第1章 有理数 （高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2024七年级上册

第1章 有理数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D．2 2．2024年国庆10月1日南昌地铁共接待游客约万人次，创新高，万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的两个点分别表示数m和，则m可以是（   ） A． B． C．1 D．2 5．下列语句：①不带“－”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数又不是负数的数；④表示没有温度；⑤非负有理数就是正有理数；⑥正整数和负整数统称为整数；⑦既是负数，也是分数，还是有理数．其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．如图，数轴上点，表示的数分别是，，则下列运算结果是正数的是（    ）    A． B． C． D． 7．A为数轴上表示6的点，将A点沿数轴向数轴负方向移动8个单位长度得到点B，则B点表示的数为（  ） A．2 B．0 C． D． 8．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 10．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．2023的倒数的相反数是 ． 12．计算： ． 13．已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 14．若有理数满足，，且，则的值为 ． 15．刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 16．观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是 ． 17．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 ．    18．如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算． (1)； (2)． 20．把下列各数分别填在相应的集合里： ，，，，，，，，， 整数集合：______ ； 负有理数集合：______ ； 正分数集合：______ ． 21．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 22．在数轴中A表示1，B表示，回答下面的问题： (1)A、B之间的距离是 ___________； (2)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：___________； (3)若将数轴折叠，使A点与表示的点重合，则折叠点表示的数是 ___________B与数 ___________表示的点重合； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：___________N：___________． 23．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 24．如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 25．【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键．根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】， ， ， ，最小的数是， 故选：C． 2．2024年国庆10月1日南昌地铁共接待游客约万人次，创新高，万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：C． 3．绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：绝对值不大于的整数有：、、、、、、， 则绝对值不大于的所有整数的积等于，故选：B． 4．如图，数轴上的两个点分别表示数m和，则m可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数，难度较小，熟练掌握数轴的左边数小于在数轴的右边数是解题关键． 由数轴可知m在的左边，即，然后逐项分析即可作答． 【详解】解：由数轴可知， 观察各项，则， 只有A选项的满足条件，即 故选：A． 5．下列语句：①不带“－”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数又不是负数的数；④表示没有温度；⑤非负有理数就是正有理数；⑥正整数和负整数统称为整数；⑦既是负数，也是分数，还是有理数．其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可求解 【详解】解：①正数是大于0的数，与带不带“−”号无关，例如：0不带“−”号，但不是正数，也不是负数，故原说法错误； ②a是正数，表示a的相反数，一定是负数，故说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④就是表示温度是0，不是没有温度，故原说法错误； ⑤非负有理数就是正有理数和0，故原说法错误； ⑥正整数、0和负整数统称为整数，故原说法错误； ⑦既是负数，也是分数，还是有理数，故说法正确． 综上，只有②⑦说法正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正数与负数的定义，有理数的分类，熟练掌握定义便不难解答． 6．如图，数轴上点，表示的数分别是，，则下列运算结果是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的四则运算，正确得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四个选项中只有A选项中的运算结果为正数， 故选：A． 7．A为数轴上表示6的点，将A点沿数轴向数轴负方向移动8个单位长度得到点B，则B点表示的数为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的加减等知识点，根据题意列出算式是解决本题的关键． 根据题目给出的条件列出算式计算即可． 【详解】解：将A点沿数轴向数轴负方向移动8个单位后得到点B表示的数为：． 故选：C． 8．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 【答案】C 【分析】分为，；，；，；，四种情况化简计算即可． 【详解】解：当，时，原式； 当，时，原式； ，时，原式； 当，时，原式． 综上所述，的值是3或． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 10．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．2023的倒数的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数、相反数等知识点，掌握乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数成为解题的关键． 先求出2023的倒数，再求出其相反数即可． 【详解】解：2023的倒数为，其相反数为． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】按照先算乘方，后算乘法，最后算加减的运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，解题关键是掌握有理数混合运算的运算法则 13．已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数与倒数的定义与运用，代数式求值，准确计算是本题的解题关键．根据相反数与倒数的定义即可得到，，进而代入即可得解． 【详解】∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∴， 故答案为：. 