专题2.4 探索勾股定理（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题2.4 探索勾股定理 教学目标 1. 学生能准确表述勾股定理的内容 ——“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，明确直角三角形中 “直角边”“斜边” 的定义，能熟练区分给定直角三角形的两条直角边和斜边; 2. 通过观察、拼图、测量等活动，理解勾股定理的推导逻辑（如利用图形面积相等关系推导边的数量关系），能简述赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图等经典推导方法的核心思路; 3. 能直接运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的问题（包括已知两直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边），并能将实际问题（如梯子靠墙、航海距离等）抽象为直角三角形模型，运用定理解决 教学重难点 1.重点 (1)即 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”（若直角边为a、b，斜边为c，则a^2+b^2=c^2），这是后续应用的基础，需让学生精准记忆并理解其内涵。 (2)通过拼图（如赵爽弦图、“总统证法” 的梯形拼图）等直观操作，让学生理解 “面积相等” 是连接 “边的关系” 的桥梁，体会从 “形” 到 “数” 的转化逻辑，这是深化理解定理的关键。 (3)能熟练运用公式解决直角三角形中边长计算的基础问题，包括已知两边求第三边的正向计算，以及结合简单几何图形（如矩形、正方形）的边长求解 2.难点 (1)学生难以自主从拼图中发现 “面积等量关系” 与 “边的平方关系” 的关联; (2)学生在面对非纯几何的实际情境（如 “旗杆折断后顶部触地”“蚂蚁爬行最短路径”）时，难以快速抽象出直角三角形模型，容易混淆 “已知量对应的边是直角边还是斜边”，需要强化 “找直角→定三边→用公式” 的解题步骤 (3)易忽略勾股定理仅适用于直角三角形的前提，在非直角三角形中误用公式，需通过对比练习（如分别计算直角三角形和锐角三角形的边长平方关系）明确其适用范围。 知识点01 勾股定理的相关概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【即学即练】 1．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 知识点02 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练】 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 知识点03 勾股定理的证明 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【即学即练】 1．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 知识点04 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即学即练】 1．下列各组数是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　　） A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，9，12 2．小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【变式1】如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长是（    ） A．2 B． C． D．4 题型02 勾股树(数)问题 【典例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【变式1】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【变式2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例3】如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【变式1】如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（   ） A．6 B．12 C．16 D．22 【变式2】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 题型04 勾股定理与网格问题 【典例4】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为 ． 【变式3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 ． 题型05 勾股定理与无理数 【典例5】如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，，在数轴上，点对应的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ． 【变式3】如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 题型06 以弦图为背景的计算题 【典例6】补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【变式7】（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【变式1】如图，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，，，． (1)请你利用上图验证勾股定理； (2)若，，求的面积． 【变式2】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【变式3】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 题型07 勾股定理的应用 【典例7】如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【变式1】小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【变式2】如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【变式3】已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【变式4】如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 题型08 判断三边能否构成直角三角形 【典例8】下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）． A．4，5，6 B．5，12，15 C．6，8，9 D．1，1， 【变式1】以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，7，8 D．6，8，9 【变式2】下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 【变式3】以下列各组长度的线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，13，12 C．4，5，6 D．，， 题型09 在网格中判断直角三角形 【典例9】如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)______，______； (2)连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【变式1】如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【变式2】如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积与周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【变式3】如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在网格的格点上．为中边上的高线． (1)求证：； (2)求的长． 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 【典例10】如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式1】在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【变式2】如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【变式3】禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 【典例11】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【变式1】如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【变式2】如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【变式3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 一、单选题 1．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（    ） A．3，4，6 B．5，12，15 C．9，12，16 D．6，8，10 2．