2.5直线与圆的位置关系（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.5 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．（2023·锡山区·月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 2．（2024·阜宁县·期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3．（2023·宿迁·期末）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 4．（2024·栖霞区·月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 题型二 根据直线与圆的位置关系求参 1．（2024·邗江区·月考）已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5cm，则⊙O的半径可能为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 2．（2024·苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 3．（2025·镇江·一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　） A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b 4．（2024·兴化市·月考）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是　　． 题型三 切线的判定 1．（2025·滨湖区·二模）下列判断正确的是（　　） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 2．（2025·连云港·二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是弧BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线． 3．（2024·云龙区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 4．（2024·秦淮区·期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切． 题型四 根据切线的性质求角度 1．（2025·南京·模拟）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．30° C．31° D．32° 2．（2025·沛县·三模）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OAB＝32°，则∠OCD的度数为（　　） A．28° B．29° C．30° D．31° 3．（2025·镇江·模拟）如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 4．（2025·玄武区·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，与CD交于点E，连接BE．若∠ABC＝58°，则∠BEC的度数为　　°． 题型五 根据切线的性质求线段长度 1．（2024·玄武区·期末）如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 2．（2024·海陵区·月考）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的直径为4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（2025·南京·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE、DE，若∠B＝30°，AC＝3，则BD的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 4．（2024·邗江区·期末）如图，⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA＝3，BC＝4，则AD的长为（　　） A．3.5 B． C． D． 题型六 三角形的内心有关的角度计算 1．（2024·鼓楼区·期末）三角形内切圆的圆心是（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．（2023·海陵区·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，I是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（2024·盐都区·月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 4．（2024·赣榆区·期中）如图，D是△ABC的内心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠BCA＝50°，则∠BDE＝　　°． 题型七 切线长定理的应用 1．（2024·扬州·期末）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则BE+CG等于（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 2．（2024·阜宁县·期中）如图，PA、PB分别为⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若△PEF的周长为18，则PA长是　　． 3．（2025·鼓楼区·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A与点E．当AB＝15，BC＝17时，AD的长为　　． 4．（2025·秦淮区·二模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H．连接OA，OB，OC，OD． （1）若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则DA的长为　　； （2）求证：∠AOD+∠BOC＝180°． 题型一 切线的性质（升级版） 1．（2024·海陵区·期末）如图，⊙O的半径为20cm，直线AB与⊙O相切于点C，动点P从点C出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点P到直线AB的距离是10cm时，点P运动的时间为（　　） A．