精品解析：福建省泉州市第九中学、侨光中学、侨声中学2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

侨声中学、泉州九中、侨光中学2024秋季高三年三校联考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部定义求解. 【详解】由可得， 所以,的故虚部为. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合M，应用集合的交、并运算判断各项正误即可. 【详解】由，而， 所以，. 故选：D 3. 已知奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】， 是奇函数，， ，，． 故选:A． 4. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式计算得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 在上的投影向量为， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 而. 故选：C 6. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种， 故不同的分配方案为：， 故选A. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得. 【详解】依题意得，当时，， 当时，，则， 可得，即，所以， 当时，解得， 故至少需要过滤8h才能达到排放标准． 故选：C. 8. 等比数列的前项积为，并且满足，现给出下列结论：①②；③是中的最大值；④使成立的最大自然数是2019，期中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得公比的范围，结合数列的单调性，对四个选项进行逐一判断即可. 【详解】因为，故可得，因为，故可得， 因为，若，则和均大于1，与已知矛盾，故， 因此，，数列是个递减数列. 对①，因为数列是个减数列，且，故，故①错误； 对②，，因为，故，故②正确； 对③，，因为，数列是减数列，且， 故中最大值为，故③错误； 对④，，，故成立的最大自然数是2018，故④错误. 综上所述，只有1个正确. 故选：A. 【点睛】本题综合考查等比数列的下标和性质，以及数列的单调性，属中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数关于直线对称 D. 函数的所有非负零点组成的递增数列是首项为，公差为的等差数列 【答案】CD 【解析】 【分析】根据图象平移写出解析式，再由正弦型函数性质判断区间单调性、对称性判断A、B、C，整体法求零点，结合等差数列的通项公式判断D即可. 【详解】由题意，其最大值为1，A错； 当，则，显然在区间内不单调，B错； ，即是一条对称轴，C对； 令，则所有非负零点为且， 所以，结合等差数列的通项公式，易知是首项为，公差为的等差数列，D对. 故选：CD 10. 已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算判断D． 【详解】由题意可得四面体A－BCD为正四面体，如图. A：因为平面ABC＝A，平面ABC，且，平面，由异面直线的定义可知，AF，CE为异面直线，故A错误； B：因为F分别为棱CD的中点，所以，故B错误； C：因为，所以，故C正确； D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以，所以，故D正确. 故选：CD. 11. 设奇函数与其导函数的定义域均为R，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的周期为4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数得，求导后判断A，用反证法说明B错误，利用成中心对称，又是偶函数，确定函数的周期，判断C，用赋值法求得，再由周期求得判断D． 【详解】是R上的奇函数，因此， 求导得，即，A正确； 由的图象关于点成中心对称，得，B错； 的图象关于点成中心对称，则， 所以， 又，所以，于是有， 所以，所以是周期函数，4是它的一个周期，C正确； 在中，令得，， 又是周期为4的周期函数，所以，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是假命题，则实数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的性质结合全称量词命题的概念即可得参数m的取值范围. 【详解】因为“”是假命题，所以“”是真命题， 所以，故实数的最小值为． 故答案为：． 13. 双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上， 因为，，所以， 所以，所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与在上有两个交点，进而有有两个不同的正根，利用导数研究右侧函数的单调性及区间符号，即可得结果. 【详解】由题设，要使恰有两个“匹配点对”，只需与在上有两个交点， 所以有两个不同的正根， 令且，则， 所以时，即在上递减； 时，即在上递增； 又时，时，且最小值， 所以，要使有两个不同的正根，只需， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设公差为，结合题设有，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）有， 故， 即. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的平分线交于点，且．求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意得，由，可得，再由余弦定理得到，即可求出，最后根据面积公式计算可得. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理可得， 即， 即， 所以， 又，所以， 所以，则， 又，所以. 【小问2详解】 解：由题意，得， 又， 所以， 即， 由余弦定理得， 即，于是，解得或（舍）， 所以． 17. 如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）设Q为上一点，若，求二面角的大小. 【答案】（1）6； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理依次求出，接着求出底面梯形的高进而求出其面积，再由已知条件结合面面垂直性质定理求出平面即可由锥体体积公式求出四棱锥的体积. （2）由结合（1）可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，，，设，进而求出和，接着由求出，从而解出和，进而可求出平面的法向量，由平面得平面的法向量为，再由计算结合图形即可得图二面角的大小. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，同理得，所以， 因为，，，所以， 所以且， 所以且， 底面梯形的高为， 所以底面梯形的面积， 在中，，，， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 因为，，，所以即， 所以，，两两垂直，可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设， 所以，， 因为，所以， 解得，因此，， 设为平面的法向量，则， 则， 取，则，，即， 因为平面，所以平面的法向量为， 设二面角为，则， 所以由图二面角的大小为. 18. 已知椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）设的右顶点为，点，是椭圆上的两点（异于顶点），若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）证明：设，不妨设在左侧，，，， ，，， 将椭圆平移至，即， 此时平移至，，分别平移至，， 设方程为，， ， ，是关于的方程的两不等实根， 由， 直线的方程为，恒过定点，恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、点坐标列方程求得，由此求得椭圆方程. （2）设，不妨设在左侧，可得，将椭圆平移至，设方程为，联立方程组可得，进而可得的值，可求定点. 【小问1详解】 由题意知，的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，证明：对于任意的，均存在，使得． 【答案】（1） （2）证明：由已知得， 所以 ． 因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2， 故在上恒成立． 又，所以， 所以当时，． （3）证明：因为，所以． 设，则． 注意到，则在上一定存在极值点． 令为其中一个极值点，则， 即，所以， 因为，所以，故． 【解析】 【分析】（1）由题可知，计算可求伴生函数为． （2），由已知可得在上恒成立，进而可得结论； （3）令，求导结合在上一定存在极值点，令为其中一个极值点，则，计算可得结论. 【小问1详解】 由题可知． 所以， 故的伴生函数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：根据伴生函数的定义可求解（1）（2），构造函数，利用导数及单调性的综合应用，考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨声中学、泉州九中、侨光中学2024秋季高三年三校联考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 8. 等比数列的前项积为，并且满足，现给出下列结论：①②；③是中的最大值；④使成立的最大自然数是2019，期中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数关于直线对称 D. 函数的所有非负零点组成的递增数列是首项为，公差为的等差数列 10. 已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设奇函数与其导函数的定义域均为R，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的周期为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是假命题，则实数的最小值为______． 13. 双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为______. 14. 若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的平分线交于点，且．求的面积． 17. 如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）设Q为上一点，若，求二面角的大小. 18. 已知椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）设的右顶点为，点，是椭圆上的两点（异于顶点），若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点. 19. 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”． （1）若，求； （2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，； （3）若，证明：对于任意的，均存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $