培优01 集合与常用逻辑用语18种重难题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

培优01 集合与常用逻辑用语 题型1 集合的概念与表示 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要了解集合的定义，通过集合的三种表示方法了解集合的表示方法 2判断是否为同一集合的时候，集合中的元素要一一对应相等． 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 题型2 元素与集合间的关系以及相关求参数问题 判断元素与集合间的关系，首先要掌握集合和元素的关系 通过集合的互异性，确定性来列出相关关系式从而解决问题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】因为集合且，若， 因为，故，故， 又， 故即， 又，故即，故. 对于①：，故①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：ABC 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为： 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】记，根据条件将所求式子表示为，先分析的可行性，然后确定出最小值即可. 【详解】不妨设， 因为， 所以， 所以， 若要值最小，则， 下面分析的可能性： 当时，则四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶， 若四个数全为偶数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数全为奇数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为 ，两个偶数之和可能为， 此时两奇两偶的四个数之和不可能等于， 所以不成立， 所以当时，此时取值最小，最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定成立. 8．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 题型3 集合中元素的个数以及根据元素个数求参数 集合和元素的关系 ①属于：；②不属于： 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，， 对于选项A，当时，方程无实根， 所以，，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误， 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根，所以选项C错误， 对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，， 设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别与联系，从而得解. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案. 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 6．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 题型4 集合与集合间的相等关系以及根据相等关系求参数 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】对参数进行分类讨论求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以，故A正确. 故选：A 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 6．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据两个集合相等求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 题型5 有限集合的子集问题以及根据子集个数求参数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． · 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案. 【详解】因为， 所以， 故其非空真子集的个数为． 故选：B. 3．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 4．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D 6．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 7．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型6 集合元素互异性的应用 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数值或确定集合中元素个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可； 【详解】 如图， 因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 当，可分为 ，解得； ，解得； ，解得； 所以x的取值个数为6， 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答. 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    【答案】4 【难度】0.65 【知识点】图形的性质、集合元素互异性的应用 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    题型7 集合与集合间的包含关系以及根据包含关系求参数 集合中任意一个元素都是集合中的元素. 记作：或 读作：包含于或包含 ①任何一个集合是它本身的子集. ②若，且，则. 如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于. 记作：或 读作：真包含于或真包含 ①若，且，则. ②若，且，则. ③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间. 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系逐一判断即可. 【详解】①根据子集定义可知，①错误； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 3．（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定的包含关系． 【详解】根据已知得，，所以， 故选:． 4．（24-25高三下·河南·开学考试）列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（    ） A．实际水牌错水牌 B．实际水牌模式水牌 C．错水牌实际水牌 D．错水牌模式水牌 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据题设三种水牌的定义，判断它们的包含关系即可得答案. 【详解】由题意，错水牌是存在某个要素与模式水牌不符的实际水牌， 即错水牌⊆实际水牌，且错水牌一定不是模式水牌，C对，A、D错， 实际水牌可能存在要素与模式水牌不符，则实际水牌不包含于模式水牌，B错. 故选：C 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 6．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因为，，且MN， 所以， 故选：A 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据且，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，解得，， 因此的取值范围为, 故答案为：. 11．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】解出集合，根据可知，需分和两种情况讨论. 【详解】由，则． 因为，所以为方程的解集． ①若，则，所以或或， 当时，有两个相等实根，即不合题意， 同理，不合题意， 当时，符合题意． ②若，成立，则，即． 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、判断两个集合的包含关系 【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”； （2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证. 【详解】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. 14．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，求出集合A，根据题意可知，据此求解； （2）若则，则和3为方程的两个解，由韦达定理求解即可； （3）由，求出所有可能满足题意的m，由此得到集合D，再根据集合中恰有2个元素求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， ， ∴，故或, 解得或. （2）若则, 和3为方程的两个解, 由韦达定理得，解得, 此时, 故. （3），所以， ①若， 当时,则，不满足，所以； 当时,则， 当时,即，此时，满足, 当时,即，此时，满足, ②若 当时，, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时，即，由，得， 由根与系数的关系得解得. 且符合题意，此时, 综上所述，实数的所有可能值构成的集合，而，易知， 当时，，因为集合中恰有2个元素，所以，解得； 当时,，因为集合中恰有2个元素，所以，此不等式无解， 综上所述：. 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 题型8 集合的交并补计算 求并集的方法 （1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性. （2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围. 