专题14.2 两边及其夹角证全等（SAS）（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.2 两边及其夹角证全等（SAS） 教学目标 1. 掌握全等三角形中SAS判定全等方法的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 教学重难点 1. 重点 （1）用“SAS”判定全等。 2. 难点 （1）添加条件形成“SAS”的全等判定方法； （2）用“SAS”证明全等。 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【即学即练1】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【答案】B 【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在△AOB和△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确； C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误； D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误； 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 【典例1】如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，BE＝CF，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 【答案】A 【解答】解：添加AF＝DE后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE， 理由：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， 故选：A． 【变式1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 【答案】A 【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故选：A． 【变式2】如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，使能运用（SAS）证明△ABD≌△ACD，则这个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．BD＝CD D．∠BAD＝∠CAD 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠ADB＝∠ADC， 补充∠B＝∠C，又AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS），故选项A不符合题意； 补充AB＝AC，无法证明△ABD≌△ACD，故B不符合题意； 补充BD＝CD，又AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS），故选项C符合题意； 补充∠BAD＝∠CAD， 又AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（ASA），故选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，点P在∠AOB的平分线上，若能用SAS判定△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 　OA＝OB　 【答案】OA＝OB． 【解答】解：需要添加OA＝OB． 理由如下：∵点P在∠AOB的平分线上， ∴∠AOP＝∠BOP， 在△AOP和△BOP中 ∵， ∴△AOP≌△BOP（ASA）， 故答案为：OA＝OB． 题型02 判定全等的依据—SAS 【典例1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，BC＝BC， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴依据是SAS， 故选：B． 【变式1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 【变式2】如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．证明△ABC≌△ADC的依据是（　　） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 【答案】D 【解答】解：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故选：D． 【变式3】如图，AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，连接BD，CE交于点O．不添加辅助线，判断△ABD≌△ACE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AA D．ASA 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点， ∴， ∴AE＝AD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 故选：B． 题型03 用SAS判定证明全等 【典例1】如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝EC．△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析． 【解答】解：△ABC与△DEF全等，理由如下： 由条件可知∠ACB＝∠DFE，BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见详解． 【解答】证明：由条件可得AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式2】如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF．△ABC与△AEF全等吗？请说明理由． 【答案】△ABC≌△AEF，理由见解析． 【解答】解：△ABC≌△AEF， 理由：∵∠BAE＝∠CAF， ∴∠BAC＝∠EAF． 在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）． 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE＝BD．求证：△ABD≌△ACE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B＝∠CAB，AB＝AC， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠CAB， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 1．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵AC∥FD， ∴∠CAD＝∠ADF， ∵AE＝DB， ∴ED＝AB， ∵AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：B． 2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AB，则△ABD≌△ACD的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 【答案】D 【解答】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）； 故选：D． 3．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（　　） A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D C．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F 【答案】D 【解答】解：只有BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F可以利用SAS证明△ABC和△DEF全等， 故选：D． 4．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 5．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，若再添加下列一个条件，仍然不能运用“SAS“说明△AOB≌△DOC，则这个条件是（　　） A．OB＝OC B．AD∥BC C．∠OBC＝∠OAD D．∠AOB＝∠AOD 【答案】D 【解答】解：A、在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故A不符合题意； B、∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OB＝OC， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故B不符合题意； C、∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∵∠OBC＝∠OAD， ∴∠OBC＝∠ADO， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OB＝OC， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故C不符合题意； D、根据∠AOB＝∠AOD，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，不能判断△AOB≌△DOC， 故D符合题意； 故选：D． 