2.2 平行四边形 暑假巩固练习 2024--2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.2 平行四边形 暑假巩固 一、用角关系判定平行四边形 1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(　　) A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶4∶2∶3 C. 1∶2∶2∶1 D. 1∶2∶1∶2 2.在四边形ABCD中，AB∥DC，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形ABCD是平行四边形（　　） A.∠A+∠C＝180° B.∠B+∠D＝180° C.∠A+∠B＝180° D.∠A+∠D＝180° 3.从下面所给的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.2：3：2：3 B.2：2：3：3 C.1：2：3：4 D.1：2：2：3 4.如果一个四边形的四个角的比是4：5：4：5，则这个四边形是　     　形． 5.如图，已知∠B＝∠D，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要添加一个条件是　     　． 6.四边形ABCD中，如果∠A＝∠B，∠C＝∠D．那么四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 7.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形ABCD是平行四边形吗？如果是，请说明理由，并且用文字语言叙述你的发现． 二、平行四边形性质和判定的综合 如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　） A.GF＝EH B.四边形EGFH是平行四边形 C.EG＝FH D.EH⊥BD 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，AC，EF，添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是（　　） 2. A.BE＝DF B.AE∥CF C.OE＝OF D.AF＝AE 如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2 3. A.24 B.17 C.13 D.10 如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 4. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HEFG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________． 5. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 6. 如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H． 7.（1）求证：四边形AHCG是平行四边形； （2）若DG＝3，AH＝2，求AB的长． 三、平行四边形的对角相等，邻角互补 1.在平行四边形ABCD中，∠B－∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 2.如图，在ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　） A.45° B.55° C.65° D.70° 3.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 4.如图，在ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则平行四边形ABCD的周长等于 　   　． 6.如图，在ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 7.如图，点E是ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 四、两平行线之间的距离 1.在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，如果a∥b，a与b的距离是2 cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2 cm，那么a与c的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 2.如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（　　） A.AB B.AC C.AD D.DE 3.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　　） A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B.CE＝FG C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D.AC＝BD 4.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 5.夹在两条平行线间的 　     　相等． 6.一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？ 7.一条公路的某段如图所示，图中哪条线段的长度能比较确切地描述这一段公路的宽度？请说明理由． 五、平行四边形的对边平行且相等 1.如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A. 4 B. 3 C. D. 2 3.如果平行四边形ABCD的周长是L，ABBC，那么BC的长为（　　） A.L B.L C.L D.L 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，连接AC，BD，若∠ACB＝90°，则BD的长为 　   　． 6.如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是多少？ 7.在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF. 六、平行四边形的个数 1.以△ABC的任意两边为邻边作平行四边形，那么共可以作平行四边形（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图是由六个全等的正三角形拼成的图形，则图中的平行四边形共有（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 3.用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成（　　）个平行四边形． A.4 B.3 C.2 D.1 4.两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形．（判断对错）　　． 5.面积相等的两个三角形一定能拼成一个平行四边形． 　　（判断对错） 6.在5×5的正方形网格中，每个小格的边长均为1，把顶点是格点（即正方形的顶点）的四边形称为格点四边形． （1）在图中画出一个以AB为边的格点平行四边形ABCD； （2）在图中以AB为边的格点平行四边形共可画出　  　个． 7.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长． 七、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝11，△OCD的周长为29，则AC+BD的值为（　　） A.18 B.36 C.38 D.39 2.平行四边形一边长为12 cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A.8 cm和14 cm B.10 cm 和14 cm C.18 cm和20 cm D.10 cm和34 cm 3.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则ABCD的面积是(　　) A. 12 B. 12 C. 24 D. 30 4.如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝10，AD＝7，△BOC的周长为 　   　． 5.如图，在ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长_____ cm. 6.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF. 7.如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？ 八、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1s或2s B.2s或3s C.2s或4s D.2s或6s 2.如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（　　） A.△ABC与△PCA全等 B.△ABC与△PCA的周长相等 C.△ABC与△PCA的面积相等 D.四边形ACBP是平行四边形 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l2、l1上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15cm，BC＝10cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动，运动 　 　秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝16cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s），那么当t＝　  　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 6.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，设EF交∠BCA的平分线于点E．交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究线段OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由． 7.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F． （1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形； （2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形． 九、用边关系判定平行四边形 1.如图，已知四边形ABCD，添加下列条件后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD，AD＝BC B.AB∥CD，AD∥BC C.AB∥CD，AB＝CD D.AB∥CD，AD＝BC 2.已知四边形ABCD，则下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AD＝BC，且AB∥DC B.AD＝BC，且AB＝DC C.AC＝BD，且AC平分BD D.AC＝BD，且AC⊥BD 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 4.已知在四边形ABCD中，AB＝CD，请再添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形　    　． 5.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝8．要使四边形ABCD是平行四边形，则CD的长为 　 　． 6.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠BAC＝∠DCA＝90°，求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.已知，如图，点A、G、H、C在同一条直线上，AB∥DC，AB＝DC，AH＝CG．求证： （1）△ABG≌△CDH； （2）四边形GBHD是平行四边形． 十、平行四边形中的动点问题 1.如图，ABCD中，点E在BC上运动，连接AE、DE，以AE、DE为邻边作AEDF，当E从B向C运动时，AEDF的面积将（　　） A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大再减小 D.不变 2.如图，ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　） A.先变大再变小 B.先变小再变大 C.一直不变 D.以上都不对 3.如图，ABCD中，AB＝22 cm，BC＝8 cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1 cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10 cm时点E的运动时间是（　　） A.6 s B.6 s或10 s C.8 s D.8 s或12 s 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 　　　． 5.如图，ABCD中，AB＝7，BC＝5．CH⊥AB于点H，CH＝4，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DC﹣CH向点H运动，到点H停止，设点P的运动时间为t． （1）AH＝　  　； （2）若△PBC是等腰三角形，则t的值为　    　． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 7.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD． 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积． 十一、平行四边形的判定综合 1.下列各条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.一组对角相等 C.对角线相等 D.一组邻边相等 2.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A. ∠A＝∠B，∠C＝∠D B. AB∥CD，AD＝BC C. AB＝BC，AD＝DC D. AB∥CD，∠B＝∠D 3.下列图形一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.两个全等三角形 D.两个等腰直角三角形 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　      　（填序号）． 5.在四边形ABCD中，①AB∥CD，AB＝CD；②∠A＝∠C，∠B＝∠D；③AB＝AD，BC＝CD；④AB＝CD，AD＝BC．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　  　．（填序号） 6.如图，点A，B，C，D都在正方形网格格点上，试用多种方法说明四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）通过计算判断△ABC的形状； （2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积． 湘教版八年级下册 2.2 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、用角关系判定平行四边形 1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(　　) A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶4∶2∶3 C. 1∶2∶2∶1 D. 1∶2∶1∶2 【答案】D 【解析】根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选D. 2.在四边形ABCD中，AB∥DC，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形ABCD是平行四边形（　　） A.∠A+∠C＝180° B.∠B+∠D＝180° C.∠A+∠B＝180° D.∠A+∠D＝180° 【答案】C 【解析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证． ∠A+∠C＝180°与∠B+∠D＝180°以及∠B+∠C＝180°，都不能判定AD∥BC或者AB＝CD．故A、B、D不符合题意． 若∠A+∠B＝180°时，AD∥BC，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，选项C符合题意． 故选：C． 3.从下面所给的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.2：3：2：3 B.2：2：3：3 C.1：2：3：4 D.1：2：2：3 【答案】A 【解析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A选项能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定． 由题意得：∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角， 当∠A＝∠C，∠B＝∠D时，四边形ABCD是平行四边形， 故选项C、B、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 4.如果一个四边形的四个角的比是4：5：4：5，则这个四边形是　     　形． 【答案】平行四边 【解析】由四边形的内角和为360°，根据比例关系可以得出各个角度的大小，进而可以得出内错角互补，即对边平行，即为平行四边形． ∵四边形的内角和为360°，且四个角的比是4：5：4：5， ∴四个角分别为80°、100°、80°、100°， ∵80°+100°＝180°，即内错角互补， ∴对边平行， 根据定理两组对边平行的四边形为平行四边形，可以知道这个四边形为平行四边形． 故答案为：平行四边形． 5.如图，已知∠B＝∠D，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要添加一个条件是　     　． 【答案】∠A＝∠C． 【解析】已知∠B＝∠D，两组对角分别相等的四边形是平行四边形填空即可（此题答案不唯一） ∵在四边形ABCD中，∠B＝∠D， ∴可添加的条件是：∠A＝∠C， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：∠A＝∠C． 6.四边形ABCD中，如果∠A＝∠B，∠C＝∠D．那么四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 【答案】解：四边形ABCD不一定是平行四边形；理由如下： ∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是梯形， ∵∠A＝∠B， ∴四边形ABCD是等腰梯形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形ABCD是平行四边形吗？如果是，请说明理由，并且用文字语言叙述你的发现． 【答案】证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 二、平行四边形性质和判定的综合 如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　） A.GF＝EH B.四边形EGFH是平行四边形 C.EG＝FH D.EH⊥BD 【答案】D 【解析】 证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠GBF＝∠HDE， 在△GBF和△HDE中， ， ∴△GBF≌△HDE（SAS）， ∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE， ∴∠FGH＝∠EHG， ∴GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴EG＝FH，故ABC正确， ∵∠EHG不一定等于90°， ∴EH⊥BD不正确， 故选：D． 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，AC，EF，添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是（　　） 2. A.BE＝DF B.AE∥CF C.OE＝OF D.AF＝AE 【答案】D 【解析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可． A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 由AF＝AE不能判定四边形AECF为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2 3. A.24 B.17 C.13 D.10 【答案】B 【解析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ得到BE＝CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF＝S△APD＝3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积． 连接EF，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵Q是CE中点， ∴EQ＝CQ， 在△BEQ和△FCQ中， ， ∴△BEQ≌△FCQ（ASA）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2， ∵AB﹣BE＝CD﹣CF， 即AE＝FD， ∵AE∥FD， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∴S△PEF＝S△APD＝3cm2， ∴阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF＝14+3＝17（cm2）． 故选：B． 如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 4. 【答案】2 【解析】如题图，在▱ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.∵点E在CD的延长线上，∴AB∥ED.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∴AB＝ED＝DC＝EC＝2. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HEFG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________． 5. 【答案】①②③⑤ 【解析】平行四边形ABCD中，∴AD＝BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC＝AB，OD＝OB，∴∠CDB＝∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG＝BE＝AB，DH＝BF＝OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO＝DH，DH＝BF，∴BF＝HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA＝OC，OB＝OD，故④错误；∵△DHG≌△BFE，∴∠DHG=∠BFE，HG=EF，∴∠OHG=∠OFE，∴GH∥EF，∴四边形HEFG是平行四边形，故⑤正确； 如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 6. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，DE＝BF， ∵M、N是DE和BF的中点， ∴EM＝FN， ∴四边形ENFM是平行四边形． 如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H． 7.