求交集的方法 （1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素. （2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围. 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先化简集合再取交集即可. 【详解】由，则可以取0，1，2，，由，得，解得，所以. 故选：B 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，则， 故选：A． 3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、并集的概念及运算 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 5．（24-25高一下·湖南·期末）若或，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由可知，集合包含所有的偶数， 因为为偶数，又或， 所以集合中的元素都为奇数，所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 8．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知集合．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、判断两个集合的包含关系 【分析】由已知可得，分和两种情况列不等式分别求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上，实数a的取值范围为. 题型9 根据交并补计算结果求参数 1.根据交集的性质得到关系式从而确定参数 2.根据并集的性质得到关系式从而确定参数 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题可得方程在上只有1个解，据此可得答案. 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. . 若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 故答案为： 4.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由题意，，再根据求解即可； （2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）当时，， ， 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 6．（2025高三·全国·专题练习），，，已知，，求a的值及m的取值范围． 【答案】或；或． 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合，化简集合，根据得到,，对集合B和集合进行分类讨论，即可得到实数a，m的取值结果. 【详解】由解得或，所以， ∵，∴ 由，得． 所以或， 所以或，所以或． 又由得，，所以可能为，，， 当时，只需，解得； 当为单元集时，只需，解得. 时，不符合题意；时，不符合题意； 当时，则，解得； 所以或 综上得：或；或． 7．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 题型10 容斥原理的应用 若集合A为有限集,则用card(A)表示集合A中元素的个数. 如果集合A中含有个元素,那么有card(A). （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B,有cardcard(A)card(B)－card. （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C,有 cardcard(A)card(B)－card－card－card＋ card. 1．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】首先分别确定两科等级一科为，一科为的人数，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】两科等级均为的学生有人， 因为仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为， 所以物理等级为，化学等级为的有人人； 化学等级为，物理等级为的有人； 对于A，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至多有人，A错误； 对于B，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至少有人，B错误； 对于C，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，C正确； 对于D，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 4．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 6．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加象棋的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加跳棋比赛的同学组成集合，再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加跳棋比赛的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加象棋的同学组成集合， 所以集合中有14个元素，中有8个元素，中有15个元素， 由题意可知中有3个元素，有1个元素，由3个元素，， 所以，解得，所以同时参加军棋和跳棋比赛的有4人， 故答案为：4． 8．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 题型11 利用Venn图求集合 利用图形对交集和并集，补集进行计算 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 2．（22-23高二下·山东烟台·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】阴影部分表示的集合为，故求出后可求交集. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为，，则或， 则， 故选：A. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 4．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 5．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 题型12 集合新定义 新定义问题 1．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义 【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【详解】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 2．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 【答案】1008 【难度】0.4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据和，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 题型13 充分条件与必要条件的概念辨析 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据等式的性质分别判断各个小题即可. 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 2．（2016高二·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 3．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】充分条件 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】充分条件、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合， 是的充分不必要条件； 对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合， 是的充要条件； 对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件； 对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件. 故选：BC. 6．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、集合新定义 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （4）若是空集，则A与B均是空集． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】写出原命题的逆命题及真假判断、判断命题的真假 【分析】先写出各命题的逆命题，再根据题意判断原命题和它们的逆命题的真假. 【详解】（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等, 命题（1）是真命题，但它的逆命题是真命题； （2）逆命题：若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等， 命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题； （3）逆命题：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根. 若一元二次方程有两个不相等的实数根， 则，则， 若，则，则一元二次方程有两个不相等的实数根. 命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题． （4）逆命题：若A与B均是空集，则是空集. 