22.4 图形的位似变换 讲义 ---2025-2026学年沪科版九年级上册数学

22.4 图形的位似变换 一、知识点 知识点1 位似图形的概念 概率：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都过同一点O,且OP'=k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比. 注意：判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 【例1】方框中的两个图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【例2】小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO∽△A′B′O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB中点与线段A′B′中点的连线不一定经过点O 【解答】解：A、蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，说法正确，不符合题意； B、∵AB∥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O，说法正确，不符合题意； C、∵△ABO∽△A′B′O， ∴，即， 解得：AB＝9， ∴蜡烛火焰AB长9cm，说法正确，不符合题意； D、线段AB中点与线段A′B′中点的连线一定经过点O，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 知识点2 位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 【例3】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是3：2，则AO：DO的值为（　　） A．3：5 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∵△ABC与△DEF的周长之比是3：2， ∴， ∵AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∴， 故选：B． 【例4】如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，且位似比为2：1，若AB＝4，则A'B'的长度为　 　 ． 【解答】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，且位似比为2：1， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴， ∵AB＝4， ∴2， ∴A′B′＝2， 【例5】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画△OA1B1，使△OA1B1与△OAB位似，A，B的对应点分别为A1，B1，且△OA1B1与△OAB的位似比为2：1，则下列说法不正确的是（　　） A．点B1的坐标为（4，0） B．A1B1∥AB C．△OA1B1与△OAB的周长之比为2：1 D．△OA1B1与△OAB的面积之比为 【解答】解：画出△OA1B1如图， 由图可得，点B1的坐标为（4，0）， 故A选项正确，不符合题意； ∵△OA1B1与△OAB位似，位似比为2：1， ∴A1B1∥AB，△OA1B1与△OAB的周长之比为2：1，△OA1B1与△OAB的面积之比为4：1， 故B，C选项正确，不符合题意，D选项不正确，符合题意． 故选：D． 知识点3 位似多边形的画法 画位似图形的一般步骤： （1） 确定位似中心； （2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； （3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4） 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 注意：（1）利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． （2）位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 【例6】如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　） A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4 【解答】解：如图：交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为P1， 故选：A． 【例7】如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 【解答】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点E， ∴点E为位似中心， 故选：C． 【例8】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画出图形，如图所示： 故选：D． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 （1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． （2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． （3） 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），则位似中心的坐标是（　　） A．（0，1.5） B．（0，2） C． D．（0，2.5） 【解答】解：根据题意得P为位似中心， 由题意得，CD＝4，GF＝2，DG＝3，OG＝1， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴，即 ， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2）． 故选：B． 【例10】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【解答】解：∵B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大， ∴B′（﹣4×2，2×2）或B′[﹣4×（﹣2），2×（﹣2）]， 即：B′（﹣8，4）或B′（8，﹣4）； 故选：D． 【例11】如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合． （1）m＝　 ，n＝　 　 ． （2）点F的坐标是 　 　 ． 【解答】解：（1）根据题意得，解得， ∵0+n＝2， ∴n＝2； 故答案为：，2； （2）设点F的坐标为（x，y），则F′（x，y）， 根据题意得xx，解得x＝1， y+2＝y，解得y＝4， 所以点F的坐标是（1，4）． 故答案为：（1，4）． 二、课时练习 1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不是位似图形． 故选：C． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣2，0），D（3，0），则△ABC与△DEF的周长之比是（　　） A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．2：3 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的周长之比＝OA：OD， ∵A（﹣2，0），D（3，0）， ∴OA＝2，OD＝3， ∴△ABC与△DEF的周长之比＝2：3． 故选：D． 3.如图，AC与BD相交于点O，△AOB是△COD关于点O的位似图形，△COD的面积是△AOB面积的4倍，若AO＝2，则OC的长为（　　） A． B．2 C．4 D．8 【解答】解：由题意可得：△AOB∽COD， ∵S△COD＝4S△AOB， 设△AOB与△COD的相似比为k， ∴，则， 解得． 在△AOB与△COD中，AO与CO是对应边， ∴． ∵AO＝2， ∴OC＝2×OA＝4 故选：C． 4.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO～△A'B'O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线不一定经过点O 【解答】解：由题意得：OB⊥AB，OB′⊥A′B′， ∴∠ABO＝∠A′B′O＝90°， ∵∠AOB＝∠A′OB′， ∴△ABO～△A'B'O，故B选项正确； ∴，蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，故B选项正确； ∴， 解得：AB＝9， ∴蜡烛火焰AB长是9cm，故C选项正确； 线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线一定经过点O，故D不正确， 故选：D． 5.如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【解答】解：∵四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4， ∴ ∵AB＝AE+BE， ∴， ∴4AE＝AE+BE ∴3AE＝BE ∴AE：BE＝1：3， 故选：B． 6.一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　） A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2） 【解答】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点A（6，8），点B（3，4）， ∴相似比为， ∴点C（10，4）的对应点D的坐标是（10，4），即D（5，2）． 故选：C． 7.