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是千米/小时，甲客轮用分钟到达处，乙客轮用分钟到达处．若，两处的直线距离为千米，甲客轮沿着北偏东方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东 3．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　） A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2 4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（　　） A．90° B．60° C．30° D．45° 5．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（　）尺 A．3 B．4 C．5 D．4.5 6．如图，一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（   ） A．0米 B．1米 C．2米 D．3米 二、填空题 7．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 8．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，已知正方形ABDE和正方形ACMN的面积分别是21和8，那么正方形BCFG的面积为 ． 9．如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm．    10．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 . 三、解答题 11．如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 12．如图，由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，，，，，． (1)求这块四边形空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 13．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【方法应用】：如图，在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 14．随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 15．如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．    (1)求和的长； (2)求五边形的面积． 16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 探索勾股定理 教学目标 1. 学生能准确表述勾股定理的内容 ——“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，明确直角三角形中 “直角边”“斜边” 的定义，能熟练区分给定直角三角形的两条直角边和斜边; 2. 通过观察、拼图、测量等活动，理解勾股定理的推导逻辑（如利用图形面积相等关系推导边的数量关系），能简述赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图等经典推导方法的核心思路; 3. 能直接运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的问题（包括已知两直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边），并能将实际问题（如梯子靠墙、航海距离等）抽象为直角三角形模型，运用定理解决 教学重难点 1.重点 (1)即 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”（若直角边为a、b，斜边为c，则a^2+b^2=c^2），这是后续应用的基础，需让学生精准记忆并理解其内涵。 (2)通过拼图（如赵爽弦图、“总统证法” 的梯形拼图）等直观操作，让学生理解 “面积相等” 是连接 “边的关系” 的桥梁，体会从 “形” 到 “数” 的转化逻辑，这是深化理解定理的关键。 (3)能熟练运用公式解决直角三角形中边长计算的基础问题，包括已知两边求第三边的正向计算，以及结合简单几何图形（如矩形、正方形）的边长求解 2.难点 (1)学生难以自主从拼图中发现 “面积等量关系” 与 “边的平方关系” 的关联; (2)学生在面对非纯几何的实际情境（如 “旗杆折断后顶部触地”“蚂蚁爬行最短路径”）时，难以快速抽象出直角三角形模型，容易混淆 “已知量对应的边是直角边还是斜边”，需要强化 “找直角→定三边→用公式” 的解题步骤 (3)易忽略勾股定理仅适用于直角三角形的前提，在非直角三角形中误用公式，需通过对比练习（如分别计算直角三角形和锐角三角形的边长平方关系）明确其适用范围。 知识点01 勾股定理的相关概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【即学即练】 1．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，． 故选：C． 知识点02 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练】 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 知识点03 勾股定理的证明 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【即学即练】 1．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 知识点04 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即学即练】 1．下列各组数是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　　） A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，9，12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B．∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C．∵，∴能构成直角三角形，故C符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 【答案】(1) (2)应镀氧化膜的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）如图：连接，直接根据勾股定理求解即可； （2）先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据以及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵在中，，，， ． （2）解：， 是直角三角形， ， 应镀氧化膜的面积为． 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉定理内容是解题关键；直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 故选：A． 【变式1】如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式2】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 【变式3】已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为1，， ∴斜边长为， 故选；A． 题型02 勾股树(数)问题 【典例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 【变式1】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 【变式2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若、、满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例3】如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵如图，中，， ∴, ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（   ） A．6 B．12 C．16 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用． 根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、， ∴在中，， ∴， 即， ， 故选：B． 【变式3】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到，，即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理可知，，，， ， ， ， 故答案为：． 题型04 勾股定理与网格问题 【典例4】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答． 【详解】解：根据题意得：． 即线段长为的是． 故选：D． 【变式1】如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用面积法，即用两种不同的表达方式列出三角形的面积．利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，过点作，连接，可知，，在中，利用勾股定理求出，可知点的坐标为 【详解】解：如下图所示，过点作，连接， 由题意可知，， 故答案为：． 