6．如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（　　） A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE 【答案】D 【解答】解：需要添加的条件是AB＝DE，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：D． 7．如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（　　） A．边边边 B．全等三角形的对应角相等 C．边角边 D．三角形的稳定性 【答案】C 【解答】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD， ∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理， 故选：C． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解答】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD＝CDBC， ∵BC＝10， ∴BD＝5． 故选：A． 9．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，AE和CD相交于点M，那么∠AMC＝（　　） A．135° B．120° C．105° D．90° 【答案】B 【解答】解：设AE交BD于点L， ∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC＝60°+∠DBE， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴∠BAE＝∠BDC， ∴∠ALD﹣∠BAE＝∠ALD﹣∠BDC， ∵∠ABD＝∠ALD﹣∠BAE，∠AMD＝∠ALD﹣∠BDC， ∴∠ABD＝∠AMD＝60°， ∴∠AMC＝180°﹣∠AMD＝120°， 故选：B． 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s）， 依题意得：BP＝4t cm，CQ＝at cm， ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝6cm，BC＝10cm， ∴∠B＝∠C＝90℃P＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm， 当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS）， 由BP＝CQ，得：4t＝at， 解得：a＝4； ②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS）， 由BP＝CP，得：4t＝10﹣4t， 解得：t， 由AB＝CQ，得：6＝at， 将t代入6＝at，得：a， 综上所述：a的值为4或． 故选：A． 11．如图点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是 　AB＝AC　 ． 【答案】AB＝AC． 【解答】解：∵AE＝AD，∠A＝∠A， ∴要根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是AB＝AC， 故答案为：AB＝AC． 12．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列条件：①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．可以利用SAS判断△ABC≌△DEC的是：　②　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：条件②可以利用SAS判断△ABC≌△DEC， 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， 故答案为：②． 13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　55°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 　65°　 ． 【答案】65°． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°． 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠CDE＝∠BFD， ∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°， ∴∠EDF＝∠B＝65°． 故答案为：65°． 15．在△ABC中，BC＝5，AB＝9，D为AC的中点，则AC边上的中线BD的取值范围是　2＜BD＜7　 ． 【答案】2＜BD＜7． 【解答】解：如图，延长BD至E，使DE＝BD，连接AE， 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BC＝5， 在△ABE中，AB﹣AE＜BE＜AB+AE，即9﹣5＜2BD＜9+5， ∴2＜BD＜7， 故答案为：2＜BD＜7． 16．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：AF∥EB． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵DF∥CE， ∴∠FDC＝∠ECD， ∴∠ADF＝∠BCE， 在△AFD和△BEC中， ， ∴△AFD≌△BEC（SAS）， ∴∠A＝∠B， ∴AF∥EB． 17．如图，△ABC与△DCE的顶点C重合，DE∥AB交AC于点F，已知AC＝DE，AB＝CD＝CF． 求证：△ABC≌△DCE． 【答案】见详解． 【解答】证明：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠CFD， ∵CD＝CF， ∴∠CFD＝∠D＝∠A， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． 18．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C． （1）试说明：△ABF≌△DCE； （2）连接AE，若∠AFB＝40°，∠D＝65°，AB＝AE，求∠AED的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠AED＝65°． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABF≌△DCE， ∠AFB＝40°， ∴∠DEC＝∠AFB＝40°，∠B＝∠C＝180°﹣∠D﹣∠DEC＝75°， 又∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝75°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝65°． 19．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE，在线段EC上截取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE． （1）△DCE与△FEB全等吗？为什么？ （2）若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数． 【答案】（1）△DCE≌△FEB，理由见解析； （2）83°． 【解答】解：（1）△DCE与△FEB全等；理由如下： ∵在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE， ∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠CBE， ∴CD∥BE， ∴∠DCE＝∠BEF， 在△DCE和△FEB中， ， ∴△DCE≌△FEB（SAS）； （2）由（1）知：△DCE≌△FEB，∠FBE＝35°， ∴∠DEC＝∠FBE＝35°， ∵BCE是等腰三角形， ∴CE＝BE， ∴∠BCE＝∠CBE， ∵∠CBE＝∠A＝66°， ∴∠BCE＝∠CBE＝∠A＝66°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE＝48°， ∴∠DEB＝∠BEC+∠DEC＝48°+35°＝83°． 20．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　C　 ． A．AAS B．SSS C．SAS D．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　4＜AD＜11　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　4　 ． 【答案】【问题情境】（1）C；（2）4＜AD＜11； 【初步运用】证明见解答过程； 【拓展提升】4． 