几何法求离心率 讲义-2026届高三数学一轮复习

离心率求值--通过几何性质找a，b，c有关的齐次方程 尽可能的不去设直线方程与曲线方程联立，而是根据以下几何性质列（齐次）方程： 1、 最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中。如下图： 2、已知平行条件，①用法一：找相似，转为线段的相似比关系； ②用法二：利用平行的传递性，转化为垂直关系，即； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了。 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理。 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF。 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O 为F1F2的中点）， 连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半。 ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系。 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边 有关的方程。 ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系。 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值 联想到| 12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程。 ★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个 的公共角余弦定理相等构造方程。 14、双曲线还可利用双曲线特征三角形（以a,b,c为边的三角形），以及渐近线求离心率。如下图：特征三角形重点是要记住对应的模型，以及点P的坐标以及 （一） （二） （三） （四） 几何法求离心率的值 【题型一】连接两个焦点 【例1】是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设椭圆左焦点，连接，，， 设，由对称性可得， 由椭圆的定义可得：，，， 因为，，所以， 在中，由勾股定理可得， 即，解得：， 在中，，，， 由，可得，即， 所以离心率， 故选：D. 【例2】已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线左､右支于另一点､，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】如图，由双曲线的定义可得， 由，可得，， 结合双曲线性质可以得到， 而，结合四边形对角线平分， 可得四边形为平行四边形， 结合，故， 对三角形，用余弦定理，得到， 因为，可得，，， 代入上式子中，得到，即， 由离心率满足，即可得出， 故选：D． 变式1 如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左，右两支于，若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【题型二】 中点（中点坐标公式，或者构造中位线） 【例3】已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是 A． B． C． D． 【详解】如图所示，由题意可得：， 结合是以为直角顶点的等腰直角三角形可得：， 结合可得：， 令,则，， 在中:,整理可得：， 在中:, 即，计算可得：. 故选择D选项. 【例4】已知双曲线的左焦点为，过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点，且为线段的中点，若的渐近线上存在一点，使得，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【详解】由题意，记左焦点为，右焦点为， 双曲线的渐近线方程为：， 连接，因为过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点， 因为为线段的中点，为线段的中点， 所以，又轴，所以轴， 因此点横坐标为，代入，可得其纵坐标为， 即；因此，， 所以直线所在直线方程为：； 因为的渐近线上存在一点，使得，所以点在直线上， 由解得：，即， 因为，所以，即，即，整理得：， 所以离心率. 故选：B. 【例5】已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于渐近线的一条直线交双曲线右支于A，垂足为M，若M是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【详解】连接，因为若M是的中点，O是中点， 所以是三角形的中位线，所以∥OM， 因为⊥OM，所以⊥，因为，则，，解得：，所以双曲线离心率为. 故选：B 变式3 已知双曲线的左､右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 变式4 已知双曲线的右焦点为F，M是y轴正半轴上的点，以F为圆心，为半径的圆过其左焦点，交双曲线于点P，且P为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 变式5 已知，分别是双曲线的左、右焦点，第一象限的点在渐近线上，满足，直线交双曲线左支于点，若点是线段的中点，则该双曲线的离心率为_____. 变式6 如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【题型三】公共角的余弦定理相等 【例6】设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为 【答案】 【详解】设，因，则，，，， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 在中，由余弦定理得：， 即，即，即，椭圆的离心率为. 【例7】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为 【答案】 【详解】如图，由，得，取的中点M， 则四边形为平行四边形，， 于是， 则，解得，， 由椭圆定义知，又，， 由，得，即， 在和中，余弦定理得：， 即，整理得， 所以C的离心率为. 【例8】已知椭圆，，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为是上顶点，所以， 由椭圆定义可得，又，则可得， 则由余弦定理可得， 则整理可得，则离心率，故选：A. 【例9】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以可设，，， 因为，所以，解得， 因为，所以，，，所以， 在中，，， 由，可得，即椭圆的离心率为. 故选：B. 变式7 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与相交于点，，则椭圆的离心率为___________. 变式8 设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式9 已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 变式10 已知双曲线的右焦点为，直线与的左、右两支及轴分别交于A，B，C三点，若x轴上的点M满足，且，则的离心率为 . 