专题01 圆的轨迹、最值、定点、定值、切线问题7种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01圆的轨迹、最值、定点、定值、切线问题 目录 类型一、与圆有关的轨迹问题 类型二、与圆有关的最值问题 类型三、圆的切线问题 类型四、圆的弦长问题 类型五、直线与圆中的定点问题 类型六、直线与圆中的定值问题 类型七、直线与圆中的定直线问题 压轴专练 类型一、与圆有关的轨迹问题 1.求与圆有关的轨迹问题的常用解法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 例1．如图，已知射线和，棍棒的两端分别在射线和上滑动，． (1)求的最大值； (2)设为的中点，求的取值范围； (3)设为的中点，求点的轨迹． 【答案】(1)12 (2) (3)点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆 【分析】（1）由已知得出顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆上，即可求解的最大值； （2）法一：由圆的性质即可求解；法二：由三角形中线长定理得，，设，则，即可求解的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，设，则，，由，得，化简即可得出点的轨迹． 【详解】（1）先证明：在平面上给定两点，设点在同一平面内且满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆， 证明：不妨设， 若设，则， 整理得， 所以点的轨迹为圆心，半径为的圆，证毕； 由题可知，顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆． 所以． （2）解法1：由圆的性质知． 解法2：先证明三角形中线长定理： 如图，在三角形中，为边上中线，则， 证明：， 所以 ，证毕； 取中点，如图，由三角形中线长定理知： ， 设，则， ，所以． （3）如图，建立平面直角坐标系． 设，则，， 由，得， 即，即， 所以点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆，即图中的． 变式1-1．设点在以为直径端点的上半圆上，求内切圆圆心的轨迹方程． 【答案】 【分析】设内切圆圆心，，内切圆与三边相切于，结合内切圆的性质可得，，进而结合勾股定理建立方程即可求解. 【详解】如图，设内切圆圆心，，内切圆与三边相切于， 由内切圆的性质可知：， ， 又，则，即， 整理得：，即．    变式1-2．已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 【答案】答案见解析 【分析】以圆心为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，设圆与轴交点为作于，进而利用相似三角形建立方程求解即可. 【详解】如图，以圆心为原点，所在的直线为轴建立直角坐标系， 则，圆的方程是． 设点的坐标为，并设圆与轴交点为作于， 则有． ，，即， 即， 点的轨迹是分别以为直径的两个圆．    变式1-3．在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 （2）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 例2、已知实数满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设圆，直线，，，求出的大小，求出中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，数形结合即可求出其最大值． 【详解】设圆，直线，，， 则，都在圆上， ∵， ， ∴是等边三角形，∴． 过和作直线的垂线，垂足分别为 则表示和到直线的距离和， 由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值． 取的中点，过作，垂足为，则， ∵为等边三角形，为的中点，∴， 则在圆上运动， 又到直线的距离为， 则当时，到直线距离的最大值为， ∴的最大值为， 即的最大值为. 故答案为：. 变式2-1．已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在直线 上，由，而点关于直线对称的点，所以，从而可求得结果. 【详解】由，得，则圆心，半径， 由，得，则圆心，半径， 由题意，动点在直线 上，动点在直线 上， 记线段MN的中点为P，则点P在直线x+y=0 上， 又由， 点关于直线对称的点， 则， 所以的最小值为． 故选：D． 变式2-2．在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 【答案】 【分析】分析可知，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，可求得、两点的直线距离最小值；由折线距离的定义设直线上点，可得“城市街区距离”公式，化简成分段函数的形式，由函数的单调性可得“城市街区距离”的最小值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径， 故、两点的直线距离最小值为， 不妨设点、，则， 则、两点的“城市街区距离”为 ， 令， 则关于的函数在连续，则该函数在上递减， 在上单调递增， 所以，， 为锐角，且， 所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“城市街区距离”最小值的关键是能够通过分类讨论的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 变式2-3．已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【详解】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值. 类型三、圆的切线问题 ①几何法：利用点到直线的距离等于半径 ②代数法：联立直线与圆，令 例3．1．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 变式3-1．已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为 . 【答案】或 【分析】根据题意可知原点到直线的距离1，所以直线是圆的切线，进而可知圆是三角形的外接圆，继而可求三角形面积. 【详解】根据题意原点到直线的距离， ∴直线为圆的切线，如图， 设正三角形边长为，如图时, ∴，解得， 即； 如图时，. 故答案为：或. 变式3-2．已知为直线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为、，若直线上有且只有一个点满足，则 . 【答案】 【分析】连接、，推导出，设，可得出，利用二倍角的余弦公式结合弦化切可得出，再利用平面向量数量积的定义求出的值，结合勾股定理求出的值，将问题转化为直线与以点为圆心，为半径的圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 连接、，则，，如下图所示： 由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 所以，，设，则， 在中，， 所以，， 所以，，解得， 所以，， 设点，则，则点在圆上， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，直线与圆相切，则，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 变式3-3．在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (3)点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，根据题意求出，再根据圆的标准方程即可求解； （2）讨论直线是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解； （3）由图可知，当取最小值时四边形的面积最小，为圆心到直线的距离，设四边形的面积为，可得，把代入即可求解. 