计算：． 题型六 有理数的乘方 【例6】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【变式6-1】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【变式6-2】若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 【变式6-3】计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 题型七 科学记数法 【例7】近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童降世》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱，这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升．2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【变式7-2】记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 【变式7-3】据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（   ） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 题型八 有理数的混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【变式8-1】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】规定一种运算，，则的值为 ． 【变式8-3】计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 基础巩固通关测 一、单选题 1．将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 3．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 7．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 8．计算： ； 9．比较大小： （填“”“”或“”）． 10．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    三、解答题 11．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集：； 负数集：； 分数集：； 非负有理数集：． 12．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 15．小明家买了一套新房子，要进行装修．户型图如下： (1)用边长8分米的正方形地砖铺客厅地面，如果每块砖售价120元，共需要多少钱？ (2)如果每米石膏条7元，给客厅和卧室的房顶四周装石膏条需要花多少钱？ (3)房屋高度是2.5米，卧室门窗总面积是10平方米，如果一桶5升的墙面漆大约可以刷60平方米，把卧室粉刷一新要多少桶才合适？单位：米       能力提升进阶练 一、单选题 1．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 2．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 3．红领巾是少先队员的标志．它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的．福建省少工委设计一款红领巾包装袋（如图），每个袋子大约需要（    ）平方分米的包装纸． A．200 B．2 C．400 D．4 4．若数在数轴上表示原点和原点左侧的点，则满足（   ） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 二、填空题 6．的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 7．计算的结果为 ． 8．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 9．a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 10．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 13．如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 14．2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 15．阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$