第1章 专题1 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套课件（北师大版2024）

八年级数学 上册·北师版 第一章 勾股定理 专题1　利用勾股定理解决折叠问题 B C 1 三角形中的折叠问题　　 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°.现将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是( ) A． eq \f(15,2) B． eq \f(25,4) C．4 D．5 1题图 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线折叠纸片，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长是__． 2题图 eq \f(13,6) 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M，N分别在BC，AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长． 3题图 解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 因为AB＝AC＝5，BC＝6， 所以BD＝CD＝3，所以由勾股定理，得AD＝4. 因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， 3题答图 所以AM＝CM，AN＝ eq \f(1,2)AC＝ eq \f(5,2)，MN⊥AC. 设AM＝CM＝x，则MD＝x－3. 在Rt△ADM中，由勾股定理，得AD2＋MD2＝AM2， 即42＋(x－3)2＝x2，解得x＝ eq \f(25,6). 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 MN2＝AM2－AN2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6))) eq \s\up12(2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(100,9)， 所以MN＝ eq \f(10,3). 长方形中的折叠问题　　 (辽宁沈阳期中)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE的长为( ) 4题图 A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm 如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝13，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为__． 5题图 如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，将长方形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为__cm. 6题图 eq \f(25,4) 如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝6，P是射线BC上一动点，l为长方形ABCD的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为________． 7题图 eq \f(5,3)或15 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处． (1)试说明：B′E＝BF； (2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 8题图 解：(1)由折叠的性质，得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE. 在长方形纸片ABCD中，AD∥BC， 所以∠B′EF＝∠BFE， 所以∠B′FE＝∠B′EF， 易得B′F＝B′E， 所以B′E＝BF. (2)a，b，c之间的关系是a2＋b2＝c2.理由如下： 由(1)知B′E＝BF＝c. 由折叠的性质，得∠A′＝∠A＝90°， A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b. 在△A′B′E中，∠A′＝90°， 所以A′E2＋A′B′2＝B′E2，所以a2＋b2＝c2. $$