（1）求证：四边形AHCG是平行四边形； （2）若DG＝3，AH＝2，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴四边形AHCG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， 由（1）可知，四边形AHCG是平行四边形， ∴CG＝AH＝2， ∴AB﹣AH＝CD﹣CG， 即BH＝DG＝3， ∴AB＝AH+BH＝2+3＝5． 三、平行四边形的对角相等，邻角互补 1.在平行四边形ABCD中，∠B－∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【解析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A、∠B是邻角，故∠B可求解；然后由“平行四边形的对角相等”的性质得到∠D＝∠B． ∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A＝180°，∠B－∠A＝20°， ∴2∠B＝200°， ∴∠B＝100°． 又∵∠D＝∠B， ∴∠D＝100°． 故选：C． 2.如图，在ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　） A.45° B.55° C.65° D.70° 【答案】B 【解析】根据平行四边形的性质可知∠B＝∠D，再根据∠B+∠D＝110°，即可得到∠B的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝110°， ∴∠B＝∠D＝55°， 故选：B． 3.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 【答案】D 【解析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解． 在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAB＝180°－∠B＝180°－100°＝80°． ∵AE平分∠DAB， ∴∠AED∠DAB＝40°． 故选：D． 4.如图，在ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 【答案】23° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝67°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝67°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝90°－67°＝23°. 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则平行四边形ABCD的周长等于 　   　． 【答案】12 【解析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，得∠C的度数，由平行四边形邻补角性质求出∠B与∠D，再利用勾股定理求得边长，进而求出周长． ∵∠EAF＝45°， ∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°， ∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°， ∴AE＝BE，AF＝DF， 设AE＝x，则AF＝3x， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得： ABx， 同理：AD（3x）＝6x， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（x+6x）＝12． 故答案为：12． 6.如图，在ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC， ∵点E，F分别为边BC，AD的中点， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 7.如图，点E是ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 四、两平行线之间的距离 1.在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，如果a∥b，a与b的距离是2 cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2 cm，那么a与c的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 【答案】D 【解析】分为两种情况：画出符合条件的图形，即可得出答案． ①如图，直线a和直线c相交； ②如图，直线c和直线a平行； 即不能确定， 故选项A、B、C都不符合题意，选项D正确； 故选：D． 2.如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（　　） A.AB B.AC C.AD D.DE 【答案】B 【解析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． ∵m∥n，AC⊥n， ∴AC⊥m， ∴AC可以表示平行线m与n之间的距离， 故选：B． 3.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　　） A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B.CE＝FG C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D.AC＝BD 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可． A，∵FG⊥l2于点G， ∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确； B，∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G， ∴四边形CEGF是平行四边形， ∴CE＝FG，故本选项正确； C，∵CE⊥l2于点E， ∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误； D，∵l1∥l2，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC＝BD，故本选项正确； 故选：C． 4.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 【答案】10 【解析】过点A作AF⊥BD于点F， ∵△ABD的面积为16，BD＝8， ∴BD·AF＝×8×AF＝16， 解得AF＝4， ∵AE∥BD， ∴AF的长是△ACE的高， ∴S△ACE＝×AE×4＝×5×4＝10. 5.夹在两条平行线间的 　     　相等． 【答案】垂线段 【解析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答． ∵夹在平行线间的距离处处相等， 又∵两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离， ∴夹在两条平行线间的垂线段相等． 故答案为：垂线段． 6.一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？ 【答案】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米＝8厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米－3厘米＝2厘米； 综上所述：直线a与直线c之间的距离是8厘米或2厘米． 7.一条公路的某段如图所示，图中哪条线段的长度能比较确切地描述这一段公路的宽度？请说明理由． 【答案】解：线段AB的长是公路的宽度． 理由：∵线段AB是两条直线的垂线段， ∴线段AB的长是公路的宽度． 五、平行四边形的对边平行且相等 1.如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°； 故选C. 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】∵在ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AD＝7，AE＝4， ∴DE＝DC＝AB＝3. 