第1章 直线与方程（高效培优单元测试·强化卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第1章 直线与方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.过 两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【解析】由已知直线的斜率为 ， 所以倾斜角． 故选：D. 2.不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将直线方程变形为即可得出结果. 【解析】根据题意,将直线方程变形为 因为位任意实数,则,解得 所以直线过定点坐标为 故选:C 3.过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【解析】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 4.点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得. 【解析】因为点到直线的距离大于5， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 5.如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】结合一次函数参数的几何意义判断即可 【解析】过坐标原点，直线的倾斜角为45°，A，B选项中图象不合题意； 对于选项C，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该大于零，选项中图象不合题意； 对于选项D，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该小于零，选项中图象符合题意． 故选：D 6.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【解析】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A. 7.点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【解析】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 8.若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解. 【解析】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线， 则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点所在直线的方程为， 由，可得，解得，可得， 所以到原点的距离的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 在轴上的截距为 B. 斜率为 C. 倾斜角为60° D.过点 【答案】ABC 【分析】A. 当时，，所以该选项错误； B. 直线的斜率为，所以该选项正确； C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确； D. 当时，，所以该选项错误. 【解析】A. 当时，，所以直线在轴上的截距为，所以该选项正确 B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确； C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确； D. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误； 故选：ABC 10. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则 【答案】BCD 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【解析】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D正确. 故选：BCD 11.若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】AD 【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案. 【解析】因为，所以直线，间的距离． 设直线m与直线，分别相交于点B，A，则， 过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则， 则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°， 又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知点关于直线对称的点的坐标是______. 【答案】 【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解. 【解析】设，则，解得，. 故答案为： 13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______. 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【解析】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 14.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为_______. 【答案】 【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得. 【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知直线过定点． （1）求点的坐标； （2）若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】（1） （2）或2 【分析】（1）利用直线求定点方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【解析】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 16.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 【答案】和 【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【解析】联立方程组，解得. 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以， 解得，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 17.已知点，，，求： （1）边上的高所在直线方程； （2）的外心坐标； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【分析】（1）首先求出直线的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出边上的高线的斜率，由高线过，即可得出边上的高所在直线方程； （2）分别求出边的垂直平分线，联立即可得出的外心坐标； （3）先写出直线的方程，由点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再由两点之间的距离公式求出边的长，由三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）由，得，， 所以边上的高线的斜率为，且高线过点， 所以边上的高线的直线方程为：，即． （2）由，得，，边的中点为，即， 所以边的垂直平分线的直线方程为：，即； 由，，得，边的中点为， 所以边的垂直平分线的直线方程为：，即， 由，得， 所以的外心坐标为． （3）由（1）知，，则直线的方程为：，即， 边上的高为：， ， 所以． 18.已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解析】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 19.如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 【答案】（1），，. （2）. 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， 又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. （2）因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.过 两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2.不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 3.过点且与直线平行的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4.点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（ ） A. B. C. D. 6.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 8.若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 在轴上的截距为 B. 斜率为 C. 倾斜角为60° D.过点 10. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则 11.若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知点关于直线对称的点的坐标是______. 13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______. 14.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知直线过定点． （1）求点的坐标； （2）若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 16.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 17.已知点，，，求： （1）边上的高所在直线方程； （2）的外心坐标； （3）的面积． 18.已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 19.如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$