期中数学试卷2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册期中数学试卷 （满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点C在线段BD上，若△ABC≌△CDE，DE＝2，AB＝6，则BD的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第2题 第3题 第5题 第6题 3．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5：4，AB＝10，AC＝8，∠BAC＝50°，则∠BAD的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．已知点P（a﹣1，3）和点M（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2019 5．如图，∠CAB＝60°，AC＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB运动，设运动的时间为t s．若∠ACP＞60°，则t的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB，AC交于点D，E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC，AC交于点F，G．若△BEG的周长为16，且EG＝1，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2 8．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第8题 第14题 第15题 9．小红同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若x+2y＝﹣8，则式子2﹣xy（　　） 小红的思路 设x＝m+2，y＝m﹣2， 则xy＝（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4， ∵m2≥0， ∴m2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． A．有最小值﹣8 B．有最大值﹣8 C．有最小值﹣6 D．有最大值﹣6 10．设a＝2022﹣x，b＝2024﹣x，c＝2023﹣x，若a2+b2＝2024，则c2＝（　　） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：a2﹣4b2＝　 　 ． 12．如果等腰三角形的顶角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形面积为 　 　 ． 13．已知x+y＝3，xy＝2，则﹣x2y﹣xy2＝　 　 ． 14．如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是 　 　 ． 15．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点．若∠CED＝55°，则∠ABE＝ 　 度． 16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为10，BC＝7，△OBC的面积是7，则△ABC的面积是 　 　 ． 17．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝　 　 ． 18．△ABC中，∠BAC＝30°，AD为△ABC的角平分线，若点D到边AB的距离为5，则的值为 　 　 ． 第16题 第17题 第18题 三．解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分12分） 计算：（1）（﹣3y）（4x2y﹣2xy）； （2）（a+2）（a+3）+2a6÷a4； 因式分解：（3）4x2﹣4x； （4）． 20． （本小题满分10分） （1）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣2b）（4a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2． （2）若x+m与x2﹣x+n的乘积中不含x的一次项和二次项，求m+n的值． 21．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称； （2）求△A′B′C′的面积； （3）在y轴上作一点P，使得PA+PC最短； 22．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：CF＝BE； （2）若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE． 23．（本小题满分10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若∠B＝2∠F，BE＝2，CF＝16，求BC的长． 24．（本小题满分12分）（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； （2）如图2，∠B＝60°，∠DAN＝30°，N分别为AB上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，求证：AB＝2BN+BM； （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C的过程中，∠EBF的度数是否发生变化？如果不变，求出∠EBF的度数；如果改变，请说明理由． 25．（本小题满分13分）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：　 　 ； （2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 26．（本小题满分13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC＝BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ． （1）求∠ABC的度数； （2）当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ＝CD； （3）连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 2025-2026 学年人教版八年级数学上册期中数学试卷 （满分为 150 分，考试时间为 120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，点 C在线段 BD上，若△ABC≌△CDE，DE＝2，AB＝6，则 BD的长是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 第 2 题 第 3 题 第 5 题 第 6 题 3．如图，点 D是△ABC的边 BC上一点，连接 AD，△ABD与△ACD的面积比是 5：4，AB＝10，AC＝8， ∠BAC＝50°，则∠BAD的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．