期中数学试卷2025-2026学年人教版九年级数学上册

期中数学试卷2025-2026学年人教版九年级数学上册 （满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜1 D．x＞﹣1 第2题 第4题 第6题 第7题 3．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误的是（　　） A．AM＝BM B． C．OM＝MD D． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 6．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（　　）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆与边AB相切于点D．若BD＝5，AD＝8，则OC的长为（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 第9题 第13题 第14题 二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝　 　 ． 12．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　 　 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，TB是⊙O的切线，连接AT交⊙O于点C．若∠ATB＝50°，则∠BOC＝ 　 　 度． 14．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　 　 ． 15．若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为 　 　 ． 16．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 　 　 米． 17．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　 　 步． 18．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a﹣1（a为＜1的常数）的图象上，当m＜2a﹣1时，n的取值范围是 　 　 ． 第16题 第17题 三．解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分10分）用适当的方法解下列方程： （1）3x（x+1）＝3x+3； （2）2x2+x﹣2＝0． 20．（本小题满分10分）一次函数y＝x+5与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x＝2时，二次函数取得最大值． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当1＜x＜4时，二次函数y的取值范围是 　 　 ； （3）当自变量x的取值范围是 　 　 时，一次函数的值大于二次函数的值． 21．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度． 22．（本小题满分12分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1） 23．（本小题满分10分）如图，△ABC中，DC为⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AC＝AB， （1）求∠ACB的度数； （2）若BD＝6，求图中阴影部分的面积． 24．（本小题满分12分）某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x ﹣x+100 B 50 y ﹣2y+150 （注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： （1）用含x的代数式表示y； （2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值； （3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润． 25．（本小题满分13分）（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角∠PAQ小于乙的视角∠PBQ，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到∠PAQ＜∠PBQ的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与l相切于点C时，∠ACB最大． 如图3，∠MPN＝30°，点A，B是边PM上两点，AB＝6，点C是边PN上一动点． ①若∠ACB最大为90°，请求出当∠ACB＝90°时，PC的长； ②若∠ACB最大不超过60°，直接写出PA的取值范围． 26．（本小题满分13分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为（m，1），A，B两点的横坐标分别为﹣a，﹣a+2，且﹣a≤m≤﹣a+2． （1）若抛物线过点（2，3），则它的对称轴是 　 　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记﹣a≤x≤﹣a+2时二次函数的最大值为y1，最小值为y2，求y1+y2的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 期中数学试卷 2025-2026 学年人教版九年级数学上册 （满分为 150 分，考试时间为 120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若 x＝﹣1是关于 x的一元二次方程 x2+mx﹣m＝0的一个根，则 m的值为（ ） A．﹣1 B．0 C． 1 2 D．1 2．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，当 y＞0时，x的取值范围 是（ ） A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜1 D．x＞﹣1 第 2 题 第 4 题 第 6 题 第 7 题 3．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数 y＝﹣x2+5的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系为（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为 M，则下列结论中错误的是（ ） A．AM＝BM B．�� = �� C．OM＝MD D．�� = �� 5．