故选B. 3.如果平行四边形ABCD的周长是L，ABBC，那么BC的长为（　　） A.L B.L C.L D.L 【答案】A 【解析】由于平行四边形的对边相等，已知周长，所以AB+BC，再根据已知即可求解． ∵平行四边形的周长是L， ∴AB+BC， 又ABBC， BC． 故选：A． 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠GCE＝∠B＝60°， ∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝2， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥DG， ∴∠G＝90°， ∴CG＝CE＝1， ∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4， ∴DE＝＝＝. 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，连接AC，BD，若∠ACB＝90°，则BD的长为 　   　． 【答案】 【解析】根据勾股定理得出AC，进而利用平行四边形的性质得出AD＝BC，再利用勾股定理解答即可． 过D作DE⊥BC交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝DE， ∴BD， 故答案为：． 6.如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是多少？ 【答案】解： ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠EAD， 在△ABC和△EAD中，AB＝AE，∠ABC＝∠EAD，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD(SAS)， ∴∠AED＝∠BAC. ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°， ∴∠AED＝∠BAC＝85°. 7.在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DCF， 又∵EF＝AD， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中，AB＝DC，∠B＝∠DCF，EB＝CF， ∴△BAE≌△CDF(SAS)， ∴∠BAE＝∠CDF. 六、平行四边形的个数 1.以△ABC的任意两边为邻边作平行四边形，那么共可以作平行四边形（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】分别利用△ABC的任意两边为平行四边形的一组邻边，第三边为平行四边形的一条对角线作出平行四边形即可． 如图所示：以△ABC的任意两边为邻边作平行四边形，那么共可以作3个平行四边形． 故选：C． 2.如图是由六个全等的正三角形拼成的图形，则图中的平行四边形共有（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】C 【解析】根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定求解即可． 如图，可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED＝EF＝AF＝AB＝BC＝CD＝OE＝OF＝OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形EDOF，EDCO，FOBA，OCBA，EOAF，CDOB是平行四边形，共6个． 故选：C． 3.用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成（　　）个平行四边形． A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2＝6个不同的四边形，其中有3个平行四边形． 如图所示： 共6个四边形，其中有3个平行四边形． 故选：B． 4.两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形．（判断对错）　　． 【答案】对. 【解析】由条件可知两个三角形全等，由平行四边形对角线分成两个全等三角形可得出结论． ∵平行四边形的一条对角线可把平行四边形分成两个全等三角形， ∴两个全等三角形可以拼成一个平行四边形， ∵两个完全一样的三角形为全等三角形， ∴两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形， 故答案为：对． 5.面积相等的两个三角形一定能拼成一个平行四边形． 　　（判断对错） 【答案】错． 【解析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而不是面积相等的两个三角形，据此解答． 两个形状不同的两个三角形，即使面积相等，也不能拼成一个平行四边形，故原说法错误． 故答案为：错． 6.在5×5的正方形网格中，每个小格的边长均为1，把顶点是格点（即正方形的顶点）的四边形称为格点四边形． （1）在图中画出一个以AB为边的格点平行四边形ABCD； （2）在图中以AB为边的格点平行四边形共可画出　  　个． 【答案】解：（1）如图所示： （2）如图所示：以AB为边的格点平行四边形共可画出14个． 故答案为：14． 7.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长． 【答案】解：有三种拼法，如图1中，两条对角线都是m； 如图2中，对角线分别为n和； 较长的对角线＝2． 如图3中，对角线分别为h和； 较长的对角线＝2． 七、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝11，△OCD的周长为29，则AC+BD的值为（　　） A.18 B.36 C.38 D.39 【答案】B 【解析】根据平行四边形的性质得出CD＝11，AC＝2OC，BD＝2OD，进而得出CO+DO＝18，即可得出AC+BD的值． ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，AB＝11， ∴CD＝AB＝11，AC＝2OC，BD＝2OD， ∵△OCD的周长为29， ∴CO+DO＝29－11＝18， ∴AC+BD＝2（OC+OD）＝36． 故选：B． 2.平行四边形一边长为12 cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A.8 cm和14 cm B.10 cm 和14 cm C.18 cm和20 cm D.10 cm和34 cm 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质得出AO＝COAC，BO＝DOBD，在每个选项中，求出AO、BO的值，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC，BO＝DOBD， A、AO＝4 cm，BO＝7 cm， ∵AB＝12 cm， ∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B、AO＝5 cm，BO＝7 cm， ∵AB＝12 cm， ∴在△AOB中，AO+BO＝AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； C、AO＝9 cm，BO＝10 cm， ∵AB＝12 cm， ∴在△AOB中，AO+BO＞AB，AB+AO＞BO，OB+AB＞AO，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； D、AO＝5 cm，BO＝17 cm， ∵AB＝12 cm， ∴在△AOB中，AO+AB＝BO，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； 故选：C． 3.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则ABCD的面积是(　　) A. 12 B. 12 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝10，BD＝6， ∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3， ∵AD＝4， ∴AD2＋DO2＝OA2， ∴△ADO是直角三角形，且∠BDA＝90°，即AD⊥BD， ∴ABCD面积为AD·BD＝4×6＝24. 