已知点 P（a﹣1，3）和点 M（2，b﹣1）关于 x轴对称，则（a+b）2019的值是（ ） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2019 5．如图，∠CAB＝60°，AC＝6cm，动点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度沿射线 AB运动，设运动的时间 为 t s．若∠ACP＞60°，则 t的值可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线 DE，分别与 AB，AC交于点 D，E，BC边的垂直平分线 FG， 分别与 BC，AC交于点 F，G．若△BEG的周长为 16，且 EG＝1，则 AC的长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，从边长为 a+1 的正方形纸片中剪去一个边长为 a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开， 再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2 第 2页（共 6页） 8．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接 AD．以下结论： ①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其 中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 8 题 第 14 题 第 15 题 9．小红同学在解决问题“已知 x﹣y＝4，求 xy的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路 探究，可得到结论：若 x+2y＝﹣8，则式子 2﹣xy（ ） 小红的思路 设 x＝m+2，y＝m﹣2， 则 xy＝（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4， ∵m2≥0， ∴m2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． A．有最小值﹣8 B．有最大值﹣8 C．有最小值﹣6 D．有最大值﹣6 10．设 a＝2022﹣x，b＝2024﹣x，c＝2023﹣x，若 a2+b2＝2024，则 c2＝（ ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 二、填空题（本大题共 8 小题，11～12 每小题 3 分，13～18 每小题 4 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把 最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：a2﹣4b2＝ ． 12．如果等腰三角形的顶角为 30°，腰长为 6cm，那么这个三角形面积为 ． 13．已知 x+y＝3，xy＝2，则﹣x2y﹣xy2＝ ． 14．如图，在等腰三角形 ABC中，∠A＝40°，分别以点 A、B为圆心，大于 1 2 ��长为半径画弧，两弧分 别相交于点 M和点 N，作直线 MN与 AC交于点 D，连接 BD，则∠DBC的度数是 ． 第 3页（共 6页） 15．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点．若∠CED＝55°，则∠ABE＝ 度． 16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点 O，过点 O作 EF∥BC交 AB于点 E， 交 AC于点 F，△AEF的周长为 10，BC＝7，△OBC的面积是 7，则△ABC的面积是 ． 17．如图，AE是∠CAM的角平分线，点 B在射线 AM上，DE是线段 BC的中垂线交 AE于 E，EF⊥AM．若 ∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ ． 18．△ABC 中，∠BAC＝30°，AD 为△ABC 的角平分线，若点 D 到边 AB 的距离为 5，则 ��⋅�� ��+�� 的值 为 ． 第 16 题 第 17 题 第 18 题 三．解答题（本大题共 8 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 19．（本小题满分 12 分） 计算：（1）（﹣3y）（4x2y﹣2xy）； （2）（a+2）（a+3）+2a6÷a4； 因式分解：（3）4x2﹣4x； （4） 1 4 �2 − 2�� + 4�2． 20．（本小题满分 10 分） （1）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣2b）（4a﹣b），其中 a＝﹣1，b＝2． （2）若 x+m与 x2﹣x+n的乘积中不含 x的一次项和二次项，求 m+n的值． 第 4页（共 6页） 21．（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A（﹣4，﹣1），B（﹣ 5，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于 y轴对称； （2）求△A′B′C′的面积； （3）在 y轴上作一点 P，使得 PA+PC最短； 22．（本小题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是 AC上一点，AE⊥BD于 E， CF⊥BD于 F． （1）求证：CF＝BE； （2）若 BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE． 23．（本小题满分 10 分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是边 AB上一点，过点 D作 DE⊥BC，垂足为 E， 交 CA的延长线于点 F． （1）求证：AD＝AF； （2）若∠B＝2∠F，BE＝2，CF＝16，求 BC的长． 第 5页（共 6页） 24．（本小题满分 12 分）（1）如图 1，已知△ABC和△DCE，点 B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD ＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； （2）如图 2，∠B＝60°，∠DAN＝30°，N分别为 AB上的点，且 ND＝NM，∠DNM＝60°，求证： AB＝2BN+BM； （3）如图 3，△ABC是等边三角形，点 D、F分别为 AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接 DF，以 DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接 BE，当点 D从点 A运动到点 C的过程中，∠EBF的度数是否 发生变化？如果不变，求出∠EBF的度数；如果改变，请说明理由． 25．