第二十三章 数据分析（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十三章 数据分析 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 知识点四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 知识点五、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 知识点六、选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 知识点七、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点八、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点九、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 一、平均数 1.平均数计算出错 错误：平均数计算时出现遗漏 注意：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 例．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 2.加权平均数不会计算 错误：加权平均数不知道该如何计算 注意：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 例．老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，根据总评成绩平时成绩考试成绩即可求解，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：总评成绩为：， 故答案为：． 二、中位数和众数 1.中位数决策 错误：遇到中位数决策问题不会 注意：掌握中位数的概念，学会运用中位数的概念进行决策 例．已知一组数据，，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了众数和中位数. 先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数． 【详解】解：∵数据3，3，4，x，5，5，6的众数为3， ∴3出现的次数是3次， ∴， 数据重新排列是：，，，，，， ∴中位数是4． 故答案为：4． 2.众数 错误：众数的理解错误 注意：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 例．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为 ． 成绩(分) 次数(人) 【答案】 【分析】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定、之值． 由于全班共有人，则，结合众数为分，中位数为分，分情况讨论即可确定、之值，从而求出之值． 【详解】解：全班共有人， ， 又众数为分， ，， ， 当时，，中位数是第、两个数的平均数，都为分，则中位数为分，符合题意； 当时，，中位数是第、两个数的平均数，则中位数为分，不符合题意； 同理当，，，，，时，中位数都不等于分，不符合题意． ，． ． 故答案为． 三、方差 1.方差 错误：不会求方差 注意：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 例．某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式． 根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得， 则方差为． 故答案为：． 2.运用方差做决策 错误：不会利用方差进行做决策 注意：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 例．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 乙组 7 7 2 (1)在以上成绩统计表中，___________，___________； (2)__________组队员在初赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两组学生成绩的平均数一样，推荐哪组队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)6，7． (2)乙． (3)小瑜的说法错误，理由如下：两个组的平均数相同，但乙组的方差比甲组小，则乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛． 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据方差的意义即可得出答案； （3）根据平均数与中位数、众数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲组重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10， ∴中间两个数的平均数， 根据中位数定义可知：； ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数； 故答案为：6，7； （2）解：∵乙组的方差比甲组小， ∴乙组队员在初赛中发挥的更稳定， 故答案为：乙； （3）解：小瑜的说法错误，理由如下：两个组的平均数相同，但乙组的方差比甲组小，则乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：，小程的式子为：则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．根据方差的定义和计算公式计算即可． 【详解】解：小方的式子中缺少的项，错误； ， ， 小程的式子为：， 小程的式子正确； 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8 【答案】A 【分析】本题考查条形统计图，平均数等知识，解题的关键是熟练掌握从统计图获取相关信息． 【详解】解：， ∴则这10名学生读书册数的平均数是7． 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）现有一组数据：3，5，5，5，6，8，10．若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差． 根据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．原众数是5，有三个，其他数均只有一个，加入一个整数此，众数不会发生变化，故此选项符合题意； B．加入一个整数，平均数可能发生变化，故此选项不符合题意； C．加入一个整数，中位数可能发生变化，故此选项不符合题意； D．加入一个整数，方差可能发生变化，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，中途将1号、5号队员换人，换人后队员的身高分别为与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可． 【详解】解：换人前平均身高为：， 换人后平均身高为：， 换人前的方差为： ， 换人前的方差为： ， ∵，， ∴平均数不变，方差变大，故B正确． 故选：B． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）某中学对学生的数学素养进行评价，随机抽取了其中20位学生的成绩（满分100分），整理成如图所示的扇形统计图，C级的成绩如下：70，70，72，73，74，75，75，78，79．现在再随机抽取一位学生，成绩为75分，关于这21人的成绩，嘉嘉和淇淇的说法如下，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：成绩的众数不变，一定在C级； 淇淇：成绩的中位数变小，一定在C级． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 【答案】B 【分析】题目主要考查中位数和众数的判断，熟练掌握中位数和众数的求解方法是解题关键． 根据题意分别求出各个级的人数，然后根据中位数和众数的求解方法判断即可． 【详解】解：A级人数的成绩有：人， B级人数的成绩有：人， C级人数的成绩有：人， D级人数的成绩有：人， ∵A、B级学生的成绩不知道， ∴无法确定众数； 故嘉嘉说法错误； ∵20位学生的成绩， ∴中位数为第10、11位成绩的平均数， 从小到大将数据排序， 第10位成绩为79，第11位成绩在B级，且大于79， ∵再随机抽取一位学生，成绩为75分， ∴中位数为79，比原来的中位数小，且在C级， 故淇淇的说法正确， 故选：B． 