离心率的取值范围 讲义-2026届高三数学一轮复习

变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式8 变式9 C D A C B B B 变式10 变式11 变式12 变式13 变式14 A B 求离心率的取值范围----找a，b，c有关齐次不等式 1、 根据题中已知条件中的不等关系。 2、 两个重要不等关系。 1. 如果能求出一条焦半径（用含a，b，c的字母表示），则根据焦半径的有界性，椭圆 ,双曲线的焦半径有最小值，但要结合左右支以及左右焦点具体分析最小值是还是。由此构造齐次不等式，求出e的范围。 2. 如果能求出曲线上的一点的横坐标，可以根据坐标的有界性构造不等式，其中椭圆 3. 其他隐藏的不等关系，三角形两边之和大于第三边等。 3、 与顶角有关的e的问题 1. 在椭圆上存在一点P使得= ， . 思考：如果改为存在两点P或者三点P，使得= ，可以得出什么结论？ 2. 所有使得=的点均在椭圆内部， 3. 在椭圆外存在一点P使得= ， . 4、 交轨法： 特 征：适用于在椭圆上存在一点P使得 xxx 成立，求的取值范围。 解题方法：根据使得 xxx 成立的条件求出动点P的轨迹方程，又因为点P为椭圆上一点，则求出的轨迹方程和椭圆要有交点，据此画出两者相交的图像并找出相交所要满足的不等关系。 5、 双曲线可以结合渐近线的斜率，求的取值范围 根据交点的个数比较直线斜率与渐近线斜率的大小关系，找出齐次不等式。 【题型一】根据题中已知条件中的不等关系 【例1】已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】取椭圆的左焦点，连接，，则根据对称性有，，故为平行四边形，，，点到的距离，， 由，故. 故选：A. 【例2】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 【例3】已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是___________. 【详解】椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为， 连接，则四边形为矩形. 根据椭圆的定义：，则. ∴ ，∴，则，∴，∴椭圆离心率e的取值范围. 故答案为： 【例4】已知点分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，若如下图示，则，，∴，， 令，则有， 是锐角三角形，有，得∴，而可知：的范围 故选：D 变式1已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线， 在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：， 因为，所以， 又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以． 故答案为： 变式2 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，，则当时，双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意可设，则，则由双曲线的定义得①. 由得，即②. 由①②得. 易知函数在上单调递增，则当时，， 所以，即， 故选：C. 变式3 如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为 ．    【答案】 【详解】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C.到轴的距离)， ，则，即， ， 即点坐标为， 设双曲线的方程为，将代入方程，得①， 将，E代入①式，整理得， 消去，得，所以， 由于.所以，故， 又椭圆的焦点在x轴上，所以点在圆内，即， 所以，所以，， 所以，所以； 综上. 故答案为： 变式4 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，， 因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即， 又，所以，两边同时除以，得，即， 解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为， 故选：D． 【题型二】焦半径的有界性 【例5】椭圆的两个焦点与F1、F2，若P为其上一点，则，则椭圆离心离的取值范围为_____________． 【详解】试题分析：设P点的横坐标为x，∵，∴根据椭圆的第二定义，可得a+ex=2（a-ex） ∴3ex=a；∵x≤a，∴ex≤ea∴a≤ea，∴e≥；∵0＜e＜1，∴e[，1) 【例6】已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________. 【详解】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得： ，因，于是得， 而点P在双曲线M的右支上，即，从而有， 点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有， 因此，而，整理得，即， 解得，又，故有， 所以双曲线M的离心率的取值范围为. 故答案为： 【例7】已知，分别为双曲线的左、右焦点，若存在过的直线分别交双曲线的左、右支于，两点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【详解】在和中，由,可得, 即有，即为 . , . 故选:. 变式5 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ， 所以根据题意可得 ，整理可得 ，所以 ， 因为P在椭圆上，所以 ，即， 因为 ，所以，即 ，解得 ， 而椭圆离心率范围为 ，故 . 故选：A 变式6 已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为线段的垂直平分线恰好经过焦点，所以， 当点位于椭圆的左顶点时，最大为；当点位于椭圆的右顶点时，最小为； 所以，可得，所以， 故选：C 变式7 已知椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等即|FA|= 又 解得或（舍）又 故选：B 【题型三】利用其他隐藏条件的有界性 【例8】已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点，设，， 由得：， ，，， ，，直线方程为：， 令，解得：，即， 在线段上，，整理可得：，即， 又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：A. 【例9】已知，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点(异于左､右顶点)，若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是________. 【详解】的面积关系可得：，即， 即，整理为： ，两边同时除以， 得且，解得：. 故答案为： 变式8 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D．以上均不对 【详解】，是双曲线的左右焦点，延长交于点， 由直角与全等，则,所以是的中点， 是的角平分线，， 又点在双曲线上，则，则， 又是的中点， 是的中位线，，即， 在中，，，， 由三角形两边之和大于第三边得：， 两边平方得：，即， 两边同除以并化简得：，解得：，又，， 在中，由余弦定理可知，， 在中，，即， 又，解得：， 又，,即， ，综上所述：. 故选：B. 【题型四】与顶角有关的e的问题 【例10】已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【详解】椭圆上不存在点使，即在椭圆上任意点使. 根据焦点三角形的性质，当时，最大， 取，又，，，所以，即椭圆的离心率为：. 故选：C. 【例11】已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为,所以点的轨迹是以焦距为直径的圆, 又满足的点总在椭圆内部,∴, 故选:B. 变式9 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】由已知得，设，则， 因为，所以，，即， 因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以，即，所以， 故选：B. 变式10 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________. 【详解】设为椭圆的另一焦点，如图，连接，可得四边形为平行四边形， 又因为，所以. 在中，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 又因为，所以，又因为，故. 故答案为：. 【题型五】存在一点使得...成立---交轨法 【例12】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， 由，，化为，， 整理得，，，解得． 故选B 【例13】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或， 舍去． 所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 故选：D． 【例14】如图，椭圆的左、右焦点分别为、，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】由已知直线的方程为，若直线AB上存在点P使得， 则以点为圆心为半径的圆总和线段有公共点，即点到直线的距离小于等于， 所以，即，又， 所以，即，且，解得. 故选：D. 变式11 若椭圆（）和圆，（为椭圆的半焦距）．