（本小题满分 13 分）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为 a的正 方形，B型卡片是边长为 b的正方形，C型卡片是长和宽分别为 a，b的长方形． （1）选取 1张 A型卡片，2张 C型卡片，1张 B型卡片，在纸上按照图 2的方式拼成一个边长为（a+b） 的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式： ； （2）请用这 3种卡片拼出一个面积为 a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图 3的虚线框中画出示意 图，并在示意图上按照图 2的方式标注好长方形的长与宽； （3）选取 1张 A型卡片，4张 C型卡片按图 4的方式不重叠地放在长方形 DEFG框架内，图中两阴影 部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知 GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影 部分（长方形）的面积分别表示为 S1，S2．若 S＝S2﹣S1，当 a与 b满足什么关系，S为定值，且定值 S 为多少？（用含 b的代数式表示 S）． 第 6页（共 6页） 26．（本小题满分 13 分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交 AC于点 D，且 BC＝BD，点 P 是边 AC上一动点，连接 BP，将△PBC沿 BP翻折得△PBQ． （1）求∠ABC的度数； （2）当点 P与点 D重合时，请仅用圆规在图 2中确定点 Q的位置（保留作图痕迹），并证明 AQ＝CD； （3）连接 AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C D B A D C D 一．选择题（共10小题） 1．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 2．如图，点C在线段BD上，若△ABC≌△CDE，DE＝2，AB＝6，则BD的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴BC＝DE＝2，CD＝AB＝6， ∴BD＝BC+CD＝8． 故选：C． 3．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5：4，AB＝10，AC＝8，∠BAC＝50°，则∠BAD的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【解答】解：设D到AB和AC的距离分别为h1和h2， ∵S△ABD：S△ACD＝BD：DC＝5：4． ∴10×h1：h2＝5：4， ∴h1＝h2， ∵点D到AB和AC的距离相等， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， 故选：B． 4．已知点P（a﹣1，3）和点M（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2019 【解答】解：∵点P1（a﹣1，3）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣3， 解得：a＝3，b＝﹣2， 则（a+b）2019＝1． 故选：C． 5．如图，∠CAB＝60°，AC＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB运动，设运动的时间为t s．若∠ACP＞60°，则t的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝6cm， ∵∠CAB＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴当点P在射线DB上时， ∠ACP＞60°， 此时2t＞6， 解得：t＞3， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB，AC交于点D，E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC，AC交于点F，G．若△BEG的周长为16，且EG＝1，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EB＝EA， ∵FG是BC边的垂直平分线， ∴GB＝GC， ∵△BEG的周长为16， ∴GB+GE+EB＝16， ∴AE+GE+GC＝16， ∴AC+GE+GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝16﹣2＝14， 故选：B． 7．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　） A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2 【解答】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为（a+1）+（a﹣1）＝2a，宽为（a+1）﹣（a﹣1）＝2，因此面积为2a×2＝4a， 故选：A． 8．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过D作DM⊥AB于M，DP⊥AC于P，DN⊥BC于N， ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF， ∴DM＝DN，DP＝DN， ∴DM＝DP， ∴AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∵AD∥BC，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 即∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ③∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠ACD， 又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB， ∴2∠ADB+2∠ACD＝180°， ∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确； ④∵BD平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴△ABD是等腰三角形， ∵CD平分∠ACF，AD∥BC， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴△ACD是等腰三角形． 故④正确， 故选：D． 9．小红同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若x+2y＝﹣8，则式子2﹣xy（　　） 小红的思路 设x＝m+2，y＝m﹣2， 则xy＝（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4， ∵m2≥0， ∴m2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． A．有最小值﹣8 B．有最大值﹣8 C．有最小值﹣6 D．有最大值﹣6 【解答】解：由题知， 设x＝m﹣4，y， 则xy＝（m﹣4）（）， 因为m2≥0， 所以， 即xy≤8， 所以2﹣xy≥﹣6， 所以2﹣xy有最小值为﹣6． 故选：C． 10．