1.1三角形中的线段和角（第2课时 三角形的中线、角平分线、高）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

本文聚焦苏科版八年级数学上册三角形中线、角平分线和高的教学，核心知识点为三者的定义、性质及应用。承接前课基础，为后续深入学习三角形性质奠基，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，通过情境引入、操作观察等环节渗透。 该设计创新点在于用生活情境与实物演示，特色教法有小组讨论、典例分析。能提升学生对知识的理解与应用能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点。

1.1三角形中的线段和角（第2课时 三角形的中线、角平分线、高）教学设计 1.教学内容 本节选自苏科版2024八年级数学上册第一章《三角形》，内容为“三角形中的线段和角”之第2课时，主要讲解三角形中的中线、角平分线和高。核心知识点包括：①三角形的中线定义及性质；②三角形的角平分线定义及性质；③三角形的高的定义及应用。 2.内容解析 本节在前一课“三角形中的线段和角”基础上，聚焦三角形中三条特殊线段的概念与作用。通过“橡皮筋定位”与“折纸探究”等情境，让学生观察并发现这些线段的生成规律：中线可等分对边，高可直观理解垂直距离，角平分线则关联等角。教学重点在于准确理解三种线段的定义与识别，掌握它们在求证与计算中的价值，如利用等面积方法求未知长度等。引导学生结合图形操作、几何推理与实际情境，充分认识这些线段的几何意义与应用价值。 1.教学目标 •理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义。 •会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线。 •理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征。 2.目标解析 •通过实物演示与观察实验，让学生明确三角形中线、角平分线及高的几何含义。 • 借助几何作图和讨论，培养学生的识图与作图能力，并在问题探究中体会等面积法和等线段法的运用。 • 结合典型例题，强化对三角形三条特殊线段之间联系的认识，深入领悟其在面积计算与基本证明中的作用。 大多数学生已具备对三角形内角、边等基本几何量的表象理解，能初步运用垂线、平分等作图技能。少数学生对几何概念仍停留在记忆层面，需要更直观的图示与丰富的操作环节帮助理解。中线、角平分线和高的共同特点及不同性质的对比，是本节重点与难点所在。学生易接受中线等分对边的结论，但对高与角平分线在不同三角形中的位置关系不够熟练，需要教师在教学中及时予以引导与深化。 创设情景，引入新课 1. 【情境引入】 师：同学们，小熊和小猫想均分一块蛋糕，应该如何切？ 生：有的说对半切，有的说从中间切…… 师：在三角形中，也有类似“均分”或“特殊”的线段，它们分别是三角形的中线、角平分线和高。今天我们一起来探究这些有趣又重要的线段。 2. 【操作观察】 师：（出示橡皮筋活动示意图）如图，橡皮筋的一端固定在△的顶点处，另一端在边上移动。在这个过程中，线段不断变化。你认为哪些位置是特殊的？ 生：当是的中点时，比较特殊；当平分∠时比较特殊；当垂直时也很特殊。 师：这三种“特殊”其实分别对应了三角形的中线、角平分线、高。 【设计意图】 通过“小熊和小猫想均分蛋糕”的生活情景激发学习兴趣，帮助学生初步感知“分割”在几何中的应用。 通过橡皮筋演示使学生直观感受“中点”“平分”“垂直”的特殊性，为进一步的概念抽象打好基础。 明确本节课的学习目标，帮助学生预设学习方向。 探究点1：三角形的中线 1. 【概念引入】 师：观察当为的中点时，有什么特征？ 生：，连接顶点与边的中点的线段就是三角形的“中线”。 2. 【新知导出】 师：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线。 如图，，则线段是△的中线。 3. 【师生活动】 o 师：同学们在练习本上任选一个三角形，找出其中一条中线并标记。 o 生：分组画出并标注顶点、对边中点与中线，彼此观察、讨论。 o 师：请同学们展示你们的作图，与同桌或小组互相核对。 【设计意图】 通过实际操作与讨论，让学生亲自体验“中线”的定义，由感性认识上升到理性概括。 让学生初步感受到中线具有“等分对边”的重要特征，为后续有关面积、分割的应用奠定基础。 探究点2：三角形的角平分线 1. 【概念引入】 师：在橡皮筋活动中，如果使∠ = ∠，那么又是什么线段？ 生：是三角形的角平分线。 2. 【新知导出】 师：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 如图，当∠ = ∠时，线段是△的角平分线。 3. 【师生活动】 o 师：请同学们回忆角平分线的定义要点：①角的平分，②与对边相交。 o 生：朗读并记录角平分线的概念。 o 师：小组讨论：三角形顶点上的角平分线，要满足什么条件才是真正的角平分线？鼓励学生用度量或摆动的方法验证。 【设计意图】 通过“平分角”的演示，使学生理解“角平分线”不只是“目测”等分，而是严谨的几何定义。 