6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表： 尺码 平均每天销售量/件 如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 【答案】 【分析】本题考查了众数，由统计表中的数据可知这组数据的众数是，即码的夹克销量最大，所以下一周应进尺码为的夹克最多． 【详解】解：由统计表可知，码的夹克销量最大，平均每天销售， 这组数据的众数是， 下一周应进尺码为的夹克最多． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河北承德·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2， ∴这组数据的和为， 故答案为：16． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为：． 10．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）为了解晋州市文苑社区20~60岁居民最常用的支付方式，嘉嘉和淇淇对该社区相应年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答问题： （1）在参与调查的居民中．处于41-60岁且最常用微信支付的人数为 人， （2）若该社区中20~60岁的居民为12800人，则其中20-40岁的居民中最常用现金支付方式的人数约为 人． 【答案】 80 320 【分析】（1）先求出20~60岁居民最常用微信支付的人数，再减去20~40岁常用微信支付的人数即可； （2）先求出调查中20~40岁常用现金支付的人数所占百分数，用样本估计总体即可得出. 【详解】解：（1）由题，本次调查的总人数为：（人）， 则20~60岁居民最常用微信支付的人数为：（人）， 所以41-60岁且最常用微信支付的人数为（人）； （2）由题调查中20-40岁的居民中最常用现金的人数所占百分数为：， 则该社区中20-40岁的居民中最常用现金的人数为（人）； 故答案为：80人；320人. 【点睛】本题考查利用统计图分析数据，熟练掌握如何用样本估计总体是本题解题关键. 11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）小聪同学在计算一组数据1、3、4、5、x的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的x为 ． 【答案】7 【分析】先求出这组数据的平均数，进而利用平均数计算公式即可计算x 【详解】解：，如果他的计算是正确的， ， ， 解得x=7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了平均数及方差，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）某商场家电部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的年销售额目标，商场家电部统计了15名营业员每人去年的销售额单位：万元，数据如表： 年销售额/万元 14 15 18 19 20 25 30 34 35 人数 5 1 2 1 1 1 1 1 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)年销售额在___________万元的人数最多． (2)计算平均年销售额结果保留两位小数 (3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为年销售额目标定为多少合适？并说明理由． 【答案】(1)14 (2)万元 (3)18万元，理由见解析 【分析】（1）根据众数的定义解答即可． （2）根据加权平均数的定义解答即可． （3）根据中位数做决策解答即可． 本题考查了众数，平均数，中位数的计算，熟练掌握公式，正确理解统计量的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：年销售额在14万元的人数最多， 故答案为：14； （2）解：年平均销售额为： （万元）． （3）解：这组数据的中位数为18万元，有8人能达到此目标， 故年销售额目标定为18万元较为合适． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，还能激发学生的自主学习兴趣，培养信息检索和分析能力，为未来的学习和成长奠定坚实基础．某学校开展了“”使用技巧培训活动，为了解学生的使用技巧及水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表：根据以上信息解决下列问题： 使用技巧测试成绩频数分布表 使用技巧测试成绩扇形统计图 组别 分数段 频数 A 5 B m C D 20    C组学生的成绩：86，81，88，82，87，81，88，88，89，89 (1)本次调查属于 调查，样本容量为 ； (2)表格中的为 ； (3)一同学整理数据后，想用扇形图表示数据，请计算组对应的圆心角度数为 ． (4)请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 【答案】(1)抽样，50 (2)15 (3) (4)1080人 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，扇形统计图，熟练掌握各统计量的定义是解题的关键． （1）根据教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，结合全面调查和抽样调查的定义即可获得答案；根据A组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数； （2）先根据C组学生的成绩得出C组学生的频数为10，再根据样本容量可得m的值； （3）用乘以组所占比例即可； （4）根据样本估计总体求解即可． 【详解】（1）解：因为教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试， 所以本次调查属于抽样调查； 样本容量为：， 故答案为：抽样，50； （2）解：由C组学生的成绩可知C组学生的频数为10， ∴， 故答案为：15； （3）解：组对应的圆心角度数为， 故答案为：； （4）解：（人）． 答：估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数为1080人． 14．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）2025年4月17日，国家航天局举行2025中国航天日新闻发布会，神舟二十号、二十一号载人飞船任务将成为今年中国航天工程重点任务之一．某中学为了解本校学生对航天科技的关注程度，在八、九年级各抽取50名学生开展航天知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 188 九年级竞赛成绩 80 156 (1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； (2)请根据图表中的信息，回答下列问题： ①表中__________，__________． ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 【答案】(1)用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好，理由见解析 (2)①，；②应该给九年级颁奖，理由见解析 【分析】本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解； （2）①根据众数、中位数的定义，进行计算即可求解；②分别从众数和方差两方面分析即可求解． 【详解】（1）由题意得： 八年级成绩的平均数是：（分）， 九年级成绩的平均数是：（分）， 故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好； （2）①九年级竞赛成绩中分出现的次数最多，故众数； 八年级竞赛成绩的中位数为：，则 故答案为：，； ②如果从众数角度看，八年级的众数为分，九年级的众数为分，所以应该给九年级颁奖； 如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖． 综上所述，应该给九年级颁奖． 15．