【题型四】角平分线的用法 【例10】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】∵是的角平分线，为的中点，∴，， 又，∴，，∴，，∴， 由双曲线的定义可得，则，， 由是的角平分线可得，即，∴，即， 由得，解得或，， ∴. 【例11】已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为 . 【答案】 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此，则，可得，， 又，则，因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以，所以，. 变式11 已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A ，满足，则双曲线C的离心率为______． 变式12 已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【题型五】角度条件可利用余弦定理，而特殊角还可以做垂直构造特殊的直角三角形 【例12】已知双曲线的在、右焦点分别，过作的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【详解】设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为， 因为，，所以， 又为的中点，所以为的中位线，又，所以， 在中，，所以，， 在中，，，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 所以，所以，所以．故选：D． 变式13 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【题型六】利用向量转化为几何关系，或者线段比例关系 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________． 【详解】，所以， 又，所以是直角三角形，，， 又，，所以，，，所以． 【例14】设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由双曲线的对称性可得， 有四边形为平行四边形，令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故答案为：. 变式14 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B．4 C．2 D． 变式15 已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【题型七】仿垂径定理，焦半径比值公式。 【例15】已知椭圆，其左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于两点A，B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，设，方程为， 联立方程得，所以①，② 因为，，所以③， 所以由①③得④，所以将④代入②得， 因为，所以，即，所以橢圆C的离心率.故选：A. 【例16】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】设交点坐标分别为、，则， ∴两式作差得，而是交点的中点， ∴，结合已知直线方程，有，又， ∴，可得.故选：B. 【例17】已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】不妨设，由且轴， 所以，所以，从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，.故选：B. 变式16 （多选题）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C． D．双曲线的离心率为 变式17 已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为 . 【题型八】内切圆半径 【例17】如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为， 则，由及双曲线的定义可知，， 故四边形是正方形， 得，于是，故，所以， 于是，在中， 由余弦定理可得，从而，所以. 故选：D. 【例18】如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【详解】由题意，直角三角形的内切圆半径r， ∵|F1F2|，∴10，∴2|AF1||AF2|＝4，∴14，∴|AF1|+|AF2|＝2a， ∵|F1F2|，∴椭圆的离心率是e．故选B． 【例19】已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设椭圆的方程为：，， 则有，， 所以， 所以，所以的内切圆的半径为，由椭圆定义可得， 所以. 故选：D. 变式18 已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式19 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的右支交于A，B两点，且，的内切圆半径，则C的离心率为 ． 变式20 已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点， 的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 . 【题型九】双曲线的特征三角形，渐近线 【例21】已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】双曲线的右焦点,设点关于一条渐近线的对称点为， 由题意知，，解得.又知，解得， 所以，即，所以双曲线C的离心率是 故选：C. 【例22】设，为双曲线C：的左右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，若，则C的离心率为____. 【详解】渐近线方程为，则焦点到渐近线距离，即， 则，过点P作PA⊥x轴于点A，则，由勾股定理得：， 则，则直线方程为：，即，过点O作OB⊥于点B， 则，又，所以，即， 解得：，即C的离心率为，故答案为： 变式21 已知是双曲线的右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________． 变式22 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（    ） A． B．4 C． D．6 变式23 已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________. 【题型十】点坐标带入方程（没有办法构造曲线的几何定义） 【例23】是椭圆上一点，A，B是椭圆的左，右顶点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知， 则. 由题意不妨设，又，， 所以，则的离心率为. 故选：D 【例24】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，设因为，所以， 所以，得，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得，所以离心率， 故选：A 变式24 已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式25 如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左，右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接．