10.2 直线与直线的位置关系（第3课时 两条异面直线所成的角）（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.2 直线与直线的位置关系 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 第3课时 两条异面直线所成的角 学 习 目 标 1 2 3 1. 理解异面直线所成角的概念 2. 掌握异面直线所成角的方法 3. 会求异面直线所成的角，体会空间问题平面化思想 知识回顾 空间内两直线位置关系 类型 公共点 共面性 实例 相交 1个 共面 十字路口的道路 平行 无 共面 梯子横杠 异面 无 不共面 如下图所示 距离 夹角 将两条异面直线转化为相交直线，然后观察它们所成的角！ 我们该如何确定两条异面直线的相对位置呢？生活中经常可以看到如图所示的道路指示牌．这些指示牌看上去形成了不同的角度，指明了不同的方向．我们把左边的实景图抽象为右边的示意图，依据异面直线判定定理可知，它们两两都是异面直线．现在的问题是：我们是否可以定义并确定这些异面直线之间的角度呢？ 新知探究 问题1 如图所示，应该如何刻画异面直线 a、 b的相对位置呢？ 问题1 如何将两条异面直线转化为相交直线，进而研究它们所成的角？ 问题2 两种平移方式得到的 a、 与 、 b所成夹角的大小相等吗？为什么？ 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 由等角定理的推论2可知，这两组相交直线所成的锐角（或直角）是相等的。 在平面内，把直线b平移，得到一条过直线a与平面交点P的直线，记为.直线a与就在点P处相交. P 新知探究 b a p 1.定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角． 两条异面直线所成的角 2.角的范围 （1）角度制： 0°＜θ≤90° （2）弧度制：θ∈（0，］． 特别地，如果两条异面直线a、b所成角是直角，就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b． 推论：如果a⊥b，b∥c， 那么a⊥c． 过空间一点，可以作几条直线与已知直线平行？垂直呢？ 例1 如图，在正方体ABCD-中， （１）求异面直线与DC所成的角的大小； （２）求异面直线与AC所成的角的大小； （３）求证：D⊥AB． 典例分析 方法技巧 求两条异面直线所成角时，一般通过平移将所求角置于某个三角形中，利用三角形的边角关系来求出这个角的大小． 解 (1)DC∥AB， ∠ 就是异面直线与DC所成的角或其补角． 正方形中，∠＝45°， 异面直线与DC所成的角为45°． 典例分析 (2)如图，连接． 由是平行四边形，知AC∥． 连接B．在△B 中， ＝＝B＝， △B 是一个等边三角形，从而∠B＝60°． AC∥， ∠B就是异面直线与AC 所成的角． 异面直线与AC 所成的角为60°． (3)证明：D∥，且⊥AB， D⊥AB． 典例分析 例2 .如图，在四面体 ABCD 中， AD= BC， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点，EF= ，求异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小． 通过这两道例题，我们可以发现，求两条异面直线所成角的大小时，最关键的是选择一个适当的点作为两条异面直线平移后的交点，根据等角定理的推论 2，就可以将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角了 【解】：取 AC 的中点 G ，连接 EG 、 FG ． 在△ ABC 中，E 、G 分别为 AB 、AC 的中点， 则 EG 为△ ABC 的中位线， EG∥ BC ， EG= BC=1． 在△ ACD 中，同理可得， FG ∥ AD ，FG =AD=1 ． ∠ EGF就是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角． 在△ EGF 中， EG =FG=1， EF= ，由余弦定理可知,cos∠EGF== - ，得∠EGF=120°． 由于∠EGF 为钝角，∠EGF 是异面直线 AD 与 BC 所成角的补角． 异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小为 60°． 方法技巧 何为四面体？ 给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，这样的平面有四个，这4个平面所围成的几何体称为四面体。 G 规律总结 本题可通过平移异面直线中的一条，使它们相交，进而找出异面直线所成的角。 题型探究 1．在如图所示的正方体ABCD-中，设P、Q 分别是棱B、的中点．请画出异面直线B与所成PQ的角． 【解】步骤一：连接相关线段.连接B、A。 步骤二：证明PQ∥B 在正方体ABCD-中，P、Q分别是棱B、的中点。 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 题型一 异面直线所成的角的定义 在△中，PQ是中位线，所以PQ∥B。 步骤三：找出异面直线与PQ所成的角 由于PQ∥B，所以∠(或其补角）就是异面直线与PQ所成的角。 综上，∠（或其补角）即为异面直线与PQ所成的角。。 题型探究 2．如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD 的中点．求直线EF和AB所成角的大小． 【解】如图，取AC的中点M,连接EM、FM. E是BC的中点， EM∥AB, ∠FEM就是异面直线EF与AB所成的角，且EM=AB. F是AD的中点，FM⊥EM. =DC,EM=AB,AB=CD,EM=FM, △FEM是等腰直角三角形, 异面直线EF与AB所成的角的大小为45° 题型二 求异面直线所成的角的大小 题型探究 3．如图，在四面体ABCD 中，AC＝8，BD＝6，M、N 分别为AB、CD 的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°．求MN的长． 【解】如图，取 BC 的中点 E ，连接 EM 、 EN ． E 是 BC 的中点 ME ∥ AC ，EN ∥ BD ∠ MEN就是异面直线 AC 与 BD 所成的角， ∠ MEN= 90° EM =AC=4,EN= BD=3 MN= =5  题型三 由异面直线所成的角求其他量 E 课堂小结 1.异面直线所成的角的定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角 2.异面直线所成的角的范围 3.异面直线所成的角的求解方法 （1）角度制： 0°＜θ≤90° （2）弧度制：θ∈（0，］． 通过平移的方法将两条异面直线转化为两条相交直线，利用相交直线的夹角来刻画两条异面直线所成角。将空间难题化为平面求解。 1.（基础层）教材P21复习题A组第5题 分层作业 2.（进阶层）教材P21复习题A组第6题 3.（拓展层）教材P22复习题B组第4题 感谢聆听! $$