专题03 直线与方程中的七类最值与范围问题（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题03 直线与方程中的七类最值与范围问题 题型一：利用直线与线段有公共点求 题型二：利用斜率公式探求最值与范围问题 题型三：利用动直线与坐标轴围成三角形面积探求最值与范围问题 题型四：利用两点之间的距离公式探求最值与范围问题 题型五：利用点到直线距离公式探求最值与范围问题 题型六：利用两平行直线距离公式探求最值与范围问题 题型七：利用点关于线对称模型探求最值与范围问题 题型一：利用直线与线段有公共点求 1.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（多选）已知点，直线 (其中)，若直线与线段有公共点，则的值可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 3.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 4.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 题型二：利用斜率公式探求最值与范围问题 5.已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 6．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 8．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 题型三：利用动直线与坐标轴围成三角形面积探求最值与范围问题 9．(多选)直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ） A． B． C． D． 10.已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 11.已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 12.已知直线，若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 13.已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4，若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 题型四：利用两点之间的距离公式探求最值与范围问题 14．已知实数满足，则的最小值为_______． 15.已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 16.定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________ . 题型五：利用点到直线距离公式探求最值与范围问题 17．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18.已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 19.对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是 ． 20.已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 题型六：利用两平行直线距离公式探求最值与范围问题 21．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， ． 22.当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 题型七：利用点关于线对称模型探求最值与范围问题 23.直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 25.已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 26.已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 27.设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为 . 28.已知，满足，则的最小值为___________. 29.已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 30.已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与方程中的七类最值与范围问题 题型一：利用直线与线段有公共点求 题型二：利用斜率公式探求最值与范围问题 题型三：利用动直线与坐标轴围成三角形面积探求最值与范围问题 题型四：利用两点之间的距离公式探求最值与范围问题 题型五：利用点到直线距离公式探求最值与范围问题 题型六：利用两平行直线距离公式探求最值与范围问题 题型七：利用点关于线对称模型探求最值与范围问题 题型一：利用直线与线段有公共点求 1.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围. 【解析】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. 故答案为：. 2.（多选）已知点，直线 (其中)，若直线与线段有公共点，则的值可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】ABC 【分析】化简直线方程为，求得直线过定点，利用斜率公式，分别求得，得出直线的斜率为，列出不等式，即可求解. 【解析】将直线化为， 因为，所以，解得，即直线过定点， 又因为点，可得， 如图所示，由直线与线段有公共点， 当时，直线与线段有公共点， 当时，直线的斜率为，所以或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为， 结合选项，可得ABC都符合题意. 故选：ABC. 3.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【解析】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】由直线过定点结合图象即可得的范围，进而求直线的倾斜角范围. 【解析】如下图，由题意， 由直线 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 题型二：利用斜率公式探求最值与范围问题 5.已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 6．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【解析】设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 所以， 解得. 故选：A. 7．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】B 【分析】把,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，对照图象可得答案． 【解析】 由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，结合图象可知当时，>>． 故选：B 8．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【解析】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 题型三：利用动直线与坐标轴围成三角形面积探求最值与范围问题 9．(多选)直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解. 【解析】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得， 结合选项可知， 10.已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，由题意可得，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解. 【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 故答案为：. 11.已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【解析】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 12.已知直线，若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】 【分析】（求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解析】已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即 13.已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4，若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 【答案】面积的最大值为2， 直线方程为 【分析】设出截距式，结合二次函数求出最大值，再求出面积和直线方程即可； 【解析】设直线的方程为（且）， 由直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 可得，解得， 又由，， 可得， 当时，取得最大值2， 此时直线方程为，即. 题型四：利用两点之间的距离公式探求最值与范围问题 14．已知实数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解. 【解析】因为实数满足＝1 所以表示直线上点到原点的距离， 故的最小值为原点到直线的距离， 即， 故的最小值为1. 故答案为：1 15.已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 【答案】 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【解析】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故答案为： 16.定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________ . 【答案】2 【分析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值. 【解析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值. 故答案为：2 题型五：利用点到直线距离公式探求最值与范围问题 17．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线系所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果. 【解析】由直线，可得， 由可解的， 即直线过定点， 则, 当与直线垂直时，，当直线过点，即时，， 又直线无论取何值，不能表示直线， 所以， 故选：B 18.已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【解析】可化为： 设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线l的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 19.对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程确定直线过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分情况讨论点与直线距离的最值，从而确定其取值范围. 【解析】根据题意，对于任意实数k，直线恒过(2，2)点， 点(2，2)和点(-2，-2)确定一条直线，其直线方程为 所以当直线与直线垂直时，d取得最大值 ； 当时， 即直线不过点(－2，-2)，d无最小值， 所以d的取值范围是，选项B正确； 故答案为： 20.已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 【答案】A 【分析】根据点与直线距离公式研究最值，从而确定其取值范围. 【解析】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是, 故答案为： 题型六：利用两平行直线距离公式探求最值与范围问题 21．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， ． 【答案】5 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解析】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故答案为：5 22.当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】两直线平行且垂直于时，距离最大，两点间的距离即为所求最大值. 【解析】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为：. 题型七：利用点关于线对称模型探求最值与范围问题 23.直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】关于直线的对称点为，， 即求的最大值，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值 【解析】依题意可知， 关于直线的对称点为，， 即求的最大值， ， 当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为， 也即的最大值是. 故选：A 24.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求A关于直线的对称点的坐标为，最小，即为所求最小值. 【解析】设A关于直线的对称点的坐标为， 则， ∴最小． 故选：B 25.已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示直线上的点与连线的距离之和，此时的长即为所求最小值. 【解析】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 26.已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】求折线段长度的最小值一般通过作对称点的方法解决，本题分别作关于的对称点，此时和分别交于，得到，此时的长即为所求最小值. 【解析】首先易得到方程为，关于即轴的对称点记做，显然，设关于的对称点为，于是，且中点在上，即，解得，即，此时和分别交于，此时的周长的最小，最小值为.若两点不这样取，例如如图所示取这样的，则的周长为折线段之和，即有 . 故选：A 27.设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，. 【解析】 设点关于直线：的对称点为 线段的中点在上 则 又， 解得， 故答案为： 28.已知，满足，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和，从而当且仅当三点共线时，和有最小值最后可求. 【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故答案为： 29.已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】5 【分析】利用表示的是直线上一点到定点，的距离之和，从而找点N关于直线对称的点最后可求. 【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和. 如图，设点N关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最小，即最小 所以的最小值为. 故答案为：5. 30.已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$