故选C. 4.如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝10，AD＝7，△BOC的周长为 　   　． 【答案】16 【解析】根据平行四边形性质可求出，，BC＝AD，进而可求出最后结果． ∵四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O， ∴，，BC＝AD＝7， ∴△BOC的周长为BO+CO+BC＝4+5+7＝16， 故答案为：16． 5.如图，在ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长_____ cm. 【答案】4 【解析】在ABCD中， ∵AB＝CD＝2 cm，AD＝BC＝4 cm，AO＝CO，BO＝DO， ∵AC⊥BC， ∴AC＝＝6 cm， ∴OC＝3cm， ∴BO＝＝5 cm， ∴BD＝10 cm， ∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BC＋CD＋BD－(AB＋BC＋AC)＝BD－AC＝10－6＝4 cm， 6.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， ∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC， ∴△AEO≌△CFO(AAS)， ∴OE＝OF. 7.如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？ 【答案】证明　OE＝OF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠OFD＝∠OEB.又∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF. ∴OE＝OF. 八、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1s或2s B.2s或3s C.2s或4s D.2s或6s 【答案】D 【解析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． ①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 2.如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（　　） A.△ABC与△PCA全等 B.△ABC与△PCA的周长相等 C.△ABC与△PCA的面积相等 D.四边形ACBP是平行四边形 【答案】C 【解析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项． 选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以△ABC与△PCA不一定全等，故A错误； 选项B，△ABC的周长是定值，而△PCA的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误； 选项C，由于△ABC与△PCA都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道△ABC与△PCA属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确； 选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误． 故选：C． 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l2、l1上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图作三角形OAN，使∠ANO＝90°，根据平行四边形的作法可知四边形ABCD是平行四边形，先求出ON＝2，再根据直角三角形的性质得到AO≥ON，即可得到答案． 如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图作三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l2的距离为1， ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15cm，BC＝10cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动，运动 　 　秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 【答案】4． 【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP＝2x cm，CQ＝0.5x cm，QB＝（10﹣0.5x）cm再列方程解出x的值即可． 设x秒后，四边形ABQP是平行四边形， ∵P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动， ∴AP＝2x cm，CQ＝0.5x cm， ∵BC＝10cm， ∴QB＝（10﹣0.5x）cm， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴2x＝10﹣0.5x，解得：x＝4． 故答案为：4． 5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝16cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s），那么当t＝　  　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或16． 【解析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． ①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝16﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝16﹣2t， 解得：t； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣16（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣16， 解得：t＝16； 综上可得：当t或16s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或16． 6.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，设EF交∠BCA的平分线于点E．交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究线段OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由． 【答案】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD， 又∵CF平分∠ACD， ∴∠OCF＝∠FCD， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴OF＝OC， 同理：OE＝OC， ∴OE＝OF． （2）解：当点O运动到OCBC时，四边形BCFE是平行四边形． 理由：当点O运动到OCBC时，BC＝2OC， 由（1）知，OE＝OF＝OC， ∴EF＝2OC， ∴EF＝BC， ∵EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 7.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F． （1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形； （2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形． 