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的变量 x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程 ax2+bx+c＝0的一个近似解 x1的范围是（ ） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 6．如图，将 Rt△ABC以点 A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点 B的对应点 D恰为 BC边的中点，若 AB ＝1，则��的长为（ ） A． � 3 B． � 6 C． 3� 3 D． 3� 6 7．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为 10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离 为 8mm，如图，则这个零件小孔的宽口 AB等于（ ）mm． 第 2页（共 6页） A．4 B．6 C．7 D．8 8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为 x1，x2，x3，则下列判断正确的是（ ） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O是边 AC上一点，以 O为圆心，OC为半径的圆与边 AB相切于点 D．若 BD＝5，AD＝8，则 OC的长为（ ） A． 8 3 B． 10 3 C． 16 3 D． 20 3 10．在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直 线 x＝t，若 m＜c＜n，则 t的取值范围是（ ） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． 1 2 ＜�＜1 D． 1 2 ＜�＜ 3 2 第 9 题 第 13 题 第 14 题 二、填空题（本大题共 8 小题，11～12 每小题 3 分，13～18 每小题 4 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把 最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．若方程 3x2﹣5x﹣2＝0有一根是 a，则 6a2﹣10a＝ ． 12．用一个圆心角为 120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径 为 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，TB是⊙O的切线，连接 AT交⊙O于点 C．若∠ATB＝50°，则∠BOC＝ 度． 14．如图是二次函数 y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数 y2＝mx+n（m≠0）的图象，当 y2＞y1，x的取值范 围是 ． 15．若正多边形的中心角为 30°，则该正多边形的边数为 ． 16．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度 y（米）与水平距离 x（米）间的函数关 系式为� =− 19 (� − 3) 2 + 4，则小明将铅球推出的距离为 米． 17．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾 第 3页（共 6页） 五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5步， 股（长直角边）长为 12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 步． 18．已知点 P（m，n）在二次函数 y＝x2﹣2ax+a2+a﹣1（a为＜1的常数）的图象上，当 m＜2a﹣1时，n 的取值范围是 ． 第 16 题 第 17 题 三．解答题（本大题共 8 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 19．（本小题满分 10 分）用适当的方法解下列方程： （1）3x（x+1）＝3x+3； （2）2x2+x﹣2＝0． 20．（本小题满分 10 分）一次函数 y＝x+5与二次函数 y＝ax2+bx+c的图象交于 A（m，5）和 B（3，n）两 点，且当 x＝2时，二次函数取得最大值． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当 1＜x＜4时，二次函数 y的取值范围是 ； （3）当自变量 x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 第 4页（共 6页） 21．（本小题满分 10 分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作⊙O 的切线 DE，交 AC于点 E，AC的反向延长线交⊙O于点 F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若 DE+EA＝8，⊙O的半径为 10，求 AF的长度． 22．（本小题满分 12 分）一座拱桥的示意图如图 2 所示，当水面宽为 16米时，桥洞顶部离水面 4 米．已 知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了 2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为 2.6米，宽为 3.2米，其截面如图 3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥， 水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到 0.1） 第 5页（共 6页） 23．（本小题满分 10 分）如图，△ABC中，DC为⊙O的直径，点 B为 CD延长线上一点，AB是⊙O的切 线，A为切点，且 AC＝AB， （1）求∠ACB的度数； （2）若 BD＝6，求图中阴影部分的面积． 24．（本小题满分 12 分）某汽车 4S店销售 A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x ﹣x+100 B 50 y ﹣2y+150 （注：厂家要求 4S店每季度 B型轿车的销量是 A型轿车销量的 2倍．） 根据以上信息解答下列问题： （1）用含 x的代数式表示 y； （2）今年第三季度该 4S店销售 A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为 0），试求 x的值； （3）求该 4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润． 第 6页（共 6页） 25．