第2章 实数的初步认识 讲义-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第2章 实数的初步认识 讲义-2025-2026学年八年级上册数学苏科版 知识梳理 一、实数的概念与分类 1.定义 实数包括有理数和无理数，与数轴上的点一一对应。 2.分类 有理数：能表示为分数形式（如整数、有限小数、无限循环小数）。 例：5，-3.2，0.333...（循环节为3）。 无理数：无限不循环小数，不能表示为分数。 例：√2，π，0.1010010001...（无规律）。 3.常见无理数 开方开不尽的数（如√3、√5，但√4=2是有理数）。 特定常数（如π，注意π的近似值3.14是有理数，但π本身是无理数）。 二、平方根与算术平方根 1.平方根 若x²=a（a≥0），则x是a的平方根，记作±√a。 性质： 正数有两个平方根，互为相反数（如9的平方根是±3）。 0的平方根是0。 负数没有平方根（实数范围内）。 2.算术平方根 正数a的正平方根，记作√a（如√16=4）。 规定：√0=0。 3.区别 平方根有正负（±√a），算术平方根非负（√a）。 三、立方根 1.定义 若x³=a，则x是a的立方根，记作³√a。 性质： 正数的立方根是正数（如³√8=2）。 负数的立方根是负数（如³√-27=-3）。 0的立方根是0。 2.与平方根对比 任何实数都有立方根，负数也有立方根。 四、实数与数轴 1.数轴表示 每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然。 无理数可通过几何作图表示（如√2用单位正方形的对角线）。 2.实数大小比较 正数＞0＞负数。 负数比较时，绝对值大的反而小（如-3＜-2）。 五、实数的运算 1.运算规则 与有理数相同（加、减、乘、除、乘方、开方）。 注意：无理数运算结果可能为有理数（如√2×√2=2）。 2.近似计算 保留位数：根据题目要求取近似值（如π≈3.14）。 六、易错点与注意事项 1.混淆平方根与算术平方根 如√16=4，但16的平方根是±4。 2.无理数的判断 带根号的数不一定是无理数（如√9=3是有理数）。 3.符号书写规范 算术平方根√a≥0，立方根³√a可正可负。 4.运算顺序 先乘方、开方，再乘除，最后加减。 同步练习 一、填空题 1．8.7963精确到0.01的近似数是　 　． 2．由四舍五入得到的近似数5.2×103精确到　 　位． 3．若一个正数的两个平方根是a和2a-1，则这个正数为　 　. 4．若与互为相反数，则　 　． 5．已知≈3.788，则≈　 　 ，≈　 　 6．给出下列关于 的判断：① 是无理数；② 是实数；③ 是2的算术平方根；④1＜ ＜2．其中正确的是　 　(请填序号). 7．平方根等于它本身的数是　 　，算术平方根等于它本身的数是　 　，立方根等于它本身的数是　 　. 8．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是　 　． 二、选择题 9．的绝对值是（　　） A．- B． C．- D． 10．估算的值是在（　　）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 11．如图，数轴上点P表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 12．下列说法： ①∵（-0.6）2=0.36，∴-0.6是0.36的平方根； ②∵0.82=0.64，∴0.64的平方根是0.8； ③∵（-）2=，∴＝−； ④∵（±5）2=25，∴±＝±5． 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．在−2，0，2，− 这组数中，最小的数是（　　） A．-2 B．0 C．2 D． 14．已知x、y是有理数，且y＝+ +4，则y－4x的立方根为（　　） A．2 B．-2 C．4 D．-4 15．下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③的平方根是±4；④-6是36的一个平方根；⑤﹣1的相反数是﹣﹣1，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 16．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（　　） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 三、解答题 17．在如图所示的数轴上近似地表示下列各数：，，，，并用“”连接． 18．将体积为100cm3和25cm3的正方体铁块，熔成一个大正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 19．已知2a-1的平方根是±3，a+3b-1的立方根是-2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根。 20． 已知实数x，y满足关系式．（x，y均大于0） （1）求x，y的值； （2）判断x和y的大小关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】8.80 【解析】【解答】解：8.7963≈8.80（精确到0.01）， 故答案为：8.80． 【分析】根据近似数和有效数字的定义及四舍五入的方法求解即可。 2．【答案】百 【解析】【解答】近似数5.2×103精确到百位． 故答案为：百． 【分析】根据近似数的含义和性质得到答案即可。 3．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得a+2a-1=0， 解得， ∴这个正数是， 故答案为： 【分析】先根据平方根相加为0即可得到a+2a-1=0，进而解方程得到a，再根据有理数的乘方即可求解。 4．【答案】 5．【答案】37.88；0.3788 【解析】【解答】解：∵≈3.788， ∴≈37.88，≈0.3788， 故答案为：37.88，0.3788． 【分析】当被开方数的小数点每向左或向右移动两位，其算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动一位，根据以上规律得出即可． 