精品解析：山东省枣庄市山亭区翼云中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期数学学习习惯评价 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，请务必将第I卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每题3分，共30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意； B.是二次函数，故B不符合题意； C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意； D.不是x的反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】函数． 2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确． D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误； 故选：C． 3. 在中，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，根据余弦的概念可得，根据勾股定理可得与的关系，即可求出． 【详解】解：根据题意可得：， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了余弦和正切的概念，解直角三角形，画出图形，根据三角函数的值转化到直角三角形的边长之比，是解题的关键． 4. 枣庄站到济南站距约，则高铁由枣庄站行驶到济南站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．先根据实际意义写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围判断即可． 【详解】解：根据题意可知，时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：， 所以函数图象大致是B． 故选：B． 5. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 6. 已知点都在双曲线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．根据反比例函数的增减性，进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵双曲线中，， ∴双曲线位于第一、第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴点和位于第三象限，位于第一象限， ∴． 故选：C 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为4米，若两次日照的光线互相垂直，树的高度为（） A. 2m B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据射影定理，得： .故选A. 8. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（ ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键． 根据题意结合函数图象，类比反比例函数图像，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：①由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小， ∴空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故①正确； ②由图2可知，当时，的阻值小于，故②错误； ③由图3可知，时，燃气报警器为报警状态， ∴当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故③正确； ④由图2可知，时，，而大于时，燃气报警器报警，故④错误． 综上所述，不正确的是②④，共2个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每空3分，满分18分） 11. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________. 【答案】m<1 【解析】 【分析】 【详解】本题考查反比例函数性质 根据反比例函数的单调性 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小 因此由题意可知<1即m＜1，故填m＜1 12. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 过点B作BC⊥OA于点C． 由勾股定理，得AO=，BO=， ∵=AB×OE=AO×BC， ∴BC= =， ∴sin∠AOB= =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点的横坐标，再利用函数图象法即可得． 【详解】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为， 不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方， 则的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键． 15. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：的图象均在第一象限， ， 点，均在反比例函数（是非零常数，）的图象上， ， 矩形的顶点在反比例函数（是非零常数，）的图象上， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值． 16. 构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，．延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，锐角三角函数的计算方法，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，构造等腰直角三角形，等腰三角形，根据锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，在中，，，延长到点，使得， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共72分） 17. 在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． （1）该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） （2）若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】（1）①，② （2）， 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可． （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【小问1详解】 解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②； 故答案：①，②； 【小问2详解】 解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键； （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）先化简各数，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 19. 已知函数． （1）若是关于的正比例函数，求的值； （2）若是关于的反比例函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． 【小问2详解】 解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 20. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长； （2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴ ∴AB=10 ∴=； （2）过点F作FG⊥BD， ∵为边上的中线． ∴F是AD中点 ∵FG⊥BD， ∴ ∴FG是△ACD的中位线 ∴FG=3 CG= ∴在Rt△BFG中，=． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义． 21. 某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． （1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 【答案】（1）52 （2）塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键： （1）根据同一时刻，同一地点，不同物体的物高之比等于影长之比，进行求解即可； （2）设塔的高度为，解直角三角形，分别求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：52； 【小问2详解】 设塔的高度为， 在中，， 在中，， ∴， 解得：； 答：塔高度为． 22. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系，已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1）加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为 （2）当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． （1）加热时，设，将，代入得，求出的值即可；停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式； （2）在材料加热时，当时，，解得；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【小问1详解】 解：加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； 停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在材料加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 23. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad＝　 　； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，sad指的是顶角为的等腰三角形底边与腰之比，从而可以求得sad的值； （2）根据中，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可得答案； （3）根据Rt中，，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据新定义的含义解得即可． 【小问1详解】 解：顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴＝底边÷腰． 故答案为：1． 【小问2详解】 如图②所示： 作于点， 中， 即 【小问3详解】 ∵ 设则． ∴ 如图③所示，在上截取，作于点， ∵Rt中， ∴． 即． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积； （3）已知点为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）先求出得到，再根据计算即可得解； （3）分两种情况：过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 可求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，过点作的平行线交反比例函数于，则， ， 故直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 则 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点P坐标为或， 综上，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期数学学习习惯评价 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，请务必将第I卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每题3分，共30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 3. 中，，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 枣庄站到济南站距约，则高铁由枣庄站行驶到济南站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点都在双曲线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为4米，若两次日照的光线互相垂直，树的高度为（） A. 2m B. C. D. 8. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（ ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每空3分，满分18分） 11. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________. 12. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______． 15. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________． 16. 构建几何图形解决代数问题体现是数形结合思想．如图，在中，，．延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出______． 三、解答题（共72分） 17. 在一个大正方体角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． （1）该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） （2）若大正方体棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 18. 计算： （1） （2） 19. 已知函数． （1）若是关于的正比例函数，求的值； （2）若是关于的反比例函数，求的值． 20. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 21. 某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． （1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 22. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系，已知该材料初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 23. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad＝　 　； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）连接、，求的面积； （3）已知点为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$