【变式3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型05 勾股定理与无理数 【典例5】如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 【变式1】如图，中，，，在数轴上，点对应的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点B对应的数是2， ∴点表示． 故选：D． 【变式2】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：由图知，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴N点所表示的数为：． 故答案为：． 【变式3】如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示1和3， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数为， 故答案为：． 题型06 以弦图为背景的计算题 【典例6】补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 【变式7】（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 【变式1】如图，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，，，． (1)请你利用上图验证勾股定理； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、代数式求值，正确表示出大正方形的面积与小正方形的面积以及直角三角形的面积的关系是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于边长的平方，也等于四个全等的直角三角形的面积加上小正方形的面积得出等式，整理即可得出结论； （2）根据（1）的等式，代入数值求出，根据直角三角形的面积得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵正方形的面积， 且正方形的面积 个全等的直角三角形的面积一个小正方形的面积， ∴， 整理得：； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积． 【变式2】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 题型07 勾股定理的应用 【典例7】如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 【变式1】小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 【变式2】如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 【变式3】已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 【变式4】如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 题型08 判断三边能否构成直角三角形 【典例8】下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）． A．4，5，6 B．5，12，15 C．6，8，9 D．1，1， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理．根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，7，8 D．6，8，9 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，若三角形三边满足 （其中为最长边），则该三角形为直角三角形．需先验证各组数能否构成三角形，再判断是否满足直角条件． 【详解】选项A：最长边为4，∵，而，∴不满足勾股定理逆定理，排除． 选项B：最长边为13，∵，且，满足勾股定理逆定理． 选项C：最长边为8，∵，而，∴不满足勾股定理逆定理，排除． 选项D：最长边为9，∵，而，∴不满足勾股定理逆定理，排除． 综上，只有选项B满足条件． 故选B． 【变式2】下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴能构成直角三角形，故选项符合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式3】以下列各组长度的线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，13，12 C．4，5，6 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型09 在网格中判断直角三角形 【典例9】如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)______，______； (2)连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 【变式1】如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【详解】（1）， ， ． （2）是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 【变式2】如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积与周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，四边形的周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； （2）是直角，理由如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 【变式3】如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在网格的格点上．为中边上的高线． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，，继而得到，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到结论； （2）由（1）得，利用三角形面积公式求出． 【详解】（1）证明：由勾股定理可得，， ， 是直角三角形， ． （2）解：由（1）得， ，， ， ， ． 题型10 利用勾股定理的逆定理求解 【典例10】如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、求直角三角形面积等知识点．勾股定理用于直角三角形中求边长，勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，注意要先判定直角三角形，进而计算四边形面积． （1）知道两直角边长运用勾股定理，即可求出斜边长度； （2）先运用勾股定理的逆定理判定形状，再分别求直角与面积，两个三角形面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ． 的长是5． （2）（2）， 又， ． ， ． ， ． 四边形的面积． 四边形的面积是11． 【变式1】在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】114 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定，然后再求面积即可． 【详解】解： ，即， 在中，， 又在中，， 是直角三角形，且， 的面积为：，的面积为：， 四边形的面积为． 【变式2】如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 【变式3】禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 【典例11】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 【详解】（1）解：由题意， 在中，， 得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∵一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛， ∴ ∴岛在港的北偏西． 【变式1】如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 【变式2】如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是从小区C到公路最近的路； （2）解：设，则，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 【变式3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析 (2)新路比原路少 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 一、单选题 1．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（    ） A．3，4，6 B．5，12，15 C．9，12，16 D．6，8，10 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断即可求得． 【详解】A： ，不符合题意； B： ，不符合题意； C： ，不符合题意； D： ，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题关键． 2．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是千米/小时，甲客轮用分钟到达处，乙客轮用分钟到达处．