【解答】【问题情境】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：C； （2）解：△ABC中，若AB＝15，AC＝7， 由（1）可知：△ADC≌△EDB， ∴AC＝DE＝7， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD 在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即15﹣7＜2AD＜15+7， ∴8＜2AD＜22， ∴4＜AD＜11， ∴BC边上的中线AD的取值范围是：4＜AD＜11， 故答案为：4＜AD＜11； 【初步运用】证明：延长AD到H，使DH＝AD，连接BH，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDA中， ， ∴△BDH≌△CDA（SAS）， ∴BH＝AC，∠H＝∠EAF， ∵∠EAF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFH， ∴∠H＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴BF＝AC； 【拓展提升】解：延长HE到K，使EK＝EG，连接BK，如图3所示： 设AF＝a， ∵AB＝15， ∴BF＝AB﹣AF＝15﹣a， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵EF∥AD， ∴∠AFG＝∠FAD，∠G＝∠CAD， ∴∠AFG＝∠G， ∴AG＝AF＝a， ∵AC＝7， ∴CG＝AC+AG＝7+a， ∵点E为边BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEK和△CEG中， ， ∴△BEK≌△CEG（SAS）， ∴BK＝CG＝7+a，∠K＝∠G， ∵∠AFG＝∠G，∠AFG＝∠BFK， ∴∠K＝∠BFK， ∴BF＝BK， ∴15﹣a＝7+a， 解得：a＝4， ∴AF＝a＝4． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.2 两边及其夹角证全等（SAS） 教学目标 1. 掌握全等三角形中SAS判定全等方法的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 教学重难点 1. 重点 （1）用“SAS”判定全等。 2. 难点 （1）添加条件形成“SAS”的全等判定方法； （2）用“SAS”证明全等。 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【即学即练1】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【即学即练2】 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【即学即练3】 3．如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF． 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 【典例1】如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，BE＝CF，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 【变式1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 【变式2】如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，使能运用（SAS）证明△ABD≌△ACD，则这个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．BD＝CD D．∠BAD＝∠CAD 【变式3】如图，点P在∠AOB的平分线上，若能用SAS判定△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是　 　 题型02 判定全等的依据—SAS 【典例1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式2】如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．证明△ABC≌△ADC的依据是（　　） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 【变式3】如图，AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，连接BD，CE交于点O．不添加辅助线，判断△ABD≌△ACE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AA D．ASA 题型03 用SAS判定证明全等 【典例1】如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝EC．△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 【变式2】如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF．△ABC与△AEF全等吗？请说明理由． 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE＝BD．求证：△ABD≌△ACE． 1．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AB，则△ABD≌△ACD的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 3．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（　　） A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D C．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F 4．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 5．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，若再添加下列一个条件，仍然不能运用“SAS“说明△AOB≌△DOC，则这个条件是（　　） A．OB＝OC B．AD∥BC C．∠OBC＝∠OAD D．∠AOB＝∠AOD 6．如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（　　） A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE 7．如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（　　） A．边边边 B．全等三角形的对应角相等 C．边角边 D．三角形的稳定性 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，AE和CD相交于点M，那么∠AMC＝（　　） A．135° B．120° C．105° D．90° 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 11．如图点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是 　 　 ． 12．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列条件：①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．可以利用SAS判断△ABC≌△DEC的是：　 　 ． 13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 　 　 ． 15．在△ABC中，BC＝5，AB＝9，D为AC的中点，则AC边上的中线BD的取值范围是　 　 ． 16．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：AF∥EB． 17．如图，△ABC与△DCE的顶点C重合，DE∥AB交AC于点F，已知AC＝DE，AB＝CD＝CF． 求证：△ABC≌△DCE． 18．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C． （1）试说明：△ABF≌△DCE； （2）连接AE，若∠AFB＝40°，∠D＝65°，AB＝AE，求∠AED的度数． 19．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE，在线段EC上截取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE． （1）△DCE与△FEB全等吗？为什么？ （2）若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数． 20．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　 　 ． A．AAS B．SSS C．SAS D．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　 　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$