2s或10s B．4s或8s C．2s D．8s 2．（2024·新吴区·期中）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（　　） A．3 B． C．6 D． 3．（2024·大丰区·月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝120°，P是AB边上的一动点，以P为圆心，线段PB的长为半径画圆，当⊙P与△ADC边所在的直线相切时，⊙P的半径为　　． 4．（2025·无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则OA＝　　，切线长BQ的最小值为　　． 题型二 切线的判定与性质——解答题 1．（2024·东台市·期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 2．（2025·盐都区·月考）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB＝4，求BD的长． 3．（2025·宿迁·模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 4．（2025·邗江区·三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，过点D作直线DE∥BC，连接OB，OC，BD，CD． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝2，BC＝8，求四边形OBDC的面积． 题型三 三角形的内心有关的角度计算（升级版） 1．（2023·邗江区·月考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是　　． 2．（2024·盱眙县·期中）如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A＝2∠O＝120°，OD＝1，则BC的长为　　． 题型四 三角形的内接圆半径有关的计算 1．（2025·南京·模拟）如图，有一块三角形铁皮余料，AB＝14，BC＝13，CA＝12．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CA边上 D．△ABC内 2．（2022·姜堰区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　　． 题型五 切线长定理的应用（升级版） 1．（2024·崇川区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 2．（2024·海州区·期中）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2022·兴化市·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·高邮市·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F．若AD•DB＝3，则△ABC的面积为　　． 1．（2023·江阴市·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0），点C是△ABO的内心．直线a1、b1分别经过点A、B，且a1∥b1．若直线a1关于AC对称的直线为a2，直线b1关于BC对称的直线为b2，直线a2、b2交于点P，则CP的最大值为　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．（2023·锡山区·月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【详解】解：∵点（﹣3，4）是圆心， ∴圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， ∵圆的半径为4， ∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，圆心到y轴的距离小于圆的半径， ∴圆与x轴相切，与y轴相交． 故选：C． 2．（2024·阜宁县·期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径等于3， ∵圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B． 3．（2023·宿迁·期末）已知⊙O的半径为3，点P是直线l上的一点，OP＝3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，当OP⊥直线l时，此时直线l与⊙O的位置关系是相切； ②如图2，当OP和直线l不垂直时，此时直线l与⊙O相交； 综上，直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选：D． 4．（2024·栖霞区·月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 【详解】解：如图，过A点作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴BH＝CHBC＝4， 在Rt△ABH中，AH3， ∵AB＝5＞3， ∴B点在⊙A外，故A不合题意； ∵AC＝5＞3， ∴C点在⊙A外，故C不合题意； ∵AH＝3，AH⊥BC， ∴直线BC与⊙A相切，故D符合题意，B不合题意． 故选：D． 题型二 根据直线与圆的位置关系求参 1．（2024·邗江区·月考）已知直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离为5cm，则⊙O的半径可能为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【详解】解：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d， ∵直线l与⊙O相离， ∴d＞r， 又∵圆心O到直线l的距离为5cm， ∴r＜5cm． 故选：A． 2．（2024·苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【详解】解：某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是⊙O3． 故选：C． 3．