若，则椭圆离心率e的值为____________． 【题型十一】外接圆 【例25】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点，当最小时，的离心率为 . 【答案】 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知；设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值，则此时在中，， 则,即，整理得， 故椭圆离心率，故答案为： 变式26 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是 ． 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式8 变式9 变式10 D C B C D C 变式11 变式12 变式13 变式14 变式15 变式16 变式17 变式18 变式19 变式20 B D C ABD D 变式21 变式22 变式23 变式24 变式25 变式26 C B A D 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式8 变式9 变式10 D C B C D C 变式11 变式12 变式13 变式14 变式15 变式16 变式17 变式18 变式19 变式20 B D C ABD D 变式21 变式22 变式23 变式24 变式25 变式26 C B A D 离心率求值--通过几何性质找a，b，c有关的齐次方程 尽可能的不去设直线方程与曲线方程联立，而是根据以下几何性质列（齐次）方程： 1、 最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程， 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中。如下图： 2、已知平行条件，①用法一：找相似，转为线段的相似比关系； ②用法二：利用平行的传递性，转化为垂直关系，即； 3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理； ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”； ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半； 4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了。 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理。 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF。 7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O 为F1F2的中点）， 连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半。 ②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系。 8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边 有关的方程。 ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系。 9、出现有关向量的条件： （1）合并化简向量:同起点的向量的加法 同起点的向量的减法 （2），转化为线段的比值问题，设，则. 10、已知焦点三角形的内切圆半径 11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值 联想到| 12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程。 ★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个 的公共角余弦定理相等构造方程。 14、双曲线还可利用双曲线特征三角形（以a,b,c为边的三角形），以及渐近线求离心率。如下图：特征三角形重点是要记住对应的模型，以及点P的坐标以及 （一） （二） （三） （四） 几何法求离心率的值 【题型一】连接两个焦点 【例1】是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设椭圆左焦点，连接，，， 设，由对称性可得， 由椭圆的定义可得：，，， 因为，，所以， 在中，由勾股定理可得， 即，解得：， 在中，，，， 由，可得，即， 所以离心率， 故选：D. 【例2】已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线左､右支于另一点､，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】如图，由双曲线的定义可得， 由，可得，， 结合双曲线性质可以得到， 而，结合四边形对角线平分， 可得四边形为平行四边形， 结合，故， 对三角形，用余弦定理，得到， 因为，可得，，， 代入上式子中，得到，即， 由离心率满足，即可得出， 故选：D． 变式1 如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知. 设，则，可得，即. 所以，则，. 即，可得. 在中，由勾股定理得，即，解得． 故选：D．   变式2 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左，右两支于，若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的对称性可知：，又 四边形为平行四边形    ， 由双曲线定义可知：     由可知： 在中，由余弦定理得： 即：     本题正确选项： 【题型二】 中点（中点坐标公式，或者构造中位线） 【例3】已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是 A． B． C． D． 【详解】如图所示，由题意可得：， 结合是以为直角顶点的等腰直角三角形可得：， 结合可得：， 令,则，， 在中:,整理可得：， 在中:, 即，计算可得：. 故选择D选项. 【例4】已知双曲线的左焦点为，过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点，且为线段的中点，若的渐近线上存在一点，使得，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【详解】由题意，记左焦点为，右焦点为， 双曲线的渐近线方程为：， 连接，因为过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点， 因为为线段的中点，为线段的中点， 所以，又轴，所以轴， 因此点横坐标为，代入，可得其纵坐标为， 即；因此，， 所以直线所在直线方程为：； 因为的渐近线上存在一点，使得，所以点在直线上， 由解得：，即， 因为，所以，即，即，整理得：， 所以离心率. 故选：B. 【例5】已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于渐近线的一条直线交双曲线右支于A，垂足为M，若M是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【详解】连接，因为若M是的中点，O是中点， 所以是三角形的中位线，所以∥OM， 因为⊥OM，所以⊥，因为，则，，解得：，所以双曲线离心率为. 故选：B 变式3 已知双曲线的左､右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，则.