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【解答】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′， ∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：（4，2），即（﹣2，1）， 若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：[（﹣4），2]，即（2，﹣1）， 综上所述：点A的对应点A′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选：D． 8.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，▱OABC，点A在x轴正半轴上，点B在直线上，当点C的“点积值”为20，点B的“点积值”为50时，点A的坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（6，0） D．（8，0） 【解答】解：∵点B在直线上， ∴设， ∵点B的“点积值”为50， ∴，解得：x＝±10， ∴B（10，5）或B（﹣10，﹣5）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC， ∴设C（c，5）或C（c，﹣5）， ∵点C的“点积值”为20， ∴5c＝20或﹣5c＝20，解得：c＝±4， ∴BC＝OA＝6， ∵点A在x轴正半轴上， ∴A（6，0）． 故选：C． 9.如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，且点B′，C′，O在同一直线上，若OC＝4，OC′＝3，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．AB∥A′B′ C． D． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点B′，C′，O在同一直线上，若 ∴△ABC∽△A′B′C′，，所以C选项不符合题意； ∴∠BAC＝∠B′A′C′，所以A选项不符合题意； （）2，所以D选项符合题意； ∴AB∥A′B′，所以B选项不符合题意． 故选：D． 10.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB'A'C'，过点A'的反比例函数表达式为y，则四边形OBAC和四边形OB'A'C'的位似比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【解答】解：∵点A在反比例函数上，过点A'的反比例函数表达式为y， ∴S矩形ACOB＝4，S矩形A′C′OB′＝9， ∵以O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′， ∴四边形OBAC和四边形OB'A'C'的位似比为：， 故选：A． 11.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是　 　 ． 【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DF∥BC，ED∥AC，EF∥AB， ∴△ADF∽△ABC，则△ADF与△ABC是位似图形． 同理可得：△EFD与△ADF也是位似图形． 故答案为：△ABC或△EFD． 12.已知五边形ABCDE的边长分别为2，3，4，5，6，五边形A′B′C′D′E′和五边形ABCDE位似．若五边形A′B′C′D′E′的最短边长为6，则其周长为　 　 ． 【解答】解：由题意得，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为6：2＝3：1， ∴五边形A′B′C′D′E′的边长分别为6，9，12，15，18， ∴五边形A′B′C′D′E′的周长为6+9+12+15+18＝60． 故答案为：60． 13.如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　 　 ． 【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点， △AOB与△COD的相似比是3， ∴点C的坐标为（3，6），即（1，2）， 当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2） 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 14.如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3． （1）△ABP与△CDP的位似比为 　　 ； （2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 　 ． 【解答】解：（1）∵点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3， ∴BP＝2，PD＝4， ∴， ∴△ABP与△CDP的位似比为． 故答案为：． （2）根据题意，作出△CDP如图所示， 过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N， 由（1）可知，△ABP与△CDP的位似比为， ∴， ∵点A的纵坐标为a， ∴AN＝a， ∴CM＝2a， ∵点C在第四象限， ∴点C的纵坐标为﹣2a． 故答案为：﹣2a． 15.如图，点A（3，4）在反比例函数L：的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（n＞1）． （1）k＝　 　 ； （2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为　 　 ． 【解答】解：（1）∵点A（3，4）在反比例函数的图象上， ∴， ∴k＝12， 故答案为：12； （2）根据题意得B1的坐标为（3n，n）， 由线段A1B1与L总有交点知， 解得n＝2或n＝﹣2（舍）， ∴n的最大值为2， 故答案为：2． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1． （2）在线段AB上确定一点P，使，请画出点P并直接写出点P的坐标 　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，取格点M，N，使AM：BN＝2：3，且AM∥BN，连接MN交AB于点P， 此时△APM∽△BPN， ∴， 则点P即为所求． 设点P的坐标为（x，y）， ∵， ∴， ∴， ∴x，y， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 17.在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（﹣1，3），O（0，0），B（﹣3，1）．以坐标原点O为位似中心，将△AOB放大，记所得三角形为△A'OB'．若点A的对应点A'的纵坐标为﹣6，求点B'的横坐标． 【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，将△AOB放大，所得三角形为△A′O′B′，A（﹣1，3），点A的对应点A′的纵坐标为﹣6， ∴△AOB与△A′O′B′相似比为：3：6＝1：2， ∵B（﹣3，1）， ∴B′的横坐标为﹣3×（﹣2）＝6． 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（8，0），C（11，4）（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△A1BC1和△A2BC2，使得画出的图形与△ABC的相似比为1：2． （2）在（1）的作图下，连接A1C2和A2C1： ①直接写出四边形A1C2A2C1的形状． ②求四边形A1C2A2C1的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1BC1和△A2BC2即为所求． （2）①由题意得，A1C1∥AC∥A2C2，A1C1＝A2C2， ∴四边形A1C2A2C1为平行四边形． 由勾股定理得，AB10，BC5，AC， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 即C1C2⊥A1A2， ∴四边形A1C2A2C1为菱形． ②由题意得，5，， ∴A1A2＝10，C1C2＝5． ∵四边形A1C2A2C1为菱形， ∴四边形A1C2A2C1的面积为A1A2•C1C225． 19.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． （1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长； （2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴， ∴DF＝2AC＝4； （2）∵∠O＝22°，∠ABC＝38°， ∴∠OCB＝180°﹣22°﹣38°＝120°． ∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴， ∴△OBC∽△OEF， ∴∠OFE＝∠OCB＝120°． 20.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求． （2）如图，△OA2B2即为所求． （3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形． 连接B2B1，OO1，A2A1并延长，相交于点P， 则△O1A1B1和△OA2B2是以点P为位似中心的位似图形， ∴位似中心的坐标为（﹣4，2）． 21.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y）的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD、CD，求四点边形ABDC的面积． 