6．【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：关于“ ”的上述四个判断中：①“ 是无理数”是正确的；②“ 是实数”是正确的；③“ 是2的算术平方根”是正确的；④“1＜ ＜2”是正确的；即四种说法都是正确的，故正确的是：①②③④ 【分析】根据无理数和实数的定义，可对①②作出判断；根据算术平方根的意义，可对③作出判断；根据无理数的大小估算方法，可对④作出判断，从而可得出答案。 7．【答案】0；0或1；1或-1或0 【解析】【解答】解：∵零的平方根是零， ∴平方根等于它本身的数是0； ∵1的算术平方根是1，0的算术平方根是0， ∴算术平方根等于它本身的数是为0或1. ∵1的立方根是1，-1的立方根是-1,0的立方根是0， ∴立方根等于它本身的数是±1和0. 故答案为：1、0；2、0或1；3、1或-1或0. 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根也是它的算术平方根，0的平方根及算术平方根都是0，负数没有平方根，故平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是为0或1；任何数都只有一个立方根，故立方根等于它本身的数是±1和0. 8．【答案】 【解析】【解答】解：由勾股定理，得 OB= = ． B在原点的右侧时，B点表示的数为 ， B在原点的左侧是，B点表示的数为﹣ ， 故答案为： ． 【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的性质，可得B点坐标． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：的绝对值是． 故选B． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：C. 【分析】根据估算无理数大小的方法可得4<<5，然后根据不等式的性质进行解答. 11．【答案】C 12．【答案】C 【解析】【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】①说法正确； ②0.64的平方根是±0.8，原说法错误； ③=，说法错误； ④说法正确； 综上可得正确的有2个． 故选C． 【点评】本题考查了算术平方根及平方根的知识，注意一些基本定义及运算法则的掌握． 13．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ， ∴-2＜- ＜0＜2， ∴最小的数是-2. 故答案为：A. 【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<<2，进而根据不等式的性质得到-的范围，据此可得最小的数. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：∵y＝+ +4， ∴， 解得： ∴y＝++4＝4， ∴， ∴y－4x的立方根为. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，可列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入原等式求出y的值，进而代入待求式子算出结果. 15．【答案】C 【解析】【解答】解： ①所有实数都能用数轴上的点表示；正确，符合题意； ②带根号的数都是无理数；不正确，例如化简后是4，不符合题意； ③的平方根是±4；不正确，=4，故平方根是±2，不符合题意； ④-6是36的一个平方根；正确，符合题意； ⑤﹣1的相反数是﹣﹣1，不正确，相反数应该是﹣+1，不符合题意； 故其中正确的个数有3个． 故答案为：B. 【分析】根据实数与数轴的关系，无理数的定义，平方根的定义，相反数的定义逐一判断即可. 16．【答案】D 【解析】【解答】解：A、按键顺序为：先按“”键，再按数字“8”，最后按“=”键，计算结果是，故此选项正确，不符合题意； B、按键顺序为：先按“(”键，再按“（-）”键，接着按数字“8”，然后按“）”键，再按“yx”键，接着按数字“2”，最后按“=”键，计算结果是（-8）2=64，故此选项正确，不符合题意； C、用计算器求的值时，按键顺序是：先按“（-）”键，接着按数字“2”，然后按“”键，再按数字“3”，接着按数字“×”键，接着按数字“8”，最后按“=”键，计算结果是（-2.3）×8=-18.4，故此选项正确，不符合题意； D、用计算器求的值时，按键顺序是：先按“(”键，再按“（-）”键，接着按数字“8”，然后按“）”键，再按“yx”键，接着按数字“6”，最后按“=”键，计算结果是（-8）6=262144，故此选项错误，符合题意. 故答案为：D． 【分析】根据计算器上各个键的功能及计算器的使用方法，对各个选项逐一判断即可. 17．【答案】解：如图， 根据数轴上点的特点可得：． 【解析】【分析】本题考查了用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小，根据用数轴表示实数的方法，在数轴上表示出实数，根据数轴上右侧的数大于左侧的数，最后用“ ”连接起来，即可得到答案. 18．【答案】解：设这个正方体的棱长为acm， 由题意a3=100+25， 即a3=125，解得a=5． 故这个正方体的棱长是5cm 【解析】【分析】设这个正方体的棱长为acm，根据体积不变，列出方程求解即可． 19．【答案】解： 解得a=5， 所以a+3b-1=5+3b- 解得b=-4。 因为 所以c=6， 所以a+2b+c=5+2×(-4)+6=3， 所以a+2b+c的算术平方根是 。 【解析】【分析】根据已知条件求出a和b的值，然后求出c的值，最后计算 a+2b+c 的算术平方根. 20．【答案】（1）解：∵，（x，y均大于0） ∴，， ∴，； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零得x-4=0，y2-11=0，然后结合算术平方根的定义及解一元一次方程的步骤求解即可； （2）利用估算无理数大小的方法估算出y的大小，即可判断得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$