22.4.1图形的位似变换 课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

第22章 相似形 22.4.1 图形的位似变换（1） 复习回顾 问题1：前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 平移 轴对称 问题2：平移和轴对称两种变换，它们的共同特点是什么？ 把一个图形变换成一个与原图形的形状和大小都相同的图形（全等变换），只是位置不同. 新课导入 在日常生活中，有时需要把一个图形放大或缩小.例如：在放映机上放映幻灯片时，把幻灯片上的图象放大到屏幕上；在照相馆里，摄影师通过照相机把实物的图象缩小在底片上.我们把形状相同的两个图形称为相似形，我们能否利用相似把一个图形放大或者缩小呢？ 【例1】 把四边形ABCD放大为原来的2倍（即新图形与原图形的相似比为2）. 1.可以通过测量边长、角度计算后再画图； 2.也可以先一个方格网，通过网格辅助画图； 这样做有什么不好的地方呢？ 能不能找到更为简便的方法呢？ 我们在《物理》光学知识中学过了小孔成像，从中你能得到什么启示呢？ A B A’ B’ O 问题：如果物体到小孔的距离不变， 如何改变像A’B’的大小？ 作法： 1.在四边形ABCD所在平面内任取一点O； 2.分别以点A、B、C、D为端点，作射线AO、BO、CO、DO； 3.分别在射线AO、BO、CO、DO上取点A’、B’、C’、D’； 使得 4.顺次连接A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所求作的图形. 问题： 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系呢？ 作法： 1.在四边形ABCD所在平面内任取一点O； 2.分别以点A、B、C、D为端点，作射线AO、BO、CO、DO； 3.分别在射线AO、BO、CO、DO上取点A’、B’、C’、D’； 使得 4.顺次连接A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所求作的图形. 【思考】： 在上面两个图中，所得四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，你能说明道理吗？ 【找特征】： 图形的位置上 数量上 两个图形的对应点所在的直线都经过同一点, 每组对应点到这个交点的距离的比值都相等. 【概念形成】： 同时满足下面两个条件的两个图形叫做位似图形： 1.每组对应点连线所在直线都经过同一点，这个点叫做位似中心； 2.每一对对应点与位似中心距离之比都相等，比值叫做位似比，也等于这两个图形的相似比.如： 【知识辨析】： 1.相似变换是特殊的几何变换，位似变换是特殊的相似变换； 2.位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，位似图形一定是相似形，但相似形不一定是位似图形； 3.目前所学的几何变换有：平移、轴对称、相似三种，平移、轴对称变换前、后图形是全等的，相似变换前后得到的图形不一定全等. 探究新知 已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，请判断下列图中每组两个图形是不是位似图形。若是，请指出位似中心. 是. 位似中心为点O 是. 位似中心为点O 是. 位似中心为点O ① ② 是. 位似中心为点O 是. 位似中心为点O ③ ④ ⑤ 【想一想】： 在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？ 【结论】： 位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个图形的同侧，也可能在异侧，图形的内部，边上，或者顶点上（可能在任何位置） 练一练 1.如图，正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形吗？ 练一练 2.如图，∆ABC与∆ADE是位似图形吗？ 是 不是 练一练 3.判断下列各对图形，哪些是位似图形，哪些不是. （1）在平行四边形ABCD中，∆ABO与∆CDO； 是 练一练 3.判断下列各对图形，哪些是位似图形，哪些不是. （2）相似五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'； 是 不是 O 图形的位似，也可以运用于把图形缩小，如用“小平板仪”测绘小范围区域时，就是这样做的. 例2 如图，四边形ABCD是一个待测绘的小区.在区内选一个测绘点O，作出四边形ABCD的缩小四边形A1B1C1D1. ①将图板上测绘纸的点O1对准测绘点O，再由O1对准点A、B、C、D在纸上作射线O1A、O1B、O1C、O1D. ②分别测得点O到点A、B、C、D的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出A1、B1、C1、D1 ③依次连接A1D1、D1C1、C1B1、B1A1， 即得该小区缩小的平面图. 练一练 作一个五边形和已知五边形位似，要求： （1）位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为 ; （2）位似中心取在已知五边形的一边上，相似比为3. （1）位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为 ; 同侧位似变换 异侧位似变换 规律总结： 1. 对应点在位似中心同侧的位似图形叫做同侧位似图形； 对应点在位似中心异侧的位似图形叫做异侧位似图形. 2.作一个图形关于某已知点的位似图形时，位似图形往往可以作两个， 即同侧位似图形和异侧位似图形. （2）位似中心取在已知五边形的一边上，相似比为3. 总结归纳： 作位似图形的步骤： 第一步：确定位似中心，（位似中心的选取可以是任意的，可以在图形 外部、也可以在图形内部、还可以在图形的边上或在某一顶点处）； 第二步：作射线，以位似中心为端点，向各顶点作射线或者以各顶点为端点，向位似中心作射线（即作同侧位似变换或者异侧位似变换）； 第三步：确定对应点，在射线上截取顶点的对应点，使之满足缩放比例； 第四步：连线，顺次连接所截取的对应点，即得所求作图形. 简记为：①选点 ②作射线 ③定对应点 ④连线 练一练 如图，已知∆ABC∽∆DEF，它们对应顶点的连线AD，BE，CF相交于点O，这两个三角形是不是位似三角形？为什么？ 拓展练习 如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A、B、A'、B'、O共线，点O为位似中心. （1）AC与A'C'平行吗？请说明理由； （2）若AB=2A'B'，OC=5，求CC'的长. 拓展练习 已知，正三角形ABC的边长为 (1)如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； (2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的边长. P' N' E' F' 解：设N'E'=x 课堂小结 1.两个图形同时满足下列两个条件： 第一，每组对应点所在的直线都经过同一点； 第二，每组对应点到对应点连线交点的距离的比值相等. 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，此时相似比也称为位似比. 2.位似图形的特征： 对应点连线都经过位似中心； 对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 课堂小结 3.位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上（可以在任意位置）. 4.对应点在位似中心同侧的位似图形叫做同侧位似图形； 对应点在位似中心异侧的位似图形叫做异侧位似图形. 思考题 如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(-1，-1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． $$