（2025·镇江·一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　） A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b 【详解】解：∵AB＝a， ∴以AB为直径的圆的半径， ∵以AB为直径的圆与边CD有交点， ∴b，即a≥2b． 故选：A． 4．（2024·兴化市·月考）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是　　． 【详解】解：如图，作MD⊥OA于点D，则∠ODM＝90°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠DMO＝∠DOM＝45°， ∴OD＝MD， ∴OMMD＝2， ∴MD， ∵当r＝MD时，⊙M与射线OA相切，此时与射线OA只有一个公共点； 当r＝OM时，⊙M与射线OA有两个公共点， ∴若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM， ∴半径r的取值范围是r≤2． 故答案为：r≤2． 题型三 切线的判定 1．（2025·滨湖区·二模）下列判断正确的是（　　） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【详解】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故错误． 故选：C． 2．（2025·连云港·二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是弧BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线． 【详解】证明：如图，连接OC， ∵C为弧BE的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． 3．（2024·云龙区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【详解】证明：如图，连接OD， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD， ∵AD＝CD，AO＝OB， ∴OD为△BAC的中位线， ∴OD∥BC， ∴DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线． 4．（2024·秦淮区·期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切． 【详解】证明：如图，作直径CM，连接BM， ∴∠MBC＝90°， ∴∠M+∠BCM＝90°， ∵∠A＝∠M， ∴∠A+∠BCM＝90°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB+∠BCN＝180°，∠ACD＝∠ABC， ∴∠A＝∠BCN， ∴∠BCN+∠BCM＝90°，即∠OCN＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 题型四 根据切线的性质求角度 1．（2025·南京·模拟）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．30° C．31° D．32° 【详解】解：如图，连接OC， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ACD＝62°， ∴∠OCA＝90°﹣62°＝28°， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA＝28°． 故选：A． 2．（2025·沛县·三模）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OAB＝32°，则∠OCD的度数为（　　） A．28° B．29° C．30° D．31° 【详解】解：如图，连接OB， ∵AB切⊙O于点B， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣32°＝58°， ∴∠BDC∠AOB＝29°， ∵BD∥OA， ∴∠OCD＝∠BDC＝29°． 故选：B． 3．（2025·镇江·模拟）如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【详解】解：如图，连接OB、OC， ∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C， ∴PB⊥OB，PC⊥OC， ∴∠OBP＝∠OCP＝90°， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°， ∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°． 故选：B． 4．（2025·玄武区·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，与CD交于点E，连接BE．若∠ABC＝58°，则∠BEC的度数为　　°． 【详解】解：如图，连接AO并延长，交⊙O于H， ∵AD是⊙O的切线， ∴AH⊥AD， ∵AD∥BC， ∴AH⊥BC， ∴，∠BAH＝90°﹣∠ABC＝90°﹣58°＝32°， ∴∠CAH＝∠BAH＝32°， ∴∠BEC＝∠BAC＝32°+32°＝64°． 故答案为：64． 题型五 根据切线的性质求线段长度 1．（2024·玄武区·期末）如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥BD于点F，则∠OFD＝∠OFB＝90°， ∵直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l于点D， ∴l⊥OC， ∴∠OFD＝∠OCD＝∠CDF＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∵AB＝15，BD＝12， ∴FD＝OC＝OBAB15， ∴BF＝BD﹣FD＝12， ∴CD＝OF6． 故选：D． 2．（2024·海陵区·月考）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的直径为4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【详解】解：如图，连接OB， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ODB＝30°， ∴OD＝2OB＝4， ∵BD2＝OD2﹣OB2， ∴． 故选：D． 3．