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）人工智能是模拟人类智能的计算机系统，某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：42，57，68，71，83，83，85，89，91，99； 八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，84，87． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 76.8 83 300 八 76.8 84 260 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； (3)若七年级有1200人参与测试，八年级有1000人参与测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 【答案】(1)83，，20 (2)八年级掌握人工智能知识比较好，理由见解析 (3)估计七、八两个年级得分在组的共有440人 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形扇形统计图和组得分可得求出m和b； （2）根据平均数，众数和中位数的意义； （3）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可． 【详解】（1）解： 83出现的次数最多，故众数． 八年级C组人数∶， 八年级D组人数∶， 八年级B组人数：4，故八年级A组人数∶， 即． 八年级成绩排在第5和第6位的是84和83，故中位数 故答案为∶； （2）解：八年级掌握人工智能知识比较好， 理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好； 注意：答案不唯一，回答合理即可 （3）解：（人）， 估计七、八两个年级得分在组的共有440人． 16．（24-25八年级下·河北承德·期末）某中学在八年级2000名学生中开展了“中国二十四节气”知识竞赛，在所获得的成绩x（分）中随机抽取了一部分进行收集、整理，并绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．已知成绩在这一组的分数为80，80，83，83，83，85，85，87，87，88，88，89． 成绩x/分 频数 频率 1 9 a 12 b 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的人数为________，表中________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩为89分及以上为优秀，估计本次竞赛中八年级有多少名同学的成绩是优秀． 【答案】(1)50；18； (2)见解析 (3)估计本次测试八年级有440名同学的成绩是优秀 【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，样本估计总体，能从统计图中获取有用消息是解题的关键． （1）用的频数除以频率即可得到本次抽样调查的样本容量；用样本容量乘以，即可求出a的值，用12除以样本容量，再化成百分数即可求出b的值． （2）关键频数分布表补全频数分布直方图即可． （3）将89分及以上的人数求出即可． 【详解】（1）解：（人）， ， ， 则本次抽取的人数为50人，表中，， 故答案为：，，． （2）解：补全的频数分布直方图如图所示： （3）解：（人）， 答：估计本次测试八年级有440名同学的成绩是优秀． 17．（2025·河北·中考真题）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品数据     类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 (1)求调整前产品的年产量； (2)直接写出，的值； (3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 【答案】(1)万件 (2)， (3)甲种方案总成本较低 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键； （1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量； （2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解； （3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解． 【详解】（1）万件， 产品的年产量为：万件， ∴调整前产品的年产量为：万件 （2）∵方案甲的平均数与调整前的相同， ∴ 解得：， ∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为 调整后为， ∴ （3）解：方案甲的总成本为：（万元） 方案乙的总成本为：（万元） ∴甲种方案总成本较低 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 数据分析 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的 ，简称 ，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的 ，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做 . 2. 的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的 . （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 知识点四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数 ，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是 ，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的 . 1.一组数据的中位数 出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 知识点五、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 . 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 知识点六、选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 知识点七、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做 ； 2.极差计算公式：极差＝ . 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差 ，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点八、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的 ，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据 的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用 （标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点九、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 一、平均数 1.平均数计算出错 错误：平均数计算时出现遗漏 注意：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 例．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为 ． 2.加权平均数不会计算 错误：加权平均数不知道该如何计算 注意：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 例．老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为 分． 二、中位数和众数 1.中位数决策 错误：遇到中位数决策问题不会 注意：掌握中位数的概念，学会运用中位数的概念进行决策 例．已知一组数据，，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ． 2.