有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意得 ，即，也即，选A. 变式12 已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，，，， ， 所以，所以，． 故选：B 变式13已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是_____. 【详解】因为，所以（为坐标原点），所以， 因为，所以，所以，又， 所以，即，所以，又，所以. 故答案为： 变式14已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是__________. 【详解】根据双曲线的性质可得，双曲线上存在点P使， 则渐近线的斜率，即， 因为离心率，所以，因为，所以离心率的取值范围为. 故答案为： 【例15】 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点， 由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为，则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以.故答案为：. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 求离心率的取值范围----找a，b，c有关齐次不等式 1、 根据题中已知条件中的不等关系。 2、 两个重要不等关系。 1. 如果能求出一条焦半径（用含a，b，c的字母表示），则根据焦半径的有界性，椭圆 ,双曲线的焦半径有最小值，但要结合左右支以及左右焦点具体分析最小值是还是。由此构造齐次不等式，求出e的范围。 2. 如果能求出曲线上的一点的横坐标，可以根据坐标的有界性构造不等式，其中椭圆 3. 其他隐藏的不等关系，三角形两边之和大于第三边等。 3、 与顶角有关的e的问题 1. 在椭圆上存在一点P使得= ， . 思考：如果改为存在两点P或者三点P，使得= ，可以得出什么结论？ 2. 所有使得=的点均在椭圆内部， 3. 在椭圆外存在一点P使得= ， . 4、 交轨法： 特 征：适用于在曲线上存在一点P使得 xxx 成立，求的取值范围。 解题方法：根据使得 xxx 成立的条件求出动点P的轨迹方程，又因为点P为椭圆上一点，则求出的轨迹方程和椭圆要有交点，据此画出两者相交的图像并找出相交所要满足的不等关系。 5、 双曲线可以结合渐近线的斜率，求的取值范围 根据交点的个数比较直线斜率与渐近线斜率的大小关系，找出齐次不等式。 【题型一】根据题中已知条件中的不等关系 【例1】已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】取椭圆的左焦点，连接，，则根据对称性有，，故为平行四边形，，，点到的距离，， 由，故. 故选：A. 【例2】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 【例3】已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是___________. 【详解】椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为， 连接，则四边形为矩形. 根据椭圆的定义：，则. ∴ ，∴，则，∴，∴椭圆离心率e的取值范围. 故答案为： 【例4】已知点分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，若如下图示，则，，∴，， 令，则有， 是锐角三角形，有，得∴，而可知：的范围 故选：D 变式1已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 变式2 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，，则当时，双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式3 如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为 ．    变式4 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型二】焦半径的有界性 【例5】椭圆的两个焦点与F1、F2，若P为其上一点，则，则椭圆离心离的取值范围为_____________． 【详解】试题分析：设P点的横坐标为x，∵，∴根据椭圆的第二定义，可得a+ex=2（a-ex） ∴3ex=a；∵x≤a，∴ex≤ea∴a≤ea，∴e≥；∵0＜e＜1，∴e[，1) 【例6】已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________. 【详解】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得： ，因，于是得， 而点P在双曲线M的右支上，即，从而有， 点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有， 因此，而，整理得，即， 解得，又，故有， 所以双曲线M的离心率的取值范围为. 故答案为： 【例7】已知，分别为双曲线的左、右焦点，若存在过的直线分别交双曲线的左、右支于，两点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【详解】在和中，由,可得, 即有，即为 . , . 故选:. 变式5 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式6 已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式7 已知椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型三】利用其他隐藏条件的有界性 【例8】已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点，设，， 由得：， ，，， ，，直线方程为：， 令，解得：，即， 在线段上，，整理可得：，即， 又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：A. 【例9】已知，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点(异于左､右顶点)，若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是________. 【详解】的面积关系可得：，即， 即，整理为： ，两边同时除以， 得且，解得：；故答案为： 变式8 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D．以上均不对 【题型四】与顶角有关的e的问题 【例10】已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【详解】椭圆上不存在点使，即在椭圆上任意点使. 根据焦点三角形的性质，当时，最大， 取，又，，，所以，即椭圆的离心率为：. 故选：C. 【例11】已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为,所以点的轨迹是以焦距为直径的圆, 又满足的点总在椭圆内部,∴, 故选:B. 变式9 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式10 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________. 【题型五】存在一点使得...成立---交轨法 【例12】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， 由，，化为，， 整理得，，，解得． 故选B 【例13】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或， 舍去．所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 故选：D． 【例14】如图，椭圆的左、右焦点分别为、，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】由已知直线的方程为，若直线AB上存在点P使得， 则以点为圆心为半径的圆总和线段有公共点，即点到直线的距离小于等于， 所以，即，又， 所以，即，且，解得. 故选：D. 变式11 若椭圆（）和圆，（为椭圆的半焦距）．有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式12 已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式13已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是_____. 变式14已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是__________. 【例15】 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点， 由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为，则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以.故答案为：. 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式8 变式9 C D A C B B B 变式10 变式11 变式12 变式13 变式14 A B — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$