（2025·南京·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE、DE，若∠B＝30°，AC＝3，则BD的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 【详解】解：如图，连接OE， ∵BC切圆于E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴OEOB， ∵OE＝OD， ∴OD＝BD， ∴AO＝OD＝BD， ∴BDAB， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2×3＝6， ∴BD＝2． 故选：B． 4．（2024·邗江区·期末）如图，⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA＝3，BC＝4，则AD的长为（　　） A．3.5 B． C． D． 【详解】解：如图，连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠CBD+∠OBA＝90°， ∵OA⊥OE， ∴∠ADO+∠OAB＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵∠ADO＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CD＝BC＝4， 在Rt△OBC中，OB＝3，BC＝4， 由勾股定理得：OC5， ∴OD＝OC﹣CD＝1， ∴AD． 故选：D． 题型六 三角形的内心有关的角度计算 1．（2024·鼓楼区·期末）三角形内切圆的圆心是（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【详解】解：因为三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点． 故选：C． 2．（2023·海陵区·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，I是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【详解】解：如图，连接BI， ∵I是△ABC的内心，∠BAC＝70°， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC＝35°，∠CBI＝∠ABI， ∵ID＝BD， ∴∠DBI＝∠DIB， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠BAD+∠ABI＝∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC＝∠DAC＝35°． 故选：B． 3．（2024·盐都区·月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 【详解】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°（∠CAB+∠CBA）， ＝180°（180°﹣∠C） ＝90°∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°∠AOB， ∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°． ∵∠AIB＝125°， ∴∠AOB＝140°． 故选：D． 4．（2024·赣榆区·期中）如图，D是△ABC的内心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠BCA＝50°，则∠BDE＝　　°． 【详解】解：∵D是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD， ∴∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBE， ∴∠BAD+∠ABD＝∠CBE+∠CBD， ∵∠BDE＝∠BAD+∠ABD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD， ∴∠BDE＝∠DBE， ∵∠BDE+∠DBE+∠E＝180°，∠E＝∠BCA＝50°， ∴2∠BDE+50°＝180°， ∴∠BDE＝65°． 故答案为：65． 题型七 切线长定理的应用 1．（2024·扬州·期末）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则BE+CG等于（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【详解】解：如图，连接OF， 由切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG， ∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴BC＝10cm， ∵OF⊥BC， ∴BE＝BF，CG＝CF， ∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝10cm． 故选：D． 2．（2024·阜宁县·期中）如图，PA、PB分别为⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若△PEF的周长为18，则PA长是　　． 【详解】解：∵⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F， ∴EC＝EA，FC＝FB， ∵PA、PB切⊙O相切于点A、B， ∴PA＝PB， ∵△PEF的周长为18， ∴PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝PA+PB＝2PA＝18， ∴PA＝9． 故答案为：9． 3．（2025·鼓楼区·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A与点E．当AB＝15，BC＝17时，AD的长为　　． 【详解】解：如图，连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°， ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17， ∴AB＝FB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°， ∴CE8， ∴CD＝CE+ED＝8+AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠CHD＝90°， ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD，DH＝AB＝15， ∴CH＝BC﹣BH＝17﹣AD， 在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2， ∴152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2，解得：AD＝9． 