众数 错误：众数的理解错误 注意：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 例．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为 ． 成绩(分) 次数(人) 三、方差 1.方差 错误：不会求方差 注意：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 例．某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是 ． 2.运用方差做决策 错误：不会利用方差进行做决策 注意：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 例．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 乙组 7 7 2 (1)在以上成绩统计表中，___________，___________； (2)__________组队员在初赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两组学生成绩的平均数一样，推荐哪组队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：，小程的式子为：则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）现有一组数据：3，5，5，5，6，8，10．若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，中途将1号、5号队员换人，换人后队员的身高分别为与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 5．（2025·河北沧州·模拟预测）某中学对学生的数学素养进行评价，随机抽取了其中20位学生的成绩（满分100分），整理成如图所示的扇形统计图，C级的成绩如下：70，70，72，73，74，75，75，78，79．现在再随机抽取一位学生，成绩为75分，关于这21人的成绩，嘉嘉和淇淇的说法如下，下列判断正确的是（    ） 嘉嘉：成绩的众数不变，一定在C级； 淇淇：成绩的中位数变小，一定在C级． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表： 尺码 平均每天销售量/件 如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 7．（24-25八年级下·河北承德·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于 ． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 10．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）为了解晋州市文苑社区20~60岁居民最常用的支付方式，嘉嘉和淇淇对该社区相应年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答问题： （1）在参与调查的居民中．处于41-60岁且最常用微信支付的人数为 人， （2）若该社区中20~60岁的居民为12800人，则其中20-40岁的居民中最常用现金支付方式的人数约为 人． 11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）小聪同学在计算一组数据1、3、4、5、x的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的x为 ． 12．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）某商场家电部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的年销售额目标，商场家电部统计了15名营业员每人去年的销售额单位：万元，数据如表： 年销售额/万元 14 15 18 19 20 25 30 34 35 人数 5 1 2 1 1 1 1 1 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)年销售额在___________万元的人数最多． (2)计算平均年销售额结果保留两位小数 (3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为年销售额目标定为多少合适？并说明理由． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，还能激发学生的自主学习兴趣，培养信息检索和分析能力，为未来的学习和成长奠定坚实基础．某学校开展了“”使用技巧培训活动，为了解学生的使用技巧及水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表：根据以上信息解决下列问题： 使用技巧测试成绩频数分布表 使用技巧测试成绩扇形统计图 组别 分数段 频数 A 5 B m C D 20    C组学生的成绩：86，81，88，82，87，81，88，88，89，89 (1)本次调查属于 调查，样本容量为 ； (2)表格中的为 ； (3)一同学整理数据后，想用扇形图表示数据，请计算组对应的圆心角度数为 ． (4)请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 14．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）2025年4月17日，国家航天局举行2025中国航天日新闻发布会，神舟二十号、二十一号载人飞船任务将成为今年中国航天工程重点任务之一．某中学为了解本校学生对航天科技的关注程度，在八、九年级各抽取50名学生开展航天知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 188 九年级竞赛成绩 80 156 (1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； (2)请根据图表中的信息，回答下列问题： ①表中__________，__________． ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 15．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）人工智能是模拟人类智能的计算机系统，某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：42，57，68，71，83，83，85，89，91，99； 八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，84，87． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 76.8 83 300 八 76.8 84 260 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； (3)若七年级有1200人参与测试，八年级有1000人参与测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 16．（24-25八年级下·河北承德·期末）某中学在八年级2000名学生中开展了“中国二十四节气”知识竞赛，在所获得的成绩x（分）中随机抽取了一部分进行收集、整理，并绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．已知成绩在这一组的分数为80，80，83，83，83，85，85，87，87，88，88，89． 成绩x/分 频数 频率 1 9 a 12 b 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的人数为________，表中________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩为89分及以上为优秀，估计本次竞赛中八年级有多少名同学的成绩是优秀． 17．（2025·河北·中考真题）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品数据     类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 (1)求调整前产品的年产量； (2)直接写出，的值； (3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$