设a＝2022﹣x，b＝2024﹣x，c＝2023﹣x，若a2+b2＝2024，则c2＝（　　） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【解答】解：∵a＝2022﹣x，b＝2024﹣x，c＝2023﹣x， ∴a＝c﹣1，b＝c+1， ∴a2+b2＝（c﹣1）2+（c+1）2＝2c2+2， ∴2c2+2＝2024， 解得：c2＝1011， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．因式分解：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　 ． 【解答】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：（a+2b）（a﹣2b）． 12．如果等腰三角形的顶角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形面积为 　9cm2　 ． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC＝6cm，∠A＝30°， ∴BDAB＝3（cm）， ∴△ABC的面积AC•BD6×3＝9（cm2）， 故答案为：9cm2． 13．已知x+y＝3，xy＝2，则﹣x2y﹣xy2＝　﹣6　 ． 【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴原式＝﹣xy（x+y）＝﹣2×3＝﹣6， 故答案为：﹣6． 14．如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是 　30°　 ． 【解答】解：由作图可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∵△ABC为等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30°． 15．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点．若∠CED＝55°，则∠ABE＝ 　25　 度． 【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠CED＝55°， ∴∠ECB＝35°＝∠EBC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝25°． 故答案为：25． 16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为10，BC＝7，△OBC的面积是7，则△ABC的面积是 　17　 ． 【解答】解：∵过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，OD⊥AC于D，连接OA， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∵BC＝7，△OBC的面积是7， ∴ON＝2， ∴ON＝OD＝OM＝2， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝10， ∵AB+BC+AC＝10+7＝17， ∴△ABC的面积＝S△AOB+S△BOC+S△AOC2×17＝17． 故答案为：17． 17．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝　39°　 ． 【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O， ∵DE是线段BC的中垂线， ∴∠EDC＝90°，CE＝BE， ∴∠ECB＝∠CBE， ∵∠CBE＝25°， ∴∠ECB＝25°， ∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°， ∵ER⊥AC，ED⊥BC， ∴∠QRC＝∠QDE＝90°， ∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°， ∵∠CQR＝∠EQD， ∴∠ACB＝∠QED， ∵∠ACB＝26°， ∴∠QED＝26°， ∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM， ∴ER＝EF， 在Rt△ERC和Rt△EFB中， ， ∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL）， ∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°， ∵∠EFB＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°， ∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°， ∵∠ARE＝∠AFE＝90°， ∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， ∵AE平分∠CAM， ∴∠CAECAM＝25°， ∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°， 故答案为：39°． 18．△ABC中，∠BAC＝30°，AD为△ABC的角平分线，若点D到边AB的距离为5，则的值为 　10　 ． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作CG⊥AB于点G， ∵AD为△ABC的角平分线，点D到边AB的距离为5， ∴DE＝DF＝5， ∵∠BAC＝30°， ∴CGAC， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， ∴AB•CGAB•×5AC×5， ∴AB•AC＝5（AB+AC）， ∴10． 故答案为：10． 三．解答题（共8小题） 19．计算： （1）（﹣3y）（4x2y﹣2xy）； （2）（a+2）（a+3）+2a6÷a4； 因式分解： （3）4x2﹣4x； （4）． 【解答】解：（1）原式＝（﹣3y）•（4x2y）﹣（﹣3y）•2xy ＝﹣12x2y2+6xy2； （2）（a+2）（a+3）+2a6÷a4 ＝a2+3a+2a+6+2a2 ＝3a2+5a+6； （3）4x2﹣4x＝4x（x﹣1）； （4） （a2﹣8ab+16b2） ． 20．（1）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣2b）（4a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2． （2）若x+m与x2﹣x+n的乘积中不含x的一次项和二次项，求m+n的值． 【解答】解：（1）原式＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣ab﹣8ab+2b2） ＝4a2+4ab+b2﹣4a2+ab+8ab﹣2b2 ＝13ab﹣b2， 当a＝﹣1，b＝2时，原式＝13×（﹣1）×2﹣22＝﹣30； （2）（x+m）（x2﹣x+n） ＝x3﹣x2+nx+mx2﹣mx+mn ＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x+mn， 由题意得：m﹣1＝0，n﹣m＝0， 解得：m＝1，n＝1， 则m+n＝2． 