两条直线的位置关系 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 授课题目：两条直线的位置关系 教务处 2024年11月 说 明 1.内容要求：教案资料丰富，观点新颖，体例独特，体现新课程改革的教育理念；达到教学设计的格式与理念要求，充分体现新课程内涵，切实贯彻课改基本理念，注重提高学生和核心素养；根据某一教学内容或专题设计出一个单位时间内（45分钟左右）的教学方案，包括课题、教学目标、时间分配、教学内容、教学方法、教学手段、教学步骤、组织形式、教学总结与反思等。 2.格式要求：见下页。 3.用A4纸正反双面打印，左侧两个订书机装订。 两条直线的位置关系 一、教学目标 1、能根据直线的方程判断两条直线的平行、相交、重合的位置关系，能用解方程组的办法求解两条直线的交点坐标。 2、理解通过求解方程组、斜率和截距、法向量等方式，将直线位置关系的几何问题转化为代数问题的过程，形成坐标法解决问题的思路和方法。 3、形成从特殊到一般的思想方法，提升探究意识和能力，发展数学运算、数学抽象、逻辑推理的数学素养。 二、教学内容 1、利用两条直线的斜截式方程和一般式方程来判断两条直线的平行、相交、重合的位置关系的方法。 2、利用求解方程组、斜率和截距、法向量等方式判断两条直线的平行、相交、重合及垂直的位置关系。 3、将直线位置关系的几何问题转化为代数问题的过程，形成坐标法解决问题的思路和方法。 4、从特殊到一般及数形结合的思想方法的渗透。 三、学情分析 《两条直线的位置关系》是高中数学解析几何学习的重要内容，它不仅是对初中平面几何中直线知识的深化和延伸，也为后续学习圆锥曲线等知识奠定了基础，使学生进一步了解用代数方法解决几何问题的思想。 四、教学方法 1、讲授法 2、提问法 3、练习法 五、教学过程 2.2.3两条直线的位置关系 1、 复习导入 回顾：平面内，直线与直线有哪几种位置关系？如何定义？ 位置关系 判断依据 相交 有唯一公共点 平行 没有公共点 重合 有无数个公共点 平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程表示. 【设计意图】复习回顾初中所学习的直线与直线的位置关系的定义并引导学生回忆初中阶段利用两条直线的公共点的个数进行定义的方法，此处设计学生提问，增强课程的互动性。 二、讲授新课 尝试与发现 已知直线，直线，判断与之间的关系. 与相交. 与平行. 与重合. 【设计意图】给出任意两条直线的斜截式方程，引导学生自行发现斜率和截距与两条直线的位置关系之间的联系。 例1 判断下列各对直线的位置关系. 【设计意图】给出两条直线的一般式方程，让学生将直线的一般式方程转化为斜截式方程，从而得到问题的解。在进行第一小问的计算时，学生往往不会出现问题，因为直线内没有参数且计算难度不大，然而在进行第二小问的计算时，学生往往遇见问题，因为需要对直线方程中的参数b进行分类考伦，考虑“为0”和不为零”两种情况，此处运算容易出现错误，但也恰恰有一这里计算的难度，才引出后面对用一般式方程来解决问题的方法的讨论。 尝试与发现 已知直线，直线，判断判断与之间的关系. 点在直线上点的坐标能满足直线的方程 消去未知数y并整理，可得 【设计意图】引导学生发现直线上的点与直线的位置关系与点的坐标和直线的方程之间的联系，发现只需将方程组联立，判断方程组解的个数即可判断两条直线的位置关系，因此将两条直线的一般式方程联立，消去其中一个未知数，求得方程组的解。板书讨论得到的结果。 【板书】 1、 两条直线的平行、相交及重合 1 相交 . 2 平行 ，. 3 重合 ，. 尝试与发现 已知直线，直线，判断判断与之间的关系. 【设计意图】上节课介绍直线的方程时，重点介绍过直线的法向量与直线方程之间的联系，因此此相互我们从法向量的角度，深入对本节课所学习的两条直线的位置关系进行讨论。 【设计意图】通过让学生观察两幅图片，目的在于让学生自主发现两条直线的位置关系与直线的法向量之间的联系，从而进一步得到下述结论。 尝试与发现 已知直线，直线，判断判断与之间的关系. (1)与相交（即只有一个交点）的充要条件是与不共线，即； (2)与平行或重合的充要条件是与共线，即. 直线，直线平行的充要条件是； 直线，直线重合的充要条件是. 【设计意图】此处得到的结论经过移项和化简发现与上述得到的利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系的结论一致。不同的是此处对两条法向量相同的两条直线的位置关系进行了进一步的解读，得到了更加简便易得的结论。 例2 判断下列直线的位置关系： 例3 已知，判断与之间的关系. 倾斜角和斜率 法向量 【设计意图】通过例2、例3两道例题让学生对本节课所学的内容进行巩固，同时引导学生发现例3中所给的两条直线的特殊的位置关系——垂直。并指出，应从倾斜角与斜率以及法向量两个角度进行理解。 例3 已知，判断与之间的关系. 设直线与的倾斜角分别为和，斜率分别为和. 【设计意图】从倾斜角正切值相乘为-1以及斜率相乘为-1的角度对判断两条直线是否垂直进行判定。 例3 已知，判断与之间的关系. 已知直线，直线，，分别是直线与的法向量. 在平面直角坐标系中，与直线垂直的直线的方程是. 【设计意图】从法向量垂直的条件角度对判断两条直线是否垂直进行判定，并针对平面直角坐标系中的直线给出快速得到与其垂直的直线的方程的二级结论，方便学生在习题中提效增速。 【板书】 1、两条直线的平行、相交及重合 相交 . 平行 ，. 重合 ，. 2、 两条直线的垂直 1 . 2 . 3 . 例4 分别求下面直线的方程： （1）过点且与直线垂直的直线； （2）过点且与直线垂直的直线. 【设计意图】设计两道例题使得学生对判断两条直线的位置关系的方法有更深的理解。 三、课程小结 1.平面内，两条支线共有几种位置关系？可以用哪些方法来判断？ 答：相交、平行、重合 斜截式方程、一般式方程、法向量 2.判断平面内两条直线是否垂直的方法有哪些？ 答：倾斜角和斜率、法向量、一般式方程 3.与直线垂直的直线的方程是？ 答： 【设计意图】对本节课所学知识进行归纳和整理，形成知识体系。 四、作业布置 六、教学总结与反思 在本节课的教学主要在2603及2613两个班级展开，从任务达成层面，两个班的孩子大部分都能够理解和掌握本节课所学的内容，部分学困生对内容理解不够踏实，但大部分学生可以很好的跟住课堂节奏，总体效果较好。 但仍有需要提升的空间，一是叫学生到黑板做习题时需要提前预估好需要的板面的大小，在学生板面分配不合理时及时尽到提醒义务；二是在学生活动的设计处应当加强与学生的互动，增强学生在课堂中的主体地位，明确教师在课堂中的主导地位；三是在课堂中应当尽量添加一些课程思政元素，让数学真正走进学生的生活。 3 学科网（北京）股份有限公司 $$