【详解】（1）设， 因为， 解得，所以， 所以圆的标准方程为. （2）若直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，此时满足直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程为，即， 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 解得，此时直线方程为，即， 所以直线l的方程为或. （3）由图可知，当取最小值时四边形的面积最小， ， 设四边形的面积为， 则 ， 所以四边形面积的最小值为. 类型四、圆的弦长问题 1. 直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 例4．已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以，，， ， 故， 所以圆与圆相交， 将方程与方程相减可得， 所以直线的方程为， 因为到直线的距离， 所以， 又到直线的距离， 所以面积， 令，则，， 所以，， 设，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取最小值， 故当时，取最小值， 所以当，即时，面积取最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先求出公共弦的方程，结合弦长公式点到直线的距离公式求出的面积的表达式，再结合换元法，结合函数单调性求最值. 变式4-1．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 变式4-2．已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【详解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．    变式4-3．已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的方程，明确圆心与半径，结合点关于直线对称的问题解决，可得答案； （2）设出直线，利用几何法求得弦长，整理面积的函数表达式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）    由，则圆心，半径， 设直线，可知其斜率， 过并垂直于直线的直线斜率，则其方程， 整理可得，联立可得，解得， 设，则，解得，所以， 由圆与圆关于直线对称，则圆的半径， 所以圆. （2）由题意可知，由，当斜率不存在时，斜率为，易知此时不符合题意； 由，则设，由，则设， 将代入直线的方程，可得，则， 点到直线的距离，， 点到直线的距离，， 令，由，则，且，， 由在四边形中，则， 由于，故当时，此时最大为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 类型五、直线与圆中的定点问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例5．在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)圆，， (2) (3)， 【分析】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的． （2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解． （3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【详解】（1）因为， 因为圆与相切，所以半径等于到的距离． 又直线，所以圆的半径，所以圆． 圆与相切，又过点与圆相切的直线有或， 所以直线，所以．即， 所以直线， 又到的距离为，所以，解得或（舍）， 所以． （2）设，，则. 由，可得， ，解得. 所以，， 故. 所以，所以. 故. （3）设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 变式5-1．已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）将圆的一般式化为标准式即可； （2）利用求圆切线的方式求解即可； （3）设的直线方程为，，然后联立方程组求解，根据找到参数的值或关系求定点即可. 【详解】（1）由题可知， 所以圆的圆心为，半径为. （2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切； 当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切， 则有 所以过点P且与圆C相切的直线方程为，. （3）由题可知， 显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为， 联立 得 所以有 所以 由题可知， 所以有 所以此时 此时的直线方程为 故过定点. 【点睛】关键点点睛：我们观察图象可知，圆关于轴对称，直线的所有情况也关于轴对称，我们大胆猜测定点在轴上，然后设直线的横截式方程计算即可. 变式5-2．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 变式5-3．已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解； （2）利用韦达定理结合题意求解. 【详解】（1）（1）设，， 由中点坐标公式得 因为点的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线的方程为． （2）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 类型六、直线与圆中的定值问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例6．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设、，根据平面向量的坐标运算得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程； （2）设，则，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出为定值. 【详解】（1）根据题意，、， 设、，则，， 由于，所以， 则，得，故， 又为圆上，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. （2）设，则， 直线方程是，代入，得，即， 直线方程是，代入，得，即， 所以 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 变式6-1．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可. 变式6-2．已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 【答案】(1)圆过定点； (2)①直线的方程为. ②存在这样的点，使得为定值 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）①根据题意可得，进而由点到直线的距离公式可求最小值，求出此时的点的坐标，求得过的圆的方程，可求直线的方程. ②设，求得过的圆的方程，求得直线的方程，可得直线过定点，由条件可得点在以为直径的圆上，进而可求定值. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为： ， 令，即，则， 解得，即圆过定点； （2）①当时，圆，可得圆心，半径， 由平面几何知识可知， 所以， 所以最小时，最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即，此时直线， 所以直线的方程为，与直线联立，可求得， 此时以为直径的圆上任意一点， 则， 故圆的方程为，又圆， 两式作差可得直线的方程为. ②设，由平面几何知识为四点共圆， 设圆上任一点，则， 所以圆的方程为， 与圆作差可得直线的方程为， 所以，表示过与的交点的直线， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以在以为直径的圆上， 故圆心到点的距离为圆的半径（定值）， 所以存在点为线段的中点，此时坐标为， 所以存在这样的点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：重点在于利用两圆的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程，进而求得直线过的定点是解得第二问的定值的关键. 