【解答】解：（1）∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3， ∴， ∵A点坐标是（2，4）， ∴OB＝2，AB＝4， ∴， ∴A'B'＝12，OB'＝6， ∴A'（6，12）， ∵点C是OA′的中点， ∴C（3，6）， ∴k＝3×6＝18即反比例函数为：， ∵A'B'⊥x轴， ∴xD＝xA'＝6， ∴即D（6，3）； （2）如图， ∵A（2，4），B（2，0），C（3，6），D（6，3），A'（6，12），B'（6，0）， ∴S△OAB2×4＝4， S△DBB′（6﹣2）×3＝6， △A′OB′的面积6×12＝36， △A′CD的面积（12﹣3）×（6﹣3）， ∴S四边形ABDC． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.4 图形的位似变换 一、知识点 知识点1 位似图形的概念 概率：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都过同一点O,且OP'=k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比. 注意：判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 【例1】方框中的两个图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【例2】小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO∽△A′B′O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB中点与线段A′B′中点的连线不一定经过点O 知识点2 位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 【例3】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是3：2，则AO：DO的值为（　　） A．3：5 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【例4】如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，且位似比为2：1，若AB＝4，则A'B'的长度为　 　 ． 【例5】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画△OA1B1，使△OA1B1与△OAB位似，A，B的对应点分别为A1，B1，且△OA1B1与△OAB的位似比为2：1，则下列说法不正确的是（　　） A．点B1的坐标为（4，0） B．A1B1∥AB C．△OA1B1与△OAB的周长之比为2：1 D．△OA1B1与△OAB的面积之比为 知识点3 位似多边形的画法 画位似图形的一般步骤： （1） 确定位似中心； （2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； （3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4） 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 注意：（1）利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． （2）位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 【例6】如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　） A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4 【例7】如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 【例8】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 （1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． （2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． （3） 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），则位似中心的坐标是（　　） A．（0，1.5） B．（0，2） C． D．（0，2.5） 【例10】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【例11】如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合． （1）m＝　 ，n＝　 　 ． （2）点F的坐标是 　 　 ． 二、课时练习 1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣2，0），D（3，0），则△ABC与△DEF的周长之比是（　　） A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．2：3 3.如图，AC与BD相交于点O，△AOB是△COD关于点O的位似图形，△COD的面积是△AOB面积的4倍，若AO＝2，则OC的长为（　　） A． B．2 C．4 D．8 4.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若OB＝30cm，OB′＝20cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形 B．△ABO～△A'B'O C．蜡烛火焰AB长9cm D．线段AB的中点与线段A′B′的中点的连线不一定经过点O 5.如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 6.一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　） A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2） 7.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 8.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，▱OABC，点A在x轴正半轴上，点B在直线上，当点C的“点积值”为20，点B的“点积值”为50时，点A的坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（6，0） D．（8，0） 9.如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，且点B′，C′，O在同一直线上，若OC＝4，OC′＝3，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．AB∥A′B′ C． D． 10.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB'A'C'，过点A'的反比例函数表达式为y，则四边形OBAC和四边形OB'A'C'的位似比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 11.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是　 　 ． 12.已知五边形ABCDE的边长分别为2，3，4，5，6，五边形A′B′C′D′E′和五边形ABCDE位似．若五边形A′B′C′D′E′的最短边长为6，则其周长为　 　 ． 13.如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　 　 ． 14.如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3． （1）△ABP与△CDP的位似比为 　　 ； （2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 　 ． 15.如图，点A（3，4）在反比例函数L：的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（n＞1）． （1）k＝　 　 ； （2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为　 　 ． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1． （2）在线段AB上确定一点P，使，请画出点P并直接写出点P的坐标 　 ． 17.在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（﹣1，3），O（0，0），B（﹣3，1）．以坐标原点O为位似中心，将△AOB放大，记所得三角形为△A'OB'．若点A的对应点A'的纵坐标为﹣6，求点B'的横坐标． 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（8，0），C（11，4）（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△A1BC1和△A2BC2，使得画出的图形与△ABC的相似比为1：2． （2）在（1）的作图下，连接A1C2和A2C1： ①直接写出四边形A1C2A2C1的形状． ②求四边形A1C2A2C1的面积． 19.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． （1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长； （2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数． 20.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由． 21.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y）的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD、CD，求四点边形ABDC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$