故的渐近线方程为. 故选：C 变式4 已知双曲线的右焦点为F，M是y轴正半轴上的点，以F为圆心，为半径的圆过其左焦点，交双曲线于点P，且P为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【详解】因为，，所以，所以， 因为为的中点，所以，代入双曲线方程有， 整理得到，所以， 故，或，（舍去），所以， 故选：B． 变式5 已知，分别是双曲线的左、右焦点，第一象限的点在渐近线上，满足，直线交双曲线左支于点，若点是线段的中点，则该双曲线的离心率为_____. 【详解】，点在第一象限且在双曲线渐近线上，， 又直线的斜率为，， 又 ，点是线段的中点，， 又 在双曲线上， ，化简得， ，因为，故解得. 故答案为：. 变式6 如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为等腰的底边的长等于的半焦距,且为的中点即,则, 因为点在双曲线C:上,由双曲线定义可得,而则在直角三角形中,由勾股定理可得 化简可得 ，同时除以,可得； 解得 ，因为，所以 故选:C 【题型三】公共角的余弦定理相等 【例6】设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为 【答案】 【详解】设，因，则，，，， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 在中，由余弦定理得：， 即，即，即，椭圆的离心率为. 【例7】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为 【答案】 【详解】如图，由，得，取的中点M， 则四边形为平行四边形，， 于是， 则，解得，， 由椭圆定义知，又，， 由，得，即， 在和中，余弦定理得：， 即，整理得， 所以C的离心率为. 【例8】已知椭圆，，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为是上顶点，所以， 由椭圆定义可得，又，则可得， 则由余弦定理可得， 则整理可得，则离心率. 故选：A. 【例9】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以可设，，， 因为，所以，解得， 因为，所以，，，所以， 在中，，， 由，可得，即椭圆的离心率为. 故选：B. 变式7 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与相交于点，，则椭圆的离心率为___________. 【详解】设椭圆的左焦点为，由题意可知，，， 设圆交轴于另一点（不与点）重合，则， 则， 由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 即，即， 即，，解得，故答案为：. 变式8 设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，由椭圆的定义得， 在三角形和三角形中，由余弦定理得， 整理得.故选：D 变式9 已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 【详解】由题意 又则有：，可得：，， 中， 中．，可得：，解得：，则有： 故选：C 变式10 已知双曲线的右焦点为，直线与的左、右两支及轴分别交于A，B，C三点，若x轴上的点M满足，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】依题意得C为的左焦点，则.由，得 ，，，. 设，则，，， ，，，. 由双曲线的定义知，，即，①. 又，，， 即△ABF是等边三角形，.在△FBM中，由余弦定理知， ，即，化简得②. 由①②，得，所以的离心率. 故答案为：. 【题型四】角平分线的两种用法 【例10】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】∵是的角平分线，为的中点， ∴，， 又，∴，， ∴，，∴， 由双曲线的定义可得，则，， 由是的角平分线可得，即， ∴，即， 由得，解得或，， ∴. 【例11】已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为 . 【答案】 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此，则，可得，， 又，则，因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以，所以，. 变式11 已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A ，满足，则双曲线C的离心率为______． 【详解】令双曲线的半焦距为c，由知，， 因P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A， 则， 而，则，又， 中，由余弦定理得：， 即，解得，所以双曲线C的离心率. 故答案为： 变式12 已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以. 故选：B 【题型五】角度条件可利用余弦定理，而特殊角还可以做垂直构造特殊的直角三角形 【例12】已知双曲线的在、右焦点分别，过作的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【详解】设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为， 因为，，所以， 又为的中点，所以为的中位线，又，所以， 在中，，所以，， 在中，，，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 所以，所以，所以． 故选：D． 变式13 已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】, ，，， ，， 故选：B 【题型六】利用向量转化为几何关系，或者线段比例关系 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________． 【详解】，所以， 又，所以是直角三角形，，， 又，，所以，，，所以． 故答案为：． 【例14】设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由双曲线的对称性可得， 有四边形为平行四边形，令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故答案为：. 变式14 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B．4 C．2 D． 【详解】.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,, 由得，，，该双曲线的离心率. 故选：A. 变式15 已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】不妨设M在第一象限，由，两边平方后化简得：，所以. 在Rt△中，∵，∴， 由椭圆定义可知：所以离心率. 故选：C. 【题型七】仿垂径定理，焦半径比值公式。 【例15】已知椭圆，其左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于两点A，B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，设，方程为， 联立方程得，所以①，② 因为，，所以③， 所以由①③得④，所以将④代入②得， 因为，所以，即，所以橢圆C的离心率. 故选：A. 