命题（4）和它们的逆命题都是真命题. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 题型14 判断命题的充分必要性 判断命题充分必要性的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 1．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、充要条件的证明 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、探求命题为真的充要条件、既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 5．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、充分条件、必要条件 【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解. （2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. （3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 题型15 根据命题的充分条件或必要条件求参数 根据充分条件和必要条件的性质建立关系式求取值范围 1．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】充分条件、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 2．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知命题的真假求参数、根据必要不充分条件求参数、必要条件 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 则； （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 3．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【详解】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 4．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 题型16 全称量词和存在量词的概念与辨析 1.判断全称量词命题为真，需进行证明，判断其为假，只需举出一个反例即可. 2.判断存在量词命题为真，只需找一个特例，判断其为假，需进行证明注意： (1)全称量词命题和存在量词命题的真假，一定要结合生活中的实例，通过运用相关的数学知识进行判断 (2)当命题的真假不易判断时，可以转化为判断其否定的真假，当命题的否定为真时，原命题为假;当命题的否定为假时，原命题为真. 1．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据题中命题的含义及结构形式逐项判断即可. 【详解】选项A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，选项B是含有全称量词的全称量词命题. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 4．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 5．（2025高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数都是有理数； (2)有的一元一次方程无解； (3)所有的二次函数的图象的开口都向下． 【答案】(1)全称量词命题，表示． (2)存在量词命题，∃一元一次方程，方程无解． (3)全称量词命题，∀二次函数，它的图象的开口都向下． 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】（1）先判断全称量词命题，再改写命题； （2）先判断存在量词命题，再改写命题； （3）先判断全称量词命题，再改写命题； 【详解】（1）全称量词命题，表示为． （2）存在量词命题，∃一元一次方程，方程无解． （3）全称量词命题，∀二次函数，它的图象的开口都向下． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【难度】0.85 【知识点】用存在量词改写命题、用全称量词改写命题 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 题型17 全称量词和存在量词命题的否定以及应用 与全称量词和存在量词否定有关问题的解题策略 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】需要分别判断命题和命题的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出和的真假． 【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题； 对于q，，则，故q是假命题，是真命题. 综上，和都是真命题. 故选：D. 2．（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 4．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 5．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 6．（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】本题考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 7．（24-25高三上·福建·期中）已知命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】命题的否定为：. 故选：C. 题型18 根据全称命题或特称命题的性质求参数 1. 常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。 2. 求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。 3.若情况较多的时候，也可以采用正难则反的思路进行求解 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可. 【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题， 即在上恒成立，令，则， ，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 4．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的有 （  ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据命题真假相关知识判断即可； 对于C，根据特称命题为假命题，结合二次方程相关知识判断即可； 对于D，根据全称命题为假命题，结合二次不等式相关知识进行判断即可. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，由恒成立，则命题“”是真命题，故B正确； 对于C，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，命题为真命题，又函数开口向上， 则无实根，则，解得， 则实数的取值范围是，故D错误. 故选：ABC. 5．（24-25高一上·广东·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．存在，使得是真命题 C．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为15 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误. 【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，正确； 对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解， 即存在，使得是假命题，错误； 对于C：若命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 即无实数解，则，解得，正确； 对于D：因为，所以，又因为， 所以满足条件的集合有无数个，只要集合B至少包含0,1,3,4四个元素都符合题意，错误. 故选：AC. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【详解】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 9．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 10．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 集合与常用逻辑用语 题型1 集合的概念与表示 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要了解集合的定义，通过集合的三种表示方法了解集合的表示方法 2判断是否为同一集合的时候，集合中的元素要一一对应相等． 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型2 元素与集合间的关系以及相关求参数问题 判断元素与集合间的关系，首先要掌握集合和元素的关系 通过集合的互异性，确定性来列出相关关系式从而解决问题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 8．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 题型3 集合中元素的个数以及根据元素个数求参数 集合和元素的关系 ①属于：；②不属于： 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 6．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2） 已知集合，若，求实数的值. 题型4 集合与集合间的相等关系以及根据相等关系求参数 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 6．