第4章 数列（单元测试·基础卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第四章数列·基础通关 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B C A D B 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 AB CD ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．0 13．450 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）证明：令，即，整理得，解得．（4分） 令，即，整理得，解得．（8分） 所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减．（10分） （2）解：由（1）知最大．（13分） 16．（15分） （1）设等比数列的公比为q， 由题意得 ，解得或者（舍），所以， 所以；（5分） （2）， 所以，（7分） ， 两项作差可得 ，（14分） 所以（15分） 17.（15分） （1）当时，， 当时， 把代入上式，满足题意. 数列的通项公式.（7分） （2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负， 令，则数列前34为正，后面的项全为负， 设数列的前项和为，则当，， 当时， 数列的前项和为（15分） 18．（17分） （1）设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知： ，解得 所以（7分） （2）由（1）知：当 时，，当 时， 所以 （17分） 19．（17分） （1）设公差为， ， ， 联立解得：，，； 设公比为， 、、成等差数列， ． 故，．（7分） （2）令，则， 当为偶数时， ， ，① ，② ①－②得：， ， 当为奇数时，， 为偶数时， ， 为奇数时， ．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第四章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断. 【详解】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为. 故选：C 2．已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值. 【详解】由，得是等差数列，. 故选：C 3．在等比数列中，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．18 【答案】A 【分析】直接根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列，所以． 所以，即． 因为在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同， 所以同号， 故． 故选：A. 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解. 【详解】因为为等差数列， 所以， 所以， 又， 所以公差， 由得：， 故 故选：B 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造常数数列即可解得. 【详解】由题意，，因为， 所以. 故选：C. 6．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，根据题意可判断该数列根据当时取得最大值，即可得到不等关系式，将代入即可求解出公差d的取值范围. 【详解】由已知可得，即，解得， 故选：A． 7．在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ） A．2022 B．2024 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】利用数列的周期性，即可计算求解. 【详解】∵，，，，…， ∴数列是以3为周期的周期数列. 又，， ∴. 故选：D 8．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．4 B．7 C．16 D．31 【答案】B 【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案. 【详解】由题意，，，， 解下第4个圆环，则，即， 而，则， 故选：B. 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 【答案】AB 【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D. 【详解】当时，， 当时， ，符合， 故， 所以，， 所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确； ，B正确； 因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误； ， 易知当或时，有最大值，D错误. 故选：AB 10．已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前n项的积为，则当取得最大值时，（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】CD 【分析】利用等比数列的性质求出，判断数列的单调性，进而即得. 【详解】因为，由等比数列的性质可得， 所以，因为， 所以， 因为，即， 所以， ∴， 因为， 所以等比数列为递减数列， 所以当时，， ∴当或时，取得最大值. 故选：CD 11．对于数列，若存在实数M，使得对任意的，都有，则称数列为“有界数列”，下列说法正确的是（    ） A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“有界数列” B．若数列是等差数列，且数列是“有界数列”，则公差 C．若数列是等比数列，且公比q满足，则数列是“有界数列” D．若数列是等比数列，且数列是“有界数列”，则公比q满足 【答案】ABC 【分析】利用给定的定义和等差数列的通项公式，结合一次函数的性质分析即可判断A、B； 结合等比数列通项公式和推理即可判断C，举特例即可判断D. 【详解】A：若数列是公差为d的等差数列，则， 当时，则，即，所以存在符合题意的，故A正确； B：数列是“有界数列”，由知， 当时，关于的一次函数单调递减，没有最小值，所以不存在符合题意的， 当时，关于的一次函数单调递增，没有最大值，所以不存在符合题意的， 当时，，即，所以存在符合题意的.故，B正确； C：若数列是公比为()的等比数列，， 因为，则，所以， 则存在符合题意的实数，即数列是“有界数列”，故C正确； D：若等比数列是“有界数列”，当时，， 存在符合题意的，故数列是“有界数列”，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】0 【分析】首先根据题意得到，再根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由已知得，故. 故答案为：0 13．在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【答案】450 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故答案为：450 14．已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 【答案】 【分析】由递推公式得，进而利用累乘法得到答案. 【详解】因为，，所以. 当时，， 于是 ， 当时，也符合． 故. 故答案为：；. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）在数列中，． (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大 【分析】（1）令和，分别求解不等式可得证 （2）由（1）得出的数列的单调性可得答案. 【详解】（1）证明：令，即，整理得，解得． 令，即，整理得，解得． 所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减． （2）解：由（1）知最大． 16．（15分）已知数列是等比数列，公比，前项和为 ，若，. (1)求的通项公式； (2)若，试求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质转化成和的形式即可； （2）错位相减法求等差乘等比数列的前项和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意得 ，解得或者（舍），所以， 所以； （2）， 所以， ， 两项作差可得 ， 所以 17．（15分）已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式； （2）因为数列的首项为正且是一个递减数列， 令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 当时， 把代入上式，满足题意. 数列的通项公式. （2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负， 令，则数列前34为正，后面的项全为负， 设数列的前项和为，则当，， 当时， 数列的前项和为 18．（17分）记为等差数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1) (2)8960 【分析】（1）根据等差数列的基本量，列出方程即可求解，进而可得通项公式. （2）根据等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知： ，解得 所以 （2）由（1）知：当 时，，当 时， 所以 19．（17分）已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的表达式. 【答案】(1)；； (2)为偶数时，；为奇数时，． 【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式； (2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式． 【详解】（1）设公差为， ， ， 联立解得：，，； 设公比为， 、、成等差数列， ． 故，． （2）令，则， 当为偶数时， ， ，① ，② ①－②得：， ， 当为奇数时，， 为偶数时， ， 为奇数时， ． 学科网（北京）股份有限公司12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第四章数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 2．已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．在等比数列中，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．18 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ） A．2022 B．2024 C．1011 D．1012 8．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．4 B．7 C．16 D．31 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 10．已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前n项的积为，则当取得最大值时，（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．对于数列，若存在实数M，使得对任意的，都有，则称数列为“有界数列”，下列说法正确的是（    ） A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“有界数列” B．若数列是等差数列，且数列是“有界数列”，则公差 C．若数列是等比数列，且公比q满足，则数列是“有界数列” D．若数列是等比数列，且数列是“有界数列”，则公比q满足 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 . 13．在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 14． 已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）在数列中，． (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列的最大项． 16．（15分）已知数列是等比数列，公比，前项和为 ，若，. (1)求的通项公式； (2)若，试求数列的前项和. 17．（15分）已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（17分）记为等差数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 19．（17分）已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的表达式. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第四章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 2．已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．在等比数列中，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．18 4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ） A．2022 B．2024 C．1011 D．1012 8．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ） A．4 B．7 C．16 D．31 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 10．已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前n项的积为，则当取得最大值时，（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．对于数列，若存在实数M，使得对任意的，都有，则称数列为“有界数列”，下列说法正确的是（    ） A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“有界数列” B．若数列是等差数列，且数列是“有界数列”，则公差 C．若数列是等比数列，且公比q满足，则数列是“有界数列” D．若数列是等比数列，且数列是“有界数列”，则公比q满足 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 . 13．在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 14． 已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）在数列中，． (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列的最大项． 16．（15分）已知数列是等比数列，公比，前项和为 ，若，. (1)求的通项公式； (2)若，试求数列的前项和. 17．（15分）已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（17分）记为等差数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 19．（17分）已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的表达式. 学科网（北京）股份有限公司1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$