【例16】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】设交点坐标分别为、，则， ∴两式作差得，而是交点的中点， ∴，结合已知直线方程，有，又， ∴，可得. 故选：B. 【例17】已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】不妨设，由且轴， 所以，所以， 从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，. 故选：B. 变式16 （多选题）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C． D．双曲线的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为A，B关于原点对称，，， 设，， 因为，所以，， 解得：，，，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为三点共线，，，， 所以，则，故C错误； 对于D，因为，在双曲线上，所以，， ， 因为，即，其中， 所以，所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 变式17 已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】取的中点，设，，，，则． ∵，在椭圆上，∴，两式相减得， 即， ∴． ∵，∴，连接，则， ∴，∴，∴． ∵，∴，又，， ∴，得． ∴，∴，即， ∴的离心率. 故答案为：． 【题型八】内切圆半径 【例17】如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为， 则， 由及双曲线的定义可知，， 故四边形是正方形， 得，于是，故，所以， 于是，在中， 由余弦定理可得，从而，所以. 故选：D. 【例18】如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【详解】由题意，直角三角形的内切圆半径r， ∵|F1F2|，∴10，∴2|AF1||AF2|＝4，∴14，∴|AF1|+|AF2|＝2a， ∵|F1F2|，∴椭圆的离心率是e． 故选B． 【例19】已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设椭圆的方程为：，， 则有，， 所以， 所以，所以的内切圆的半径为，由椭圆定义可得， 所以. 故选：D. 变式18 已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，设点的纵坐标为， 的内切圆半径为，取线段的中点，设点的纵坐标为， 因为，所以， 所以，即，所以三点共线，且， 则， ， ， ，所以， ，则椭圆的离心率为.故选：A. 变式19 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的右支交于A，B两点，且，的内切圆半径，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意作出图形，设，则，，则， 由三角形的内切圆半径为， 又因为，所以， 所以，化简得 在中，，即， 化简得，由可得， 在中，，即， 化简得，由可得， 所以，化简得，解得， 所以离心率. 变式20 已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】分别过点和点作轴的垂线段,因，故易得：, 不妨设依题意得：①， 由余弦定理：， 整理得：，将① 式代入得： ②， 由①-②整理可解得：， 再将其代入② 式右边，计算可得： ③ 由题意，的面积为：，化简得：， 将③ 式代入并整理得：，因，则离心率为：. 故答案为：. 【题型九】双曲线的特征三角形，渐近线 【例21】已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】双曲线的右焦点,设点关于一条渐近线的对称点为， 由题意知，，解得.又知，解得， 所以，即，所以双曲线C的离心率是 故选：C. 【例22】设，为双曲线C：的左右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，若，则C的离心率为____. 【详解】渐近线方程为，则焦点到渐近线距离，即， 则，过点P作PA⊥x轴于点A，则，由勾股定理得：， 则，则直线方程为：，即，过点O作OB⊥于点B， 则，又，所以，即， 解得：，即C的离心率为.故答案为： 变式21 已知是双曲线的右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________． 【详解】设双曲线的渐近线方程为，，则点到渐近线的距离为，即，所以.如图所示，因为，所以， 设，则，得，即，所以. 故答案为： 变式22 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】设，已知、， ∵，∴，∴ N在，M在，∴， ∴，即N，，，， ∴，∴， 故选：B． 变式23 已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________. 【详解】双曲线方程为：，双曲线的渐近线方程为：， 假设A是双曲线渐近线上的一点，双曲线的左焦点为，右焦点为. 如图示：到渐近线的距离为：， ，在中，，又，， 在中根据余弦定理：， 又，，，，. 故答案为： 【题型十】点坐标带入方程（没有办法构造曲线的几何定义） 【例23】是椭圆上一点，A，B是椭圆的左，右顶点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，则. 由题意不妨设，又，， 所以，则的离心率为. 故选：D 【例24】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，设因为，所以， 所以，得，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得，所以离心率， 故选：A 变式24 已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，， 设，由，且，故，， 由点在椭圆上，故，整理得，故离心率，故选：B. 变式25 如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左，右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接．若，则椭圆离心率e的值为____________． 【详解】设椭圆半焦距为c，则，，直线的方程为：， 由消去y并整理得：，于是得点A的横坐标为，即， 由椭圆对称性知，点，则直线的斜率， 而，于是得，即，整理得，则， 所以椭圆离心率e的值为. 故答案为： 【题型十一】外接圆 【例25】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点，当最小时，的离心率为 . 【答案】 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知；设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值，则此时在中，， 则,即，整理得， 故椭圆离心率，故答案为： 变式26 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【详解】如图所示，直线与轴交于点，设，则， 因为， 所以， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得，则， 解得，所以双曲线 的离心率为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$