故答案为：9． 4．（2025·秦淮区·二模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H．连接OA，OB，OC，OD． （1）若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则DA的长为　　； （2）求证：∠AOD+∠BOC＝180°． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH， ∴BE+CG＝BF+FC＝BC＝6， ∴AD＝AH+DH＝AE+DG＝AB﹣BE+CD﹣CG＝5+4﹣6＝3， 故答案为：3； （2）证明：如图，连接OE、OF、OG、OH， ∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，∠OBE＝∠OBF， ∴∠BOE＝∠BOF， 同理可得：∠COF＝∠COG，∠DOG＝∠DOH，∠AOE＝∠AOH， ∴∠AOD+∠BOC360°＝180°． 题型一 切线的性质（升级版） 1．（2024·海陵区·期末）如图，⊙O的半径为20cm，直线AB与⊙O相切于点C，动点P从点C出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点P到直线AB的距离是10cm时，点P运动的时间为（　　） A．2s或10s B．4s或8s C．2s D．8s 【详解】解：如图，连接OP， 设OP绕点O每1s旋转x°，则12x＝360，解得：x＝30， ∴OP绕点O每1s旋转30°， 如图1，点P在直线OC的右侧，作PE⊥OC于点E，PF⊥AB于点F，连接PC， ∵⊙O的半径为20cm，点P到直线AB的距离是10cm， ∴OC＝20cm，PF＝10cm， ∵直线AB与⊙O相切于点C， ∴AB⊥OC于点C， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴CE＝PF＝10cm， ∴OE＝OC﹣OE＝10cm， ∴CE＝OE， ∴PE垂直平分OC， ∴PC＝OP＝OC， ∴△POC是等边三角形， ∴∠POC＝60°， 设点P从点C出发沿圆周逆时针匀速运动一周，运动的时间为t s， 当点P运动到图1中的位置时，则30t＝60，解得：t＝2； 如图2，点P在直线OC的左侧，作PM⊥OC于点M，PN⊥AB于点N，连接PC， 同理可证：△POC是等边三角形， ∴∠POC＝60°， 当点P运动到图2中的位置时，则30t＝360﹣60，解得：t＝10； 综上，点P运动的时间为2s或10s． 故选：A． 2．（2024·新吴区·期中）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（　　） A．3 B． C．6 D． 【详解】解：如图，连接OC，OP， ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵点A关于点C的对称点为点P（x，y）， ∴OP＝OA＝3， ∴点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， 令x+y＝m，则y＝﹣x+m， ∵要求m值最大， ∴m越往上越大， ∴当直线于⊙O相切时，m最大， 设直线于y轴交于点Q，切点为P'，连接OP'，则OP'＝3， 由直线比例系数k＝1可知，直线与坐标轴所夹锐角为45°， ∴△OP'Q为等腰直角三角形， ∴OQOP'＝3，即x+y＝m＝3， ∴x+y最大值为3． 故选：B． 3．（2024·大丰区·月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝120°，P是AB边上的一动点，以P为圆心，线段PB的长为半径画圆，当⊙P与△ADC边所在的直线相切时，⊙P的半径为　　． 【详解】解：∵菱形ABCD，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，， 如图1，当⊙P与直线AC相切时，切点为E，连接PE，则∠PEA＝90°， 设PE＝PB＝x，则AP＝4﹣x， ∵∠PAE＝30°， ∴AP＝2PE， ∴4﹣x＝2x，解得：； 如图2，当⊙P与直线AD相切时，切点为F，连接PF，则∠PFA＝90°， 设PF＝PB＝x，则AP＝4﹣x， ∵∠PAF＝60°， ∴， ∴，解得：； 如图3，当⊙P与直线CD相切时，切点为G，连接PG， 作DH⊥AB于点H，则∠PGD＝90°，四边形PGDH是矩形， 设PG＝PB＝x，则DH＝x， ∵∠DAH＝60°， ∴， ∴，解得：； 综上，⊙P的半径为或或． 故答案为：或或． 4．（2025·无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则OA＝　　，切线长BQ的最小值为　　． 【详解】解：如图，设⊙P切y轴于点M，连接PM， ∵A（4，3）， ∴OA5； ∵⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切， ∴圆心P在∠MOA的角平分线OP上， 作A点关于直线OP的对称点A'（0，5）， 则AA'的中点坐标为（2，4），则OP必经过点（2，4）， ∴直线OP的表达式为y＝2x， 设点P坐标为（x，2x）， 则OP，⊙P的半径PM＝PQ＝x， 连接PQ，则∠PQB＝90°， 由勾股定理可得：BQ2＝PB2﹣PQ2， ∴BQ2＝（x﹣6）2+（2x）2﹣x2＝4x2﹣12x+36＝4（x）2+27， ∴BQ2有最小值27，此时BQ最小为． 故答案为：5；． 题型二 切线的判定与性质——解答题 1．（2024·东台市·期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 【详解】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ACB＝ABC， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠ADB＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD，即∠BCF＝∠CBF， ∴CF＝BF； （2）如图，连接CO并延长交⊙O于G点，连接GF， ∵CG为O直径， ∴∠GFC＝90°， ∴∠G+∠GCF＝90•， ∵∠CDB＝∠G， ∴∠CDB+∠GCF＝90°， ∵CD＝CB ∴∠CDB＝∠CBD， ∵CF＝BF， ∴∠BCF＝∠CBD， ∴∠BCF＝∠CDB， ∴∠BCF+∠GCF＝90°， ∴∠BCG＝90°，即CG⊥BC， ∵CG为⊙G的半径， ∴CB是⊙O的切线． 