变式6-3．已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，5 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 所以， 所以， 整理得曲线的方程为. （2）设直线的方程为，，， 联立直线和曲线的方程：， 消去得：， （i）因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 所以， 解得. （ii）, 代入韦达得：， 所以是定值5.    类型七、直线与圆中的定直线问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例7．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）在定直线上 【分析】（1）根据点点距离公式即可列方程，化简可得结论， （2）（i）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算的长度,即可根据面积公式得表达式,结合不等式即可求解最值, （ii）联立直线与圆的方程得韦达定理,即可根据点斜式求解直线的方程,联立两直线方程即可求解定直线. 【详解】（1）设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即： 所以动点的轨迹的方程为； （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为. （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上 【点睛】方法点睛:解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 变式7-1．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程； （2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明. 【详解】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心， 又圆C与直线相切于点，则，解得， 所以，半径，所以圆C的方程为：. （2）设，，直线MN方程为：， 联立得， ，，， 直线OM方程为：，直线BN方程为：， 联立，可得， 所以点G在直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： ①设直线方程，设交点坐标为，； ②联立直线与圆的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算； ③列出韦达定理； ④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式； ⑤代入韦达定理求解. 变式7-2． 在平面直角坐标系中，圆为过点的圆． (1)求圆的标准方程： (2)过点作直线，交圆于两点，不在轴上． ①过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的取值范围： ②设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②点在定直线上. 【分析】（1）设出圆方程，代入求解即可；（2）直线的方程为，分与两种情形讨论，，即计算弦长即可得；（3）联立直线与圆的方程，进而求解直线，求出点G横坐标，化简即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为 圆的标准方程为 （2）设直线的方程为，即．则圆心到直线的距离 （i）若，则直线为轴，此时， 则， 若，则直线为，即． 则圆心到直线的距离 ，当且仅当时取等 综上所述： （ii）设，联立方程组可得： 直线方程为，直线方程为，联立可得的横坐标 由①可知 点在定直线上. 变式7-3． 在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称． (1)求圆N的标准方程； (2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上． ①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①7；②点G在定直线上. 【分析】（1）以为直径的圆，圆心为的中点，半径为的一半，则可直接得圆M的方程，然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径，写出圆的标准方程即可. （2）利用点到直线的距离公式，可用的斜率表示出四边形的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程. 【详解】（1）由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径 圆M的方程为：， 因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为 所以圆N的标准方程为：. （2）解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以， （ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则， 若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，因为，所以S的最大值为7； （ⅱ）设，联立方程组得： 消y得，则， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得 则， 所以，所以点G在定直线上. 压轴专练 1．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】因为、在圆上， 所以，，， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，   表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，， 故在圆上，. 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出，再将题意转化为表示、到直线的距离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决. 2．在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过切线长定理转化边长可得的周长为，利用两点间距离公式可得点坐标. 【详解】如图，连接，则. 由题意得，圆心，圆与轴相切于点. ∵与分别切于点，∴， ∴的周长为： ， ∴，即， 代入选项可得点的坐标为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用切线长定理转化边长，借助勾股定理建立关于的等量关系，代入选项可求出点坐标. 3．已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则，故， 所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 4．已知点均在同一平面内，且，动点满足.点为直线上的一个动点，则取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据得的轨迹方程是以为圆心，以1为半径的圆，根据圆的性质可知的最小值为，求出关于直线的对称点坐标，连接分别交直线与圆于，利用可得答案. 