若，两处的直线距离为千米，甲客轮沿着北偏东方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】D 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案． 【详解】根据题意可得甲的路程：km，乙的路程：km ∵122＋162＝202， ∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系. ∵甲客轮沿着北偏东50°， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东40° 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长满足 ，那么这个三角形就是直角三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　） A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2 【答案】C 【分析】根据P点坐标求出OP的长，再根据AO=PO即可求解. 【详解】解：由勾股定理得，OP＝， 由题意得，OA＝OP＝， 则点A的横坐标为﹣， 故选C． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质与运用. 4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（　　） A．90° B．60° C．30° D．45° 【答案】D 【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据图形可得： ∵AB＝AC＝＝，BC＝＝， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故选D． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（　）尺 A．3 B．4 C．5 D．4.5 【答案】B 【分析】首先根据题意，可知竹子折断后构成直角三角形，斜边长和折断处离地面的高度和为9尺， 设折断处离地面的高度是x尺，则斜边长是9-x，根据勾股定理，列出二元一次方程，即可得解. 【详解】解：根据题意，竹子折断后构成直角三角形，斜边长和折断处离地面的高度和为9尺， 设折断处离地面的高度是x尺，则斜边长是9-x，根据勾股定理， 解得，x=4 故折断处离地面的高度是4尺，答案为B. 【点睛】此题主要考查根据直角三角形的勾股定理列出二元一次方程求解. 6．如图，一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（   ） A．0米 B．1米 C．2米 D．3米 【答案】B 【分析】已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC=4-1=3，再根据勾股定理求得OD的长即可． 【详解】（1）AO=（米）． （米）， BB1=OB1-OB=4-3=1（米）． 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型． 二、填空题 7．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 根据勾股定理，得， 点在正半轴，且 点对应的实数为， 故答案为：． 8．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，已知正方形ABDE和正方形ACMN的面积分别是21和8，那么正方形BCFG的面积为 ． 【答案】13 【分析】由Rt△ABC得，AB2＝AC2﹣BC2，而正方形ABDE的面积＝AB2，正方形ACMN的面积＝AC2，正方形BCFG的面积＝BC2，代入即可求解． 【详解】正方形ABDE的面积＝AB2＝21，正方形ACMN的面积＝AC2＝8，正方形BCFG的面积＝BC2， ∵△ABC是直角三角形， ∴AB2＝AC2﹣BC2， ∴正方形BCFG的面积＝21﹣8＝13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了欧几里得法证明勾股定理，勾股定理是中考的必考考点，而勾股定理得证明是本节中较难的知识点，明确Rt△ABC的边长的平方分别为三个正方形的面积是本题的关键． 9．如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 cm．    【答案】8.5 【分析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为杯子的直径为8cm，可根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm， 由题意得：x2+42＝（x+1）2， 16＝2x+1， x＝7.5， ∴x+1＝8.5， ∴筷子长8.5cm， 故答案为8.5． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 10．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 . 【答案】15 【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC中求解x即可. 【详解】解：根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30， 设BE=EB′=x，则EC=40﹣x， ∵∠B=90°，AB=30，BC=40， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50， ∴B′C=50﹣30=20， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2， 解得x=15． 故答案是15． 【点睛】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键. 三、解答题 11．如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 【答案】（1）12 ；（2）证明见详解． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠CDA=90°， 在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9， ∴根据勾股定理，得CD==12； （2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2， ∴122+AD2=202， ∴AD=16， ∴AB=AD+BD=16+9=25， ∴AC2+BC2=202+152=625=AB2 ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键． 12．如图，由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，，，，，． (1)求这块四边形空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)2400元 【分析】此题考查了勾股定理和逆定理的应用． （1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ； （2）解：在该空地上种植草皮共需（元）． 13．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【方法应用】：如图，在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)30 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理． （1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解； （2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∴， ∴的面积为30； （2）解：由题意，∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 14．随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论． 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号． （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答：有秒可以接收到信号． 15．如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．    (1)求和的长； (2)求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)12 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由，，可得，，根据勾股定理可得，； （2）再由勾股定理的逆定理证明，继而根据五边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ，，，， ，， ，； （2）解：， ， ， 五边形的面积为： ． 16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）取表示数4的点，过该点作垂线，截取长度为1的线段，然后构造直角三角形，则斜边由勾股定理可得为，然后再以表示数0的点为圆心，为半径画弧与数轴相交即可得到数为的点； （2）设秋千绳索的长为由题意，可得，由题意，四边形为矩形，则，，，然后对应用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：设秋千绳索的长为，由题意，可得，四边形为矩形，，，， ， 在中， 解得， 答：秋千绳索的长为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$