14．若有理数满足，，且，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方，求得的值，根据得出，进而确定的值，代入代数式求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，或， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数乘方，代数式求值，分类讨论是解题的关键． 15．刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，根据刻度“”和“”分别与数轴上表示的数0和的点重合，可求出数轴上一个单位是，再根据向右平移5个单位得出点表示的数，就可求出刻度尺的长，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：∵刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合， ∴数轴上一个单位长度为， 将该刻度尺沿数轴向右平移5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合， 原点A表示的数是， 则点A到原点的距离为， 刻度尺长为， 故答案为：40． 16．观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数字类规律、有理数的乘方运算等知识点，根据题目所给算式，总结出末尾数字变化规律，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ；；；；；……， 观察可知，每4个算式为一组，末尾数字分别为2，4，8，6； ， ∴是第组第三个，末尾数字为8， 即 ∴的末尾数字为1， 故答案为：1． 17．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 ．    【答案】452 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：． 故答案为：． 18．如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【答案】或/或14 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度． 分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论． 【详解】∵正方形的边长为3，点表示的数为， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图， ， ， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为． 综上，数轴上点表示的数是或； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． （1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．把下列各数分别填在相应的集合里： ，，，，，，，，， 整数集合：______ ； 负有理数集合：______ ； 正分数集合：______ ． 【答案】，，，，；，，，，；， 【分析】根据有理数的分类即可解答． 【详解】解：整数集合：； 负有理数集合：； 正分数集合：． 故答案为：，，，，；，，，，；，． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键． 21．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 22．在数轴中A表示1，B表示，回答下面的问题： (1)A、B之间的距离是 ___________； (2)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：___________； (3)若将数轴折叠，使A点与表示的点重合，则折叠点表示的数是 ___________B与数 ___________表示的点重合； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：___________N：___________． 【答案】(1)3.5 (2)或4 (3)， (4)，1006 【分析】（1）观察数轴，直接得出结论； （2）观察数轴，直接得出结论； （3）A点与表示的点相距5单位，其对称点为，由此得出与B点重合的点； （4）对称点为，M点在对称点左边，离对称点个单位，N点在对称点右边，离对称点1007.5个单位，由此求出M、N两点表示的数． 【详解】（1）A、B之间的距离是； 故答案为： （2）与点A的距离为3的点表示的数是：或； 故答案为：或4 （3）A点与重合，则对称点是，则数B关于的对称点是：， 故答案为：， （4）由对称点为，且M、N两点之间的距离为2015（M在N的左侧）可知， M点表示数，N点表示数． 故答案为： ，1006． 【点睛】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解． 23．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 24．如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而的平方最大，最大为49； 所以A点表示的数的平方最大； (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据点C，D表示的数互为相反数，则原点位于线段的中点处，即可确定； （2）根据数轴即可确定四点表示的数；计算出四点表示的数的平方即可； （3）表示出M、N两点表示的数，分三种情况考虑，当时；当时；当时，即可求得． 【详解】（1）解：原点位置如图所示； （2）解：由数轴知，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而， 所以A点表示的数的平方最大；最大为49； （3）解：运动t秒后，点M表示的数为， 当时，点M在上运动，点N静止， 则； 当时，点N表示的数为， 则； 当时，此时点N到达终点D，点M继续运动； 则； 综上，当时，；当时，；当时， ． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，两点间的距离，相反数，列代数式，乘方运算，动点问题等知识，理解题意，掌握相关知识与运算是关键． 25．【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】（1）①8； ②1 和7； （2）； （3）或或或． 【分析】（1）①利用两点之间的距离公式进行计算即可，计算距离时需注意符号，避免直接相减导致错误； ②设点表示的数为，则：，注意解绝对值方程时需分情况讨论，并验证解的合理性； （2）设点表示的数为，根据巧分点定义表示和，进一步列出即可； （3）设运动时间为秒，点和点分别为：，进一步根据列出方程求解即可． 【详解】解：（1）①已知点和点在数轴上分别表示的数为和，则线段的长度为：   , 故答案为：． ②点 是“的 3 阶巧分点”，即满足， 设点表示的数为，则： ， 分情况讨论：   1.当： 时，，解得， 2.当：时，，解得， 因此点表示的数为：1 和7． 故答案为：1 和7． （2）设点表示的数为，根据巧分点定义： 是的 2 阶巧分点，其表示的数为： ， 是的 4 阶巧分点，其表示的数为：， 所以， 继续化简得：， 分别在线段和上，当时，结果为：， 所以． （3）设运动时间为 秒，点和点分别为：， 当在间，在间时； 是的 1 阶巧分点（中点），其表示的数为：， 是的 3 阶巧分点，需满足，解得表示的数为：， 根据条件，其中，故：，   解得：或， 同理当在间，在外时； ，， 则， 解得：或， 综上，或或或． 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离来解决问题，涉及分类讨论，动点问题，线段的关系，难度较大． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$