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 题型5 有限集合的子集问题以及根据子集个数求参数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． ·1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 题型6 集合元素互异性的应用 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数值或确定集合中元素个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 2．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    题型7 集合与集合间的包含关系以及根据包含关系求参数 集合中任意一个元素都是集合中的元素. 记作：或 读作：包含于或包含 ①任何一个集合是它本身的子集. ②若，且，则. 如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于. 记作：或 读作：真包含于或真包含 ①若，且，则. ②若，且，则. ③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间. 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·河南·开学考试）列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（    ） A．实际水牌错水牌 B．实际水牌模式水牌 C．错水牌实际水牌 D．错水牌模式水牌 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，若且，则的取值范围 . 11．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若，则称集合为集合的元“好集”. (1)写出实数集上的一个二元“好集”； (2)是否存在正整数集的二元“好集”？说明理由. 14．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，集合，且． (1)若时，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 题型8 集合的交并补计算 求并集的方法 （1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性. （2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围. 求交集的方法 （1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素. （2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围. 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南·期末）若或，则 ． 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 8．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知集合．若，求实数a的取值范围． 题型9 根据交并补计算结果求参数 1.根据交集的性质得到关系式从而确定参数 2.根据并集的性质得到关系式从而确定参数 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 4.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 6．（2025高三·全国·专题练习），，，已知，，求a的值及m的取值范围． 7．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 题型10 容斥原理的应用 若集合A为有限集,则用card(A)表示集合A中元素的个数. 如果集合A中含有个元素,那么有card(A). （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B,有cardcard(A)card(B)－card. （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C,有 cardcard(A)card(B)－card－card－card＋ card. 1．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 2．（23-24高一上·北京·期中）学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 4．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 5．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 6．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 8．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 题型11 利用Venn图求集合 利用图形对交集和并集，补集进行计算 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23高二下·山东烟台·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 4．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 题型12 集合新定义 新定义问题 1．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有 个. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 题型13 充分条件与必要条件的概念辨析 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2016高二·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 7．（25-26高一上·全国·课前预习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （4）若是空集，则A与B均是空集． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 题型14 判断命题的充分必要性 判断命题充分必要性的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 1．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 5．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 题型15 根据命题的充分条件或必要条件求参数 根据充分条件和必要条件的性质建立关系式求取值范围 1．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·陕西安康·阶段练习）已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 3．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 4．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型16 全称量词和存在量词的概念与辨析 1.判断全称量词命题为真，需进行证明，判断其为假，只需举出一个反例即可. 2.判断存在量词命题为真，只需找一个特例，判断其为假，需进行证明注意： (1)全称量词命题和存在量词命题的真假，一定要结合生活中的实例，通过运用相关的数学知识进行判断 (2)当命题的真假不易判断时，可以转化为判断其否定的真假，当命题的否定为真时，原命题为假;当命题的否定为假时，原命题为真. 1．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数都是有理数； (2)有的一元一次方程无解； (3)所有的二次函数的图象的开口都向下． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 题型17 全称量词和存在量词命题的否定以及应用 与全称量词和存在量词否定有关问题的解题策略 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 4．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 6．（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·福建·期中）已知命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 题型18 根据全称命题或特称命题的性质求参数 1. 常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。 2. 求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。 3.若情况较多的时候，也可以采用正难则反的思路进行求解 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 4．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的有 （  ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 5．（24-25高一上·广东·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．存在，使得是真命题 C．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为15 6．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 9．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 10．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$