【详解】设，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 即，是以为圆心，以1为半径的圆， 则根据圆的性质可知，的最小值为， 设关于直线的对称点为， 则可得解得，即， 连接，分别交直线与圆于， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的方程为，与联立， ，解得， 可解得点的坐标为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据圆的性质可知的最小值为和利用家庭. 5．过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得. 【详解】 如图，设点，因,故点在以为直径的圆上， 因圆心，半径为，故圆的方程为：， 又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：， 于是，点到直线的距离为：，， 故的面积为：， 不妨设则，且，故， 因在上单调递增，故，此时， 即时，点时，面积的最大值为. 故答案为：. 6．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹. 7．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 8．已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 9．点依次在直线上，且，过作的垂线，是这一直线上的动点，以为圆心，为半径作圆，与是这一圆的切线，与分别为切点，试求的垂心的轨迹． 【答案】垂心的轨迹是圆（除原点外） 【分析】以直线为轴，为原点建系，可得圆的方程，，由，，及，可得四边形为菱形，两切线方程分别为，，从而得直线的方程为，直线与交点的轨迹方程，再用、替换其中的即得答案. 【详解】解：如图所示，取直线为轴，为原点建系， 设，则． 以为圆心为半径的圆的方程为， 过点与垂直的直线方程为， 则， 因高线与相交于， 则由，，及，可知四边形为菱形， 所以． 又， 所以共线． 直线的方程为． 设，， 则切线的方程分别为，． 又因为在两切线上， 所以，， 可知直线的方程为：， 将代入，可得， 即． 即动直线与交点的轨迹方程， 又因为为中点， 从而易求得的轨迹方程为， 即， 故所求垂心的轨迹是圆（除原点外）． 10．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 11．已知圆C经过点，圆心C在直线上，且______．在①②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中进行求解． ①圆C与直线相切；    ②圆C被直线截得的弦长为； (1)求圆C的标准方程； (2)已知圆与圆C关于直线对称，过原点O的直线m交圆于M，N两点，求弦中点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，设圆心，由点到直线距离公式求出圆的半径，再由，运算解得，得解；若选②，设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出，得解； （2）先利用对称性求出圆的方程，再由点在以为直径的圆上，求出轨迹方程. 【详解】（1）若选①，设圆心，则圆的半径， 圆心到直线的距离为， ，解得， 所以圆心的坐标为， 所以圆心的标准方程为. 若选②，设圆心，则圆心到直线的距离为， 又圆被直线截得的弦长为， ， 又圆经过点，则， 解得，所以圆心的坐标为， 所以圆心的标准方程为. （2）设圆心关于直线对称的点， 则，解得， 的坐标为，此时圆的方程为， 因为过原点的直线交圆于两点，弦的中点为， 所以，即点在以为直径的圆上， 又的中点坐标为，， 所以点的轨迹方程为，即. 12．材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程组可得点坐标. （2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解. （3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【详解】（1）由. 所以“共点”的坐标为： （2）圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. （3）由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 【点睛】关键点点睛：根据点到直线的距离公式，把转化成两点、到直线的距离，进而得：直线可能过已知两点的中点，或与过两点的直线平行或重合，再根据实数对存在的唯一性，所以直线就是过、的直线，所以. 13．已知圆：（）分别与轴、轴交于点，（均异于坐标原点），过点作两条直线，，斜率分别为，，且，直线与轴交于点，直线与圆交于，两点． (1)若，，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点在圆上，代入求参数得到圆为，设直线的方程为，利用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数，即可得直线方程； （2）首先有，，结合已知点线距离求得，进而确定圆的方程，设的方程为（），则的方程为，结合两点及点线距离、圆的弦长公式求、，写出面积关于的表达式，即可求最值. 【详解】（1）将代人圆的方程，解得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径． 根据题意得，直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离．    因为，所以，解得（舍）或， 故直线的方程为． （2）令，，得，， 所以直线方程为，即． 由原点到直线的距离为，得，结合，解得， 故圆的方程为，圆心坐标为，半径． 根据题意得，的方程为（），则的方程为， 则点，所以． 又圆心到的距离为，所以，    所以 ，当且仅当时等号成立， 所以面积的最小值为． 【点睛】关键点点睛：第二问，设含斜率参数的直线方程，综合点线距离、几何法求圆的弦长得到三角形面积关于的表达式为关键. 14．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据设点代入即可得到曲线的方程； （2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到方程，进而得到过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到过该定点即可. 【详解】（1）设，由，得，所以， 两边平方并化简，得曲线的方程为. （2）由（1）得，设直线、的斜率分别为，， 如图所示，    当不垂直于轴时，设，联立， 整理得，解得（舍）或， 当时，，所以， 同理得， 所以的斜率， 因为，代入可得， 故的方程为， 即， 故过定点； 当轴时，设，则， 所以，即， 又因为，代入可得， 解得或（舍），所以（或）， 所以的方程为，过点. 综上，直线过定点 15．已知直线l：和圆O：相交于A，B两点. (1)当且时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标； (2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点满足 【分析】（1）求出交点A，B坐标，由过切点的半径与切线垂直得切线斜率从而得切线方程，两切线方程联立方程组可解得交点坐标； （2）假设存在满足题意，设出A，B坐标由已知得，由直线方程与圆方程联立 ，消元后利用韦达定理，代入，由恒等式知识可得． 【详解】（1）由，可得，代入圆的方程解得， 所以，，圆O上过点A的切线为， 由，得，所以切线的方程为， 化简得，同理过点B的切线为， 将两方程联立可得两切线交点坐标为. （2）假设轴上存在点满足题意，设，，， 则，即，整理得，又，， 代入上式可得，， 整理得，① 由，得， ，，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，. 故轴上存在点满足. 16．已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．    17．