21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称； （2）求△A′B′C′的面积； （3）在y轴上作一点P，使得PA+PC最短； 【解答】解：（1）如图所示；△A'B'C'即为所求； （2）△A′B′C′的面积＝4×34×12×33×1； （3）连接CA′交y轴于P，点P即为所求． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：CF＝BE； （2）若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，CF⊥BD，AE⊥BD， ∴∠ABE+∠EBC＝90°＝∠EBC+∠BCF， ∴∠ABE＝∠BCF， 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝CB， ∴△ABE≌△BCF， ∴CF＝BE． （2）由（1）△ABE≌△BCF得BF＝AE，∠ABE＝∠BCF， 又∵BD＝BF+FD＝2AE， ∴BF＝DF， ∴又CF⊥BD于F， ∴CB＝CD， ∴CF平分∠ACB， ∵AE⊥BE，CF⊥BE， ∴AE∥CF， ∴∠EAD＝∠ACF， ∵∠ABE＝∠BCF＝∠ACF， ∴∠EAD＝∠ABE． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若∠B＝2∠F，BE＝2，CF＝16，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠FEC＝∠DEB＝90°， ∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝∠F， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠F， ∴AF＝AD； （2）解：∵∠B＝2∠F，∠B＝∠C， ∴∠C＝2∠F， ∵∠C+∠F＝90°， ∴∠F＝30°， ∵∠FEC＝90°，CF＝16， ∴CECF＝8， ∵BE＝2， ∴BC＝BE+CE＝8+2＝10． 24．（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； （2）如图2，∠B＝60°，∠DAN＝30°，N分别为AB上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，求证：AB＝2BN+BM； （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C的过程中，∠EBF的度数是否发生变化？如果不变，求出∠EBF的度数；如果改变，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS）， ∴BC＝DE； （2）证明：在AB上截取AF＝DF，连接DF，如图2， ∵∠DAN＝30°， ∴∠DAN＝∠ADF＝30°， ∴∠DFN＝60°＝∠B， ∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°， ∴∠AND＝∠BMN， 在△FDN和△BNM中， ， ∴△FDN≌△BNM（AAS）， ∴FD＝BN，FN＝BM， ∴AF＝BN， ∴AB＝2BN+BM； （3）解：如图3，在BC上截取BM＝CF，连接EM， ∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC， ∴CD＝FM， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°， ∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°， ∴∠CDF＝∠MFE， ∴△DFC≌△FEM（SAS）， ∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF， ∵BM＝CF， ∴BM＝EM， ∴∠EBF＝30°． 25．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ； （2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为：（a+b）2， 方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）如图所示： ； （3）设DG＝x， ∵， ∴S＝S2﹣S1 ＝2bx﹣2ab﹣（ax﹣a2﹣2ab） ＝2bx﹣2ab﹣ax+a2+2ab ＝（2b﹣a）x+a2， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC＝BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ． （1）求∠ABC的度数； （2）当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ＝CD； （3）连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACB， ∵AD＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝∠DBC， 设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x， ∴x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠ABC＝2×36°＝72°； （2）如图，点Q即为所求； 连接DQ， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BC＝BQ，∠CBO＝∠DBQ＝36°，CD＝DQ， ∠BDC＝∠BDQ＝72°， ∴∠ADQ＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠A＝∠ADQ， ∴AQ＝DQ， ∴AQ＝CD； （3）当AQ＝DQ，如图2，点P与点D重合， ∴∠CBP＝36°； 当AD＝DQ时，如图3， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BQ＝BC，∠CBP＝∠PBQ， ∵BD＝BD＝AD， ∴DQ＝BQ＝BD， ∴∠DBQ＝60°， ∵∠CBD＝36°， ∴∠CBQ＝96°， ∴∠CBP； 如图4，当AQ＝AD时， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BQ＝BC，∠CBP＝∠PBQ， ∵BD＝BD＝AD， ∴AQ＝AD＝BQ＝BD， ∵DQ＝DQ， ∴△ADQ≌△BDQ（SSS）， ∴∠ADQ＝∠BDQ（180°﹣72°）＝54°， ∴∠BQD＝∠BDQ＝∠ADQ＝54°， ∴∠PBC＝54°， 当AQ＝DQ时，点A与P重合， ∴∠CBP＝72°， 综上所述，∠CBP的度数为54°或36°或48°或72°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/31 11:13:27；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 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