2．（2025·盐都区·月考）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB＝4，求BD的长． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC＝90°， ∵E是OB的中点， ∴OE＝BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF＝∠COE＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：∵OB＝OC＝4，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF＝OC＝4， ∴AF＝4， ∴，即8×4＝4BD， ∴BD． 3．（2025·宿迁·模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 【详解】解：（1）直线AF与⊙O相切，理由如下： ∵∠FAE＝2∠ABD，∠FOA＝2∠ABD， ∴∠FAE＝∠FOA， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠FOA+∠EAO＝90°， ∴∠FAE+∠EAO＝90°，即∠FAO＝90°， ∴OA⊥FA， ∵OA为⊙O的半径， ∴直线AF与⊙O相切； （2）如图，延长AE交⊙O于点H，连接BH， ∵BD为⊙O的直径，AE⊥BD， ∴BD平分AH，即BD为AH的垂直平分线， ∴BA＝BH， ∵AB＝AC， ∴BH＝AC， ∴， ∴， ∴AH＝BC＝4， ∴AEAH＝2， 设⊙O的半径为r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣1， ∵在Rt△OAE中，AE2+OE2＝OA2， ∴22+（r﹣1）2＝r2，解得：r＝2.5， ∴⊙O的半径为2.5． 4．（2025·邗江区·三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，过点D作直线DE∥BC，连接OB，OC，BD，CD． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝2，BC＝8，求四边形OBDC的面积． 【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD，设OD与BC相交于点H， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BOD＝∠COD， ∵OB＝OC， ∴OD⊥BC， ∴∠OHC＝90°， 又∵DE∥BC， ∴∠ODE＝∠OHC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE与⊙O相切； （2）由（1）知：OD⊥BC， ∵OB＝OC， ∴OD垂直平分BC， ∴BHBC＝4， ∴DH2， ∴OH＝OD﹣DH＝OB﹣2， 在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2， ∴OB2＝42+（OB﹣2）2，解得：OB＝5， ∴OD＝OB＝5， ∴S四边形OBDC＝S△OBC+S△DBCBC•OHBC•DHBC（OH+DH）BC•OD＝20． 题型三 三角形的内心有关的角度计算（升级版） 1．（2023·邗江区·月考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是　　． 【详解】解：①∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，故①正确； ②如图，连接BE，CE， ∵E是△ABC的内心， ∴∠EBC∠ABC，∠ECBACB， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确； ③如图，连接BE，OB，OC，OD， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD， ∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE，故③正确； ④∵∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝DC，OD⊥BC， ∵点G为BC的中点， ∴G一定在OD上， ∴∠BGD＝90°， ∴BG⊥GD，故④正确； 综上，一定正确的结论为①②③④． 故答案为：①②③④． 2．（2024·盱眙县·期中）如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A＝2∠O＝120°，OD＝1，则BC的长为　　． 【详解】解：如图，连接OB，延长OD到E，使DE＝OD＝1，连接CE， 则OE＝2OD＝2， 在△ABC中，∠A＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝60°， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝30°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝150°， ∵2∠DOC＝120°， ∴∠DOC＝60°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD，BC＝2CD， 在△CED和△BOD中， ， ∴△CED≌△BOD（SAS）， ∴∠E＝∠BOD＝90°， ∴△OCE是直角三角形， 在Rt△OCE中，∠OCE＝90°﹣∠DOC＝30°， ∴OC＝2OE＝4， 由勾股定理得：CE， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD， ∴BC＝2CD． 故答案为：． 题型四 三角形的内接圆半径有关的计算 1．（2025·南京·模拟）如图，有一块三角形铁皮余料，AB＝14，BC＝13，CA＝12．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CA边上 D．△ABC内 【详解】解：当圆心在三角形的边上，圆与另外两边相切时，半圆半径最大，此时面积也最大， 当圆心O在AB上时，如图，AC，BC切半圆于E，D，连接OD，OE，连接AC， ∴OD＝OE，且OD⊥BC，OE⊥AC， 设OD＝OE＝r1， 则S△ABCAC•r1BC•r112r113r1r1， 同理可得：当圆心O在AC上时，设半圆半径为r2，则S△ABCr2， 当圆心O在BC上时，设半圆半径为r3，则S△ABC＝13r3， ∴r1r2＝13r3， ∴r1＞r3＞r2， ∴剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在AB上． 