借助小组合作与讨论，培养学生探究意识与口头表达能力，强化对概念的准确掌握。 探究点3：三角形的高 1. 【概念引入】 师：若在橡皮筋活动中，当垂直时，你能说出的几何名称吗？ 生：就是三角形的高。 2. 【新知导出】 师：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 如图，，垂足为，则线段是△的边上的高。 3. 【师生活动】 o 师：请同学们在练习本上任选一个三角形，画出它的一条高； o 生：合作互评：哪个是垂足，如何表示垂直？ o 师：请同学上台示范，用三角板或直尺完成高的作图。 【设计意图】 通过“垂线作图”的实际操作，帮助学生加深对三角形高的“垂直”属性的理解与辨别。 让学生感受到，多条“高”有时在三角形内部，也可能在外部，为后续学习“三角形高的交点”做铺垫。 尝试交流 > 如图，过点 分别画出 的中线、角平分线、高。 > 解：如图， 是 的中线， 是 的角平分线， 是 的高。 > 思考： 三角形的中线、角平分线、高各有几条？ 【设计意图】 本题通过让学生亲自动手画出三角形的中线、角平分线和高，帮助学生建立对这三条线段的直观认识，为后续深入探究和应用打下基础。 典例分析 例1 > 如图， 是 的中线。 > 求证： 和 的面积相等。 > 证明： 如图，过点 作 ，垂足为 。 > 是 的高，也是 的高。 > 是 的中线， > 。 > 又 > . 【设计意图】 本例通过中线平分对边从而平分三角形面积的事实，让学生理解中线在三角形面积计算和证明中的常用作用，同时培养学生作辅助线（如作垂线）的解题思路。 例2 > 如图， 是 的角平分线， 是 延长线上的一点，。 > 求证：。 > 证明： > 是 的角平分线， > ， > > 。 【设计意图】 通过本例，学生直观体会到：角平分线不但可以分割角度，也能通过与外部角的关系构建几何等量关系。此题可进一步加深对角平分线性质的理解，锻炼学生的几何推理能力。 1. 如图，在 中，点 在 上，且 ， 是 的中点， 相交于点 .指出图中三角形的角平分线和中线。 解： 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的中线， 是 的中线。 2. 如图，在 中，，点 在 上，，垂足为 。指出图中 分别是哪些三角形的高。 解：， 是 的高， ， 是 的高。 3. 如图，在 中， 是中线， 是角平分线， 是高。 填空： （1） （2）； （3） 。 【设计意图】 上述练习紧扣中线、角平分线、高的定义和基本性质，通过识别与简单填空，让学生加深对概念的掌握，并能根据描述迅速准确地画出相关线段与角度。 1. 如图， 是 的角平分线，。求证：。 > 证明： > 是 的角平分线， > 。 2. 如图，在 中，。 （1） 中 边上的高是 4cm ， 边上的高是； （2）在图中画出 边上的高 ，并求 的长； （3）能否在 边上取一点 ，使 与 的面积相等？ > 解：（2）因为 ，， > 所以 > 因为 ， > 所以 。 （3）取 的中点 ，则 。 > 因为 ， > 所以 与 的面积相等。 【设计意图】 第1题突出角平分线与平行关系的应用，第2题则结合直角三角形边长与高的关系进行多步推理，帮助学生强化对中线、角平分线和高的综合应用能力。 【设计意图】引导学生在实际情境中体验三条特殊线段的重要性，形成对概念的直观认识和灵活应用意识。 本节课围绕“如何平均分蛋糕”的实际情境，引入三角形中线、角平分线和高的定义及特征，并通过橡皮筋演示、折纸探究等活动，让学生体验到这些线段在形状分割和面积性质中的重要作用。学生在绘制、观察和辨析过程中，不仅掌握了三条线段的基本定义，而且初步认识到它们在面积划分、顶点垂直投影、等角分割等方面的意义，为后续学习三角形更深入的性质打下基础。 【设计意图】层次分明、突出概念与应用，方便学生梳理知识脉络。 1. 情境导入：蛋糕平均切分问题，引出三角形特殊线段 2. 概念引入： （1）中线：连接顶点与对边中点 （2）角平分线：顶点角的平分线 （3）高：顶点到对边直线的垂线 3. 特征归纳： （1）中线等分对边 （2）角平分线等分对应角 （3）高垂直于对边 4. 典例分析：利用中线等分面积、角平分线角度关系及高的垂直性质进行问题求解 5. 课堂小结：三条特殊线段在三角形中的位置、性质和应用 本节课的教学目标主要是帮助学生理解三角形中线、角平分线和高的定义及特征，并能识别与应用。通过蛋糕分割等情境导入和橡皮筋动态演示，学生对概念的理解较为直观，达成了课程中“会识别和绘制”以及“理解特征”两项目标。在例题练习的过程中，大部分学生能将中线与面积等分、角平分线与角度关系以及高与垂线等知识有效结合。但也发现部分学生在综合运用三条线段解决复杂问题时会出现思路混乱，今后需加大分组讨论和探究环节的设计，为学生提供更多权变训练的机会。 【设计意图】巩固关键知识点、提升应用能力。 1. 教材相应习题：完成课本关于三角形中线、角平分线、高的必做与选做题，重点练习识别、作图和简单应用。 2. 拓展探究：任选一个锐角三角形，在画出其三条中线、三条角平分线、三条高后，观察并思考它们各自交点的位置及几何意义，用简要文字和图示说明发现过程。 学科网（北京）股份有限公司 $$