（本小题满分 13 分）（1）如图 1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门 PQ，当他带球冲到 A点时， 同伴乙已冲到 B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图 1判断甲的视角∠PAQ小于乙的视角∠PBQ，根据“仅从射门角度考虑， 球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图 1给出小明得 到∠PAQ＜∠PBQ的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图 2，点 A，B是平面内两个定点， C是直线 l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与 l相切于点 C时，∠ACB最大． 如图 3，∠MPN＝30°，点 A，B是边 PM上两点，AB＝6，点 C是边 PN上一动点． ①若∠ACB最大为 90°，请求出当∠ACB＝90°时，PC的长； ②若∠ACB最大不超过 60°，直接写出 PA的取值范围． 26．（本小题满分 13 分）已知抛物线 y＝x2﹣2ax+2a经过 A，B，M三点，其中，定点 M的坐标为（m，1）， A，B两点的横坐标分别为﹣a，﹣a+2，且﹣a≤m≤﹣a+2． （1）若抛物线过点（2，3），则它的对称轴是 ； （2）当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为 1，求 a的取值范围； （3）记﹣a≤x≤﹣a+2时二次函数的最大值为 y1，最小值为 y2，求 y1+y2的取值范围． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C C D A B D 一．选择题（共10小题） 1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+mx﹣m＝0得：1﹣m﹣m＝0， 解得：m． 故选：C． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜1 D．x＞﹣1 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故选：B． 3．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【解答】解：∵y＝﹣x2+5， ∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵点（2，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣2，y3），且﹣4＜﹣2＜﹣1， ∴y2＞y3＞y1， 故选：C． 4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误的是（　　） A．AM＝BM B． C．OM＝MD D． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M， ∴AM＝BM，，， 无法判断OM＝MD， 故选：C． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 故选：C． 6．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝2AD＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴2π． 故选：C． 7．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（　　）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD4（mm）， ∴AB＝2AD＝2×4＝8（mm）． 故选：D． 8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 【解答】设：函数表达式为y＝（x+3）（x﹣2），该函数为开口向上的抛物线， 当y＝﹣4、、﹣2时，分别对应方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8；﹣3（x+3）（x﹣2）＝8；﹣4（x+3）（x﹣2）＝8； ∵y＝﹣4、、﹣2这三个y值依次增大，函数为开口向上的抛物线， ∴其对应的正根x1，x2，x3也依次增大，、 即x1＜x2＜x3， 故选：A． 9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆与边AB相切于点D．若BD＝5，AD＝8，则OC的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OD， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线， ∵⊙O与AB相切于点D，BD＝5，AD＝8， ∴BC＝BD＝5，AB＝BD+AD＝5+8＝13， ∴AC12， ∵AB⊥OD， ∴∠ADO＝90°， ∴AD2+OD2＝OA2，且OD＝OC，OA＝12﹣OC， ∴82+OC2＝（12﹣OC）2， 解得OC， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，抛物线的对称轴是直线x＝t，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．0＜t＜1 C． D． 【解答】解：∵m＜c＜n， ∴a+b+c＜c＜9a+3b+c， 解得﹣3a＜b＜﹣a， ∴a＜﹣b＜3a， ∵a＞0， ∴， 即t， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．若方程3x2﹣5x﹣2＝0有一根是a，则6a2﹣10a＝　4　 ． 【解答】解：由题意，把是a的根代入3x2﹣5x﹣2＝0， 得：3a2﹣5a＝2， ∴2×（3a2﹣5a）＝2×2， ∴6a2﹣10a＝4． 12．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　　 ． 【解答】解：，解得r． 故答案为：． 13．如图，AB是⊙O的直径，TB是⊙O的切线，连接AT交⊙O于点C．若∠ATB＝50°，则∠BOC＝ 　80　 度． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，TB是⊙O的切线， ∴∠OBT＝90°， ∵∠ATB＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠ATB＝40°， ∴∠BOC＝2∠A＝80°， 故答案为：80°． 14．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　﹣2＜x＜1　 ． 【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3）， ∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1， 故答案为：﹣2＜x＜1． 15．