第1章 直线与方程（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第1章 直线与方程（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（ ） A. (2，8) B. (8，+∞) C. (11，+∞) D. (−∞，11) 2.若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3.已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（ ） A. 3 B.2 C. 1 D.0 4.“”是“两点到直线的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6.已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点，若点在直线上，则的最小值是（ ） A.1 B. C. 2 D. 8.已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D. 过两点的直线方程为 10.对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______． 13.如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为___________. 14.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为_____________；的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.的顶点A，B的坐标分别为． （1）求线段AB中垂线在x轴上的截距； （2）若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标． 16.已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 17.已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 18.已知点，直线 （1）求点M关于点对称点N的坐标 （2）求点M关于直线的对称点Q的坐标. （3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由. 19.若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”. （1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标； （3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是（ ） A. (2，8) B. (8，+∞) C. (11，+∞) D. (−∞，11) 【答案】C 【分析】利用斜率公式列式可解得结果. 【解析】由题意得，解得. 故选：C 2.若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【解析】由倾斜角为得直线的斜率为， 求得直线的方程为， 则点到直线的距离， 故选：C. 3.已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是（ ） A. 3 B.2 C. 1 D.0 【答案】A 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【解析】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故选：A 4.“”是“两点到直线的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可. 【解析】“两点到直线的距离相等”“或过的中点”. 当时，由得，； 当过的中点时，由的中点为得，. 所以“两点到直线的距离相等”“”， 故选：A. 5.已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【解析】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 6.已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围. 【解析】直线过定点，作出图像如下图所示： ，，直线的斜率为， 若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即. 故选：B 7.在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点，若点在直线上，则的最小值是（ ） A.1 B. C. 2 D. 【答案】 【分析】将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出，从而可得其最小值 【解析】由题意可设，，，，则， 由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 故选：D 8.已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可看成点到点的距离的平方，即点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，可借助直线和反比例函数图象关于直线对称，从而可得其最小值 【解析】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D. 过两点的直线方程为 【答案】ACD 【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断. 【解析】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确； B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误； C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项正确； D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确； 故选：ACD 10.对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【解析】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【解析】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】先设出所求直线和已知直线的倾斜角，利用直线的一般式方程得到已知直线的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直线的斜率，进而写出直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【解析】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，且，所以， 所以可得直线l的方程为，即． 故答案为：. 13.如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为___________. 【答案】，， 【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a的值. 【解析】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立， ①是过另外两条直线的交点， 由和的交点是，代入解得： ； ②是这条直线与另外两条直线平行， 当和平行，只需，解得； 当和平行，只需此时. 综上，的取值集合是，，. 故答案为：，，. 14.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为_____________；的最大值为_____________． 【答案】 ①. ## ②. 【分析】根据直线方程确定，利用勾股定理得到，结合基本不等式即可求出的最大值，再利用三角函数即可求出的最大值. 【解析】可以转化为，故直线恒过定点A， ：，即，恒过定点B， 由 和 ：，满足 ， 所以 , 可得 , 所以 , 且，故，当且仅当时，等号成立； 因为，设为锐角，则， 所以， 所以当 时, 取最大值 . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.的顶点A，B的坐标分别为． （1）求线段AB中垂线在x轴上的截距； （2）若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标． 【答案】（1）-3； （2） 【分析】（1）求出AB的中点和直线AB的斜率，再求出线段AB中垂线的斜率，即可得到答案； （2）求出AB边上的高所在直线的斜率，得到AB边上的高所在直线的方程，同理可得AC边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案 【解析】（1）∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为， ∴AB中点是，直线AB的斜率是， ∵线段AB中垂线与线段AB垂直， ∴线段AB中垂线的斜率是， ∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0， 令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3； （2）∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为， ∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0， ∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为， ∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y-19=0， 联立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，， ∴△ABC垂心的坐标为 16.已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 【答案】（1）；（2）最小值是4，方程为． 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【解析】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）易知，令得，令，得，即， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即． 17.已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）. 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【解析】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线方程为，点C的坐标为. （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 18.已知点，直线 （1）求点M关于点对称点N的坐标 （2）求点M关于直线的对称点Q的坐标. （3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由. 【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析． 【分析】（1）由是的中点可求得点坐标； （2）由与直线垂直且的中点在直线上可求得点坐标； （3）设出点坐标为，表示出和，然后求最小值即可得利结论． 【解析】（1）设，则，则，∴． （2）设，则，解得，即． （3）两点坐标不相同．证明如下： 由题意，设， 则，显然当时，取得最小值，，此时 由（2），当是与直线的交点时，等号成立， ，直线的方程为，代入的方程解得，，即． 两个点不相同． 19.若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”. （1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标； （3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）由两角和与差公式即得； （2）由共轭线对的定义求得P点坐标； （3）利用基本不等式求最小值即可得． 【解析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 不妨设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，， 即两直线倾斜角分别为； （2）设直线，，的斜率分别为， 则，解得或， 当时， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 当时， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 故所求为或； （3）设， 设原点到两直线距离分别为， 则 ， 由于，当且仅当时等号成立， 故，， 即原点到两直线距离之积的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$