【答案】证明：（1）如图1，∵Q为AB中点， ∴AQ＝BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ＝∠AEQ， 在△BFQ和△AEQ中： ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE＝QF， ∴四边形AEBF是平行四边形； （2）如图2，延长FQ交AE于D， ∵AE∥BF， ∴∠QAD＝∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中， ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF＝QD， ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线， ∴QE＝QF＝QD， ∴△QEF是等腰三角形． 九、用边关系判定平行四边形 1.如图，已知四边形ABCD，添加下列条件后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD，AD＝BC B.AB∥CD，AD∥BC C.AB∥CD，AB＝CD D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【解析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.已知四边形ABCD，则下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AD＝BC，且AB∥DC B.AD＝BC，且AB＝DC C.AC＝BD，且AC平分BD D.AC＝BD，且AC⊥BD 【答案】B 【解析】由平行四边形的判定可求解． ∵AD＝BC，且AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 【答案】B 【解析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：B． 4.已知在四边形ABCD中，AB＝CD，请再添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形　    　． 【答案】AD＝BC（或AB∥CD） 【解析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件． （1）∵AB＝CD， ∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：AD＝BC； （2）∵AB＝CD， 当AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时， 四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：AB∥CD． 5.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝8．要使四边形ABCD是平行四边形，则CD的长为 　 　． 【答案】8． 【解析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． ∵AB∥CD，AB＝8， 当CD＝AB时，四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝8， 故答案为：8． 6.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠BAC＝∠DCA＝90°，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）， ∴AB＝CD， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.已知，如图，点A、G、H、C在同一条直线上，AB∥DC，AB＝DC，AH＝CG．求证： （1）△ABG≌△CDH； （2）四边形GBHD是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠DCH， ∵AH＝CG， ∴AH﹣GH＝CG﹣GH， 即AG＝CH， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SAS）； （2）∵△ABG≌△CDH， ∴∠AGB＝∠DHC，BG＝DH， ∴∠BGH＝∠DHG， ∴BG∥DH， 又∵BG＝DH， ∴四边形GBHD是平行四边形． 十、平行四边形中的动点问题 1.如图，ABCD中，点E在BC上运动，连接AE、DE，以AE、DE为邻边作AEDF，当E从B向C运动时，AEDF的面积将（　　） A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大再减小 D.不变 【答案】D 【解析】设BC＝a，ABCD的高为h，BE＝x，根据图形可得SAEDF＝2S△AED＝SABCD﹣S△ABE﹣ S△CDE，求出即可得到答案． 设BC＝a，ABCD的高为h，BE＝x， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴S△AED＝SABCD﹣S△ABE﹣S△CDE ， ∴SAEDF＝ah， ∵ABCD的边长和高都是不变的， ∴AEDF的面积不变， 故选：D． 2.如图，ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　） A.先变大再变小 B.先变小再变大 C.一直不变 D.以上都不对 【答案】C 【解析】连接OD，BO，设点O到CD的距离为h1，到BE的距离为h2，到AD的距离h3，到BC的距离为h4，根据CD为定值，h1+h2，h3+h4是平行四边形ABCD的高，均为定值，得S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均为定值，根据△AEH的边长是定值，得S△AEH也为定值，所以可得△OEH与四边形OFCG的面积之和不变． 如图，连接OD，BO， 设点O到CD的距离为h1，到BE的距离为h2，到AD的距离h3，到BC的距离为h4， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝BC， ∵CG＝AE＝1， ∴DG＝BE， ∴S△DOG+S△BOEDG•h1BE•h2DG•（h1+h2）（CD－1）（h1+h2）， S△DHO+S△BFODH•h3BF•h42h32h4＝h3+h4， ∵CD为定值，h1+h2，h3+h4是平行四边形ABCD的高，均为定值， ∴S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均为定值， ∵△AEH的边长是定值， ∴S△AEH也为定值， ∵△OEH与四边形OFCG的面积之和为：平行四边形ABCD的面积－（S△DOG+S△BOE）－（S△DHO+S△BFO）－S△AEH，平行四边形ABCD的面积为定值， ∴△OEH与四边形OFCG的面积之和保持不变， 故选：C． 3.如图，ABCD中，AB＝22 cm，BC＝8 cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1 cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10 cm时点E的运动时间是（　　） A.6 s B.6 s或10 s C.8 s D.8 s或12 s 【答案】C 【解析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得平行四边形DGHF，利用勾股定理得EH＝6 cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可． 在ABCD中，CD＝AB＝22 cm，AD＝BC＝8 cm， 当F点在E点右侧时， 如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DGAD＝8， 过点F作FH⊥AB于点H， 得平行四边形DGHF， ∴DG＝FH＝8 cm，DF＝GH， ∵EF＝10 cm， ∴EH6 cm， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE－AG＝（2t－8）cm，DF＝CD－CF＝（22－t）cm， ∴GH＝GE+EH＝（2t－8）+6＝（2t－2）cm， ∴2t－2＝22－t， 解得t＝8， 当F点在E点左侧时， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE－AG＝（2t－8）cm，DF＝CD－CF＝（22－t）cm， ∴GH＝GE－EH＝（2t－8）－6＝（2t－14）cm， ∴2t－14＝22－t， 解得t＝12， ∵点E到达点B时，两点同时停止运动， ∴2t≤22，解得t≤11． ∴t＝12不符合题意，舍去， ∴EF的长为10 cm时点E的运动时间是8 s， 故选：C． 