故选：A． 2．（2022·姜堰区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　　． 【详解】解：如图，连接MA、MB、MC， 过点M作MD⊥AB于点D，作ME⊥AC于点E，作MF⊥BC于点F， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵N为Rt△ABC的外心， ∴AN＝BN＝5， ∵M为△ABCD的内心， ∴MD＝ME＝MN， ∵S△ABC＝S△MAB+S△MAC+S△MBC， ∴， ∴MD＝ME＝MF＝2， ∵∠MEC＝∠MCF＝∠MFC＝90°， ∴四边形MECF为正方形， ∴CF＝MF＝2， ∴BF＝6﹣2＝4， ∵MD＝MF，BM＝BM， ∴Rt△BDM≌Rt△BFM（HL）， ∴BD＝BF＝4， ∴DN＝BN﹣BD＝5﹣4＝1， ∴MN． 故答案为：． 题型五 切线长定理的应用（升级版） 1．（2024·崇川区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【详解】解：如图，连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6， ∴AB＝AF+BF＝6+4＝10， ∵∠C＝90°， ∴四边形OECD是矩形， ∵EO＝DO， ∴矩形OECD是正方形， 设EO＝x，则EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴（x+4）2+（x+6）2＝102，解得：x＝2， ∴BC＝6，AC＝8， ∴S△ABC6×8＝24． 故选：A． 2．（2024·海州区·期中）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【详解】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝MF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6． 故选：C． 3．（2022·兴化市·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H， ∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC， ∴四边形ABGD是矩形， ∴BG＝AD＝3，CG＝BC﹣BG＝6﹣3＝3， ∵点E、F、H是切点， ∴DF＝DH，CF＝CE，OC平分∠ECF， ∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线， ∴EM＝FM， 设圆O半径为R，则BE＝R，DG＝2R， ∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝3﹣R， ∵DG2+CG2＝CD2， ∴（2R）2+32＝[（3﹣R）+（6﹣R）]2，解得：R＝2， ∴CE＝6﹣2＝4， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2025·高邮市·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F．若AD•DB＝3，则△ABC的面积为　　． 【详解】解：设圆的半径是r， ∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F， ∴AD＝AF，CF＝CE，BD＝BE，∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠C＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝r， ∴AC＝AF+r＝AD+r，BC＝BE+r＝BD+r， ∵AB2＝BC2+AC2， ∴（AD+BD）2＝（BD+r）2+（AD+r）2， ∴AD•BD＝r2+（AD+BD）•r， ∵△ACB的面积AC•BC， ∴△ACB的面积（AD+r）（BD+r）[AD•BD+（AD+BD）•r+r2]（2AD•BD）＝AD•BD＝3． 故答案为：3． 1．（2023·江阴市·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0），点C是△ABO的内心．直线a1、b1分别经过点A、B，且a1∥b1．若直线a1关于AC对称的直线为a2，直线b1关于BC对称的直线为b2，直线a2、b2交于点P，则CP的最大值为　　． 【详解】解：如图，作△ABO的内切圆分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F， ∵点C是△ABO的内心， ∴点C是△ABO的内切圆的圆心， 连接CD、CE、CF，则CD＝CE＝CF，CD⊥OA，CE⊥OB，CF⊥AB， ∵∠ODC＝∠OEC＝∠DOE＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODCE是正方形， ∵A（0，6），B（8，0），∠AOB＝90°， ∴OA＝6，OB＝8， ∴AB10， ∵AD＝AF，BE＝BF， ∴AD+BE＝AF+BF＝AB＝10， ∴OD+OE＝2OD＝OA+OB﹣（AD+BE）＝6+8﹣10＝4， ∴CF＝CD＝OD＝2， ∴AF＝AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4， 设直线a1交x轴于点G，H为直线b1上一点， ∵a1∥b1， ∴∠AGB＝∠OBH， ∵∠AOG＝90°， ∴∠OAG+∠OBH＝∠OAG+∠AGB＝90°， ∵直线a1关于AC对称的直线为a2，直线b1关于BC对称的直线为b2， ∴∠PAC＝∠GAC，∠PBC＝∠HBC， ∵∠BAC＝∠OAC，∠ABC＝∠OBC， ∴∠PAC﹣∠BAC＝∠GAC﹣∠OAC，∠PBC﹣∠ABC＝∠HBC﹣∠OBC， ∴∠PAB＝∠OAG，∠PBA＝∠OBH， ∴∠PAB+∠PBA＝∠OAG+∠OBH＝90°， ∴∠APB＝90°， 取AB的中点I，连接CI、PI，则PI＝AI＝BIAB＝5， ∴FI＝AI﹣AF＝5﹣4＝1， ∵∠CFI＝90°， ∴CI， ∵CP≤CI+PI，且CI+PI5， ∴CP5， ∴CP的最大值为5． 故答案为：5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$