若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为 　12　 ． 【解答】解：∵360°÷30°＝12， ∴这个正多边形的边数为12， 故答案为：12． 16．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 　9　 米． 【解答】解：当y＝0时， （x﹣3）2+4＝0， （x﹣3）2＝36， x﹣3＝6或x﹣3＝﹣6， ∴x1＝9，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 17．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　4　 步． 【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F， 连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r， ∵AC、BC与⊙O相切， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， ∴四边形ODCE为矩形， 而CD＝CE， ∴矩形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OD＝r， ∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r， ∵BD＝BF，AF＝AE， ∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r， ∵AB13， ∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2， ∴⊙O的直径为4． 故答案为4． 18．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a﹣1（a为＜1的常数）的图象上，当m＜2a﹣1时，n的取值范围是 　n＞a2﹣a　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a2+a﹣1＝（x﹣a）2+a﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为a﹣1， ∵a＜1， ∴a﹣1＜0， ∴2a﹣1﹣a＝a﹣1＜0， ∴2a﹣1＜a， ∵m＜2a﹣1， ∴m＜a， ∴点P（m，n）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵x＝2a﹣1时，y＝4a2﹣4a+1﹣4a2+2a+a2+a﹣1＝a2﹣a， ∴n＞a2﹣a． 故答案为：n＞a2﹣a． 三．解答题（共8小题） 19．用适当的方法解下列方程： （1）3x（x+1）＝3x+3； （2）2x2+x﹣2＝0． 【解答】解：（1）3x（x+1）＝3x+3， 3x（x+1）﹣3x﹣3＝0， 3x（x+1）﹣3（x+1）＝0， ∴3（x+1）（x﹣1）＝0． ∴x+1＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝1； （2）2x2+x﹣2＝0， 这里a＝2，b＝1，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝1+16＝17． ∴x ． ∴x1，x2． 20．一次函数y＝x+5与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x＝2时，二次函数取得最大值． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当1＜x＜4时，二次函数y的取值范围是 　5＜y≤9　 ； （3）当自变量x的取值范围是 　0＜x＜3　 时，一次函数的值大于二次函数的值． 【解答】解：（1）把A（m，5）和B（3，n）分别代入y＝x+5中， 解得：m＝0，n＝8， ∴A（0，5），B（3，8）， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，5）和B（3，8）两点，且当x＝2时，二次函数取得最大值， ∴，解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，9）， ∴当x＝2时有最大值是9， 当x＝1时，y＝8， 当x＝4时，y＝5， ∴当1＜x＜4时，二次函数y的取值范围是5＜y≤9． 故答案为：5＜y≤9． （3）∵一次函数y＝x+5与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（0，5）和B（3，8）两点，抛物线开口向下， ∴当自变量x的取值范围是x＜0或x＞3时，一次函数的值大于二次函数的值． 故答案为：x＜0或x＞3． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度． 【解答】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE是⊙O的切线，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC； （2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE． 设AH＝x． ∵DE+AE＝8，OD＝10， ∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2． 在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（x﹣2）2＝102， 解得x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴AH＝8． ∵OH⊥AF， ∴AH＝FHAF， ∴AF＝2AH＝2×8＝16． 22．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1） 【解答】解：（1）如图，AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，OC＝4， ∴抛物线的顶点坐标为C（0，4），B（8，0）， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4， 将B（8，0）代入，得：a⋅82+4＝0， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）在中，当y＝2时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到O′处， ∵货船的高为2.6米，宽为3.2米， ∴米，O′E＝2.6， 设OO′＝m米，则OE＝OO′+O′E＝（m+2.6）米， ∴点F的坐标为（1.6，m+2.6）， 将F（1.6，m+2.6）代入，得： 解得m＝1.24， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米． 23．