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 　　　． 【答案】 【解析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC＝45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AOAC2＝1， ∴OP′AO， ∴PQ的最小值＝2OP′， 故答案为：． 5.如图，ABCD中，AB＝7，BC＝5．CH⊥AB于点H，CH＝4，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DC﹣CH向点H运动，到点H停止，设点P的运动时间为t． （1）AH＝　  　； （2）若△PBC是等腰三角形，则t的值为　    　． 【答案】（1）4 （2）2或 【解析】（1）根据BC＝5，CH＝4，CH⊥AB，利用勾股定理，可以得到BH的长，然后根据AB＝7，即可得到AH的长； （2）根据题意和等腰三角形的性质，利用分类讨论的方法，可以得到t的值，本题得以解决． （1）∵BC＝5，CH＝4，CH⊥AB， ∴∠CHB＝90°， ∴BH3， ∵AB＝7， ∴AH＝AB－BH＝7－3＝4， 故答案为：4； （2）当点P在DC边上时， ∵△PBC是等腰三角形， ∴PC＝BC， ∵BC＝5， ∴PC＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7， ∴CD＝AB＝7， ∴DP＝DC－PC＝7－5＝2， ∴t＝2÷1＝2； 当点P在CH上时， ∵△PBC是等腰三角形， ∴PC＝PB， ∵PC＝t－7， ∴PH＝7＋4－t＝11－t， ∵BH＝3，∠BHP＝90°，BP＝PC＝t－7， ∴32+（11－t）2＝（t－7）2， 解得，t； 由上可得，t的值是2或， 故答案为：2或． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 【答案】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形， ∴AP＝BQ， 又∵AP＝AD－PD＝10－2t， BQ＝BC－CQ＝8－t， ∴10－2t＝8－t， 解得t＝2； （2）如图，过P作PE⊥BC于E， 当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8－t，PE＝CD＝6，EQ＝CE－CQ＝2t－t， 依据BQ2＝PQ2有：（8－t）2＝62+（2t－t）2， 解得 t； 当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ， 由BQ＝2EQ有：8－t＝2（2t－t）， 解得t， 综上，t或t时，符合题意． 7.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD． 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积． 【答案】解：当点P运动2秒时，AP＝2 cm，由∠A＝60°，知AE＝1，PE．（2分） ∴S△APE． 十一、平行四边形的判定综合 1.下列各条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.一组对角相等 C.对角线相等 D.一组邻边相等 【答案】A 【解析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故选项B不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意； D、一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A. ∠A＝∠B，∠C＝∠D B. AB∥CD，AD＝BC C. AB＝BC，AD＝DC D. AB∥CD，∠B＝∠D 【答案】D 【解析】A．∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2∠B＋2∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； B．根据AB∥CD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C．根据AB＝BC，AD＝DC，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； D．由AB∥CD，∠B＝∠D可以推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；故选D. 3.下列图形一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.两个全等三角形 D.两个等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答． ∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边， ∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形． 故选：C． 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　      　（填序号）． 【答案】①②④⑤． 【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． ①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 5.在四边形ABCD中，①AB∥CD，AB＝CD；②∠A＝∠C，∠B＝∠D；③AB＝AD，BC＝CD；④AB＝CD，AD＝BC．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　  　．（填序号） 【答案】①②④． 【解析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 如图，①∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ②∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确； ③根据AB＝AD和BC＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③错误； ④∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； 故答案为：①②④． 6.如图，点A，B，C，D都在正方形网格格点上，试用多种方法说明四边形ABCD是平行四边形． 【答案】解：根据网格可知：OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 根据网格可知：AB＝DC，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形； 根据网格可知：AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形； 根据网格可知：AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形； 根据网格可知：∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB， ∴四边形ABCD是平行四边形； 7.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）通过计算判断△ABC的形状； （2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）由题意可得，AB，AC2，BC5， ∵（）2+（2）2＝25＝52，即AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图， ∴▱ABCD的面积为：AB×AC210． 学科网（北京）股份有限公司 $$