2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 题型一：斜率法证直线平行 1．直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l1∥l2，则斜率k1=k2； ②若斜率k1=k2，则l1∥l2； ③若倾斜角，则l1∥l2； ④若l1∥l2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 题型二：斜率法证直线垂直 1．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 2．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点 经过点； (2)经过点 经过点． 3．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 题型三：已知直线平行关系求参数值 1．已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 2．直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ． 3．若三点，，共线，则 . 题型四：已知直线垂直关系求参数值 1．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为 . 2．过与的直线与过点的直线垂直，则 . 3．小明研究一张坐标纸中四点的关系时，发现直线与的方向向量互相垂直，则 . 题型一：斜率法证三点共线 1．判断三点是否共线，并说明理由． 2已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； 题型二：斜率法判断平面图形形状 1．已知，，三点，试判断的形状. 2．已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 3．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 4．已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 1．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为 ． 20．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 3．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 4．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 题型一：斜率法证直线平行 1．直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l1∥l2，则斜率k1=k2； ②若斜率k1=k2，则l1∥l2； ③若倾斜角，则l1∥l2； ④若l1∥l2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①若l1∥l2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k1=k2，则l1∥l2，判断命题②正确；③若倾斜角，则l1∥l2，判断命题③正确；④若l1∥l2，则倾斜角，判断命题④正确即可得到答案. 【详解】解：直线l1与l2为两条不重合的直线： ①若l1∥l2，当斜率存在时，则斜率k1=k2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与轴，所以命题①错误； ②若斜率k1=k2，则l1∥l2，所以命题②正确； ③若倾斜角，则l1∥l2，所以命题③正确； ④若l1∥l2，则倾斜角，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C. 2．（多选）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 【答案】AD 【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论. 【详解】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合， 又，故，A选项正确； 对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误； 对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误； 对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确． 故选：AD 题型二：斜率法证直线垂直 1．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】利用韦达定理可得,即可判断两直线位置关系 【详解】由题意可设方程的两根为、，则， 所以直线与直线垂直, 故选：B 2．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点 经过点； (2)经过点 经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直； （2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直. 【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ，， ，∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°，则轴； 由题知直线的斜率存在，设为，，则轴， ∴． 3．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为 ，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 题型三：已知直线平行关系求参数值 1．已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 2．直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值． 【详解】∵直线l经过点，，且与直线平行， ∴，求得， 故答案为：． 3．若三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 题型四：已知直线垂直关系求参数值 1．已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为 . 【答案】0或5 【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 2．过与的直线与过点的直线垂直，则 . 【答案】 【分析】直接利用两条直线的斜率乘积为，求解即可． 【详解】过点与的直线的斜率为， 过点的直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得. 故答案为：． 3．小明研究一张坐标纸中四点的关系时，发现直线与的方向向量互相垂直，则 . 【答案】 【分析】由题意得到两直线斜率之积为，从而列式计算即可得解. 【详解】因为直线与的方向向量互相垂直，所以直线与的斜率之积为， 又， 所以，整理得. 故答案为：. 题型一：斜率法证三点共线 1．判断三点是否共线，并说明理由． 【答案】共线，理由见解析. 【分析】根据直线斜率公式进行求解即可. 【详解】这三点共线，理由如下： 由直线斜率公式可得：， 直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点， 所以这三点共线. 2已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； 【答案】三点在同一直线上； 【分析】计算可得，可得结论； 【详解】因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； 题型二：斜率法判断平面图形形状 1．已知，，三点，试判断的形状. 【答案】直角三角形. 【分析】分别计算出和边所在直线的斜率，利用斜率成绩为即可判断的形状. 【详解】如图所示，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 由，得，即， 所以是直角三角形. 2．已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用斜率公式求解即可； （2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 3．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 4．已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 1．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 2．已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为 ． 【答案】(0，) 【分析】设出点坐标，根据列方程，解方程求得点的坐标. 【详解】依题意设，由于，所以，即，解得，故. 【点睛】本小题主要考查两条直线相互垂直，考查两点求斜率的公式，考查点坐标的求法，属于基础题. 20．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 3．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 【答案】(1)m＝－或1 (2)m＝或－3 (3)m＝或－1 【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值； （2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得； （3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得． 【详解】（1）由kAB＝＝－1，解得m＝－或1. （2）由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3. （3）令＝＝－2，解得m＝或－1. 4．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$