2.3利用轴对称进行设计（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

2.3利用轴对称进行设计 题型一 分析图形形成的过程 1．（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）下面的图形能拼成正方形的是（    ）． A．   B．   C．   2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，且三点共线，． (1)填空：先将绕点逆时针旋转__________度，再向右平移线段_____________（填“”，“”或“”）的长度，可得； (2)连结，若，求的面积． 题型二 设计轴对称图案 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 题型三 最短路径问题 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 轴对称与三角形性质综合 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 2．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 4．（22-23八年级上·浙江台州·期中）已知：如图，的顶点O在直线l上，且 ．    (1)画出关于直线l成轴对称的图形，且使点A的对称点为点C；（要求：画图工具不限，必须保留画图痕迹） (2)在（1）的条件下，与的位置关系是　 　； (3)在（1）、（2）的条件下，连接，若． ①求证：是等边三角形； ②求：与的比值　 　． 轴对称与三角形探究拓展 1．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（22-23八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3利用轴对称进行设计 题型一 分析图形形成的过程 1．（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）下面的图形能拼成正方形的是（    ）． A．   B．   C．   【答案】C 【分析】根据正方形的特点可知，两个直角边不相等的直角三角形不能拼成正方形；两个完全一样的正方形不能拼成正方形；选项C的图形可以拼成正方形．据此选择． 【详解】能拼成正方形的是：    故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键掌握正方形的特征． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将左边的图案绕图案中的长方形中心逆时针旋转即可得到右边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，且三点共线，． (1)填空：先将绕点逆时针旋转__________度，再向右平移线段_____________（填“”，“”或“”）的长度，可得； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平移与旋转的性质、三角形的面积、全等三角形的性质，掌握平移与旋转的性质是解题的关键． （1）结合旋转的性质和平移的性质可得答案． （2）由全等三角形的性质可得，．由已知条件可得，则，可得，进而可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，先将绕点逆时针旋转度，再向右平移线段的长度，可得． 故答案为：；． （2）解：， ，． ， ， ， ． ∴△ACE的面积为． 题型二 设计轴对称图案 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】本题考查利用轴对称性质设计图案，熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形，由轴对称图形定义，结合题意即可设计出满足条件的图形从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 共5种， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特征是解题的关键． 根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 【详解】解：如图：有4种不同的移法． 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，熟练掌握周对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义，设计图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，设计图形即可； （3）根据中心对称图形的定义，设计图形即可． 【详解】（1）解：由题意，设计图形如下： （2）由题意，设计图形如下： （3）由题意，设计图形如下： 题型三 最短路径问题 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2．（20-21七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 轴对称与三角形性质综合 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 2．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是作图轴对称变换． （1）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质画出线段即可． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求； （2）解：如图（2），线段、即为所求（两种情形）． 4．（22-23八年级上·浙江台州·期中）已知：如图，的顶点O在直线l上，且 ．    (1)画出关于直线l成轴对称的图形，且使点A的对称点为点C；（要求：画图工具不限，必须保留画图痕迹） (2)在（1）的条件下，与的位置关系是　 　； (3)在（1）、（2）的条件下，连接，若． ①求证：是等边三角形； ②求：与的比值　 　． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3)①见解析；②2 【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据轴对称的性质可以得出结论； （3）①根据轴对称的性质得到，故可得，即，根据，可得到，最后根据，可知，可得，即可解答； ②设，利用等边三角形的性质，用表示出，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形，    （2）解：与是轴对称图形对应点的连线， ， 故答案为：平行； （3）①证明∵由（1）可知，与关于直线l对称， ， ， ， ，即， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ，即为等边三角形； ②解：为等边三角形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2．    【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟知上述性质，得到相关三角形全等是解题的关键． 轴对称与三角形探究拓展 1．（23-24七年级上·广西贵港·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质，可得，即可求解； （2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解； ②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ， ， ； （2）解：由折叠性质可知：，， ， ， 即； （3）解： ，，之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ， ； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ， ， 综上所述，，，之间的数量关系为： 或． 2．（22-23八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①②；的度数会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$