如图，△ABC中，DC为⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AC＝AB， （1）求∠ACB的度数； （2）若BD＝6，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OA， ∵AB是⊙O的切线，点A为切点， ∴∠BAO＝90°， 又∵AB＝AC，OA＝OC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OAC， 设∠ACB＝x°，则在△ABC中， x°+x°+x°+90°＝180°， 解得：x＝30， ∴∠ACB的度数为30°； （2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∵∠BAO＝90°，BD＝6，∠B＝30°， ∴OB＝2OA＝2OD， ∴OD＝BD＝6＝OA， ∴CD＝12， ∴ADCD＝6， ∴ACAD＝6， ∴S△AOCS△ACDAC•AD66＝9， ∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣三角形AOC的面积912π﹣9． 24．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x ﹣x+100 B 50 y ﹣2y+150 （注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： （1）用含x的代数式表示y； （2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值； （3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润． 【解答】解：（1）根据题意得：﹣2y+150＝2（﹣x+100）， 整理得：y＝x﹣25； （2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（y﹣50）（﹣2y+150）， 由（1）知，y＝x﹣25， ∴（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣75）（﹣2x+200）， 整理得：x2﹣190x+9000＝0， 解得x1＝90，x2＝100， ∵x＝100时利润为0， ∴x的值为90； （3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元， 则w＝（x﹣60）（﹣x+100）+（y﹣50）（﹣2y+150） ＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣75）（﹣2x+200） ＝﹣3x2+510x﹣21000 ＝﹣3（x﹣85）2+675， ∵﹣3＜0， ∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675， 答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元． 25．（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角∠PAQ小于乙的视角∠PBQ，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到∠PAQ＜∠PBQ的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与l相切于点C时，∠ACB最大． 如图3，∠MPN＝30°，点A，B是边PM上两点，AB＝6，点C是边PN上一动点． ①若∠ACB最大为90°，请求出当∠ACB＝90°时，PC的长； ②若∠ACB最大不超过60°，直接写出PA的取值范围． 【解答】解：（1）连接PC，如图， 则：∠PCQ＝∠PBQ， ∵∠PCQ为△PAC的外角， ∴∠PCQ＞∠PAQ， ∴∠PBQ＞∠PAQ， 即∠PAQ＜∠PBQ； （2）①∵∠ACB＝90°， ∴△ABC的外接圆的圆心在AB的中点处， 取AB的中点O，连接OC，如图， 则OA＝OB＝OCAB＝3， ∵由题意：PM为⊙O的切线， ∴OC⊥PM， ∵∠MPN＝30°， ∴OCPO， ∴PO＝6． ∴PC3； ②当∠ACB＝60°时，如图， 连接OA，O，OC，则：OA＝OB＝OC， 由题意：PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC． 过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BEAB＝3， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝120°． ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA30°， ∴OA＝2OE， ∴AEOE， ∴OE＝3， ∴OE， ∴OA＝2． ∵∠OAB＝∠P＝30°， ∴OA∥PC， ∴∠AOC+∠OCP＝180°， ∴∠AOC＝90°． 过点A作AF⊥PC于点F，则∠AFC＝90°， ∴四边形AFCO为矩形， ∵OA＝OC， ∴矩形AFCO为正方形， ∴AF＝OA＝2． ∵∠P＝30°， ∴PA＝2AF＝4． 由题意可知：∠ACB越大，PA的值越短， ∵∠ACB最大不超过60°， ∴PA≥4． 26．已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为（m，1），A，B两点的横坐标分别为﹣a，﹣a+2，且﹣a≤m≤﹣a+2． （1）若抛物线过点（2，3），则它的对称轴是 　直线　 ； （2）当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记﹣a≤x≤﹣a+2时二次函数的最大值为y1，最小值为y2，求y1+y2的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过点（2，3）， ∴3＝22﹣4a+2a． ∴a． ∴抛物线为y＝x2﹣x+1． ∴对称轴是直线． 故答案为：直线． （2）由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2ax+2a＝x2﹣2a（x﹣1）， ∴无论a为何值时，当x＝1时，总有y＝1． ∴定点M的坐标为（1，1）． ∴m＝1． 又对称轴是直线xa， ∴M的对称点为（2a﹣1，1）． ∵当﹣2≤x≤1时，二次函数的最大值为1， ∴2a﹣1≤﹣2， ∴， 又由﹣a≤1≤﹣a+2， ∴﹣1≤a≤1． ∴． （3）（i）当﹣1≤a＜0时，，， ∴， 当a＝﹣1时，y1+y2＝14， 当a＝0时，y1+y2＝4， ∴4＜y1+y2≤14． （ii）当时，，， ∴， 当a＝0时，y1+y2＝4， 当时，， ∴． （iii）当时，，， ∴， 当a＝1时，y1+y2＝6， 当时，， ∴． 综上，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$