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问中利用圆弦长的几何求法及得到关于某个参数的表达式为关键 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01圆的轨迹、最值、定点、定值、切线问题 目录 类型一、与圆有关的轨迹问题 类型二、与圆有关的最值问题 类型三、圆的切线问题 类型四、圆的弦长问题 类型五、直线与圆中的定点问题 类型六、直线与圆中的定值问题 类型七、直线与圆中的定直线问题 压轴专练 类型一、与圆有关的轨迹问题 1.求与圆有关的轨迹问题的常用解法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 例1．如图，已知射线和，棍棒的两端分别在射线和上滑动，． (1)求的最大值； (2)设为的中点，求的取值范围； (3)设为的中点，求点的轨迹． 变式1-1．设点在以为直径端点的上半圆上，求内切圆圆心的轨迹方程． 变式1-2．已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 变式1-3．在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 例2、已知实数满足，，则的最大值为 . 变式2-1．已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 变式2-2．在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 . 变式2-3．已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 类型三、圆的切线问题 ①几何法：利用点到直线的距离等于半径 ②代数法：联立直线与圆，令 例3．1．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A．B．C． D． 变式3-1．已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为 . 变式3-2．已知为直线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为、，若直线上有且只有一个点满足，则 . 变式3-3．在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (3)点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 类型四、圆的弦长问题 1. 直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 例4．已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 变式4-1．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值．    变式4-3．已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 类型五、直线与圆中的定点问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例5．在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 变式5-1．已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 变式5-2．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 变式5-3．已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点． 类型六、直线与圆中的定值问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例6．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 变式6-1．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 变式6-2．已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 变式6-3．已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 类型七、直线与圆中的定直线问题 联立直线与圆的方程消元后利用根与系数的关系进一步计算 例7．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 变式7-1．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 变式7-2． 在平面直角坐标系中，圆为过点的圆． (1)求圆的标准方程： (2)过点作直线，交圆于两点，不在轴上． ①过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的取值范围： ②设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由． 变式7-3． 在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称． (1)求圆N的标准方程； (2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上． ①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 压轴专练 1．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知点均在同一平面内，且，动点满足.点为直线上的一个动点，则取最小值时，点的坐标为 . 5．过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 6．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 7．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 8．已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 9．点依次在直线上，且，过作的垂线，是这一直线上的动点，以为圆心，为半径作圆，与是这一圆的切线，与分别为切点，试求的垂心的轨迹． 10．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 11．已知圆C经过点，圆心C在直线上，且______．在①②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中进行求解． ①圆C与直线相切；    ②圆C被直线截得的弦长为； (1)求圆C的标准方程； (2)已知圆与圆C关于直线对称，过原点O的直线m交圆于M，N两点，求弦中点Q的轨迹方程． 12．材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 13．已知圆：（）分别与轴、轴交于点，（均异于坐标原点），过点作两条直线，，斜率分别为，，且，直线与轴交于点，直线与圆交于，两点． (1)若，，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为，求面积的最小值． 14．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 15．已知